Analyse

Gourdon

Utilisés dans les 91 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    Bon développement pas compliqué utilisant le théorème du changement de variables, le théorème Fubini et le théorème de convergence dominée.

    NB:
    Peut se recaser sur la leçon 236
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Le Gourdon fait le cas à valeur dans C. On peut faire comme ici le cas à valeur dans R et se ramener au cas à valeur dans C en remarquant que x dans C n'est autre que a + ib avec a dans R et b dans R.
    Ce développement est souvent plus apprécié que sa version probabiliste ;)
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 228, 236, 239, 253 et 265.

    Ma référence principale a été le remarquable document de Vincent Douce (bien supérieur au mien), mais je me suis rendu compte par la suite que c'est également fait dans le Gourdon (p315 de la 3e édition).

    Pour information je n'arrive à faire tenir en 15 mins que les 1), 2), 3) et 6) du document.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 223 et 236.

    Attention à la petite coquille dans le Gourdon, et la suite $v_n$ est certes un $O(\frac{1}{n^2})$ mais n'est pas positive, donc le critère de comparaison des séries à terme positif ne s'applique pas, et je pense qu'il est plus sûr de préciser que $v_n$ est alors absolument convergente donc convergente.

    J'ai également légèrement modifié l'indiçage sur les intégrales de Wallis pour avoir des calculs qui, d'après moi, se goupillent mieux.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Exemple pratique de construction de fonction continue partout dérivable nulle part.
    Développement original pas très difficile (même s'il faut faire attention à pas se perdre) mais je le trouve difficilement recasable.
    (p84)
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Développement n°2.2 de https://perso.ens-lyon.fr/benjamin.fleuriault/agreg/dev.pdf
    Ne pas hésiter à faire un petit dessin de l'hyperbole, du cercle unité et du lemniscate, c'est joli.
    Attention les calculs sont assez techniques.
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    J'ajoute comme application (plus générale que celle de Gourdon) $\sum_{n=1}^\infty \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}}{n} = -\log(1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})$ pour $0<\theta<2\pi$.
  • Référence :
  • Fichier :

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