Analyse

Gourdon

Utilisée dans les 91 développements suivants :

Théorème taubérien fort
Théorème de Müntz
Optimisation dans un Hilbert
Théorème de Banach-Steinhaus et série de Fourier divergente
Théorème de Sturm
Théorème de Cauchy-Lipschitz local
Théorème de Weierstrass (par les probabilités)
Théorème d'Abel angulaire
Théorème d'inversion locale
Formule sommatoire de Poisson
Théorème de Borel
Résolution d'une équation matricielle grâce aux équations différentielles
Fonction continue 2Pi-périodique dont la série de Fourier diverge en 0
Méthode de Laplace
Densité des fonctions continues nulles part dérivables
Partition d'un entier en parts fixées
Réduction des endomorphismes normaux
Un développement limité
Développement asymptotique de la série harmonique
Équation de Sylvester : AX + BX = C
Théorème de Kronecker
Extrema liés
Intégrale de Fresnel
Algorithme du gradient à pas optimal
Projection sur un convexe fermé
Théorème de Fejer
Dénombrement des solutions d'une équation diophantienne
Théorème de Bernstein pour les séries entières
Intégrale de Dirichlet
Théorème de Helly
Connexité valeurs d'adhérence suite dans un compact
Théorème de Carathéodory et équations diophantiennes
Fonction dont la différentielle en tout point est une isométrie
Théorème de Weierstrass (par la convolution)
Solutions périodiques d'une ED pseudo périodique
Théorèmes d'Abel angulaire et taubérien faible
Suite des sinus itérés
Théorème de Bernstein-Valiron
Continuité des fonctions convexes
Développement asymptotique de suites definies par récurrence
Inégalités de Kolmogorov
Densité des fonctions dérivables partout continues nulle part
Théorème de l'élément primitif en caractéristique 0
Lemme de Gronwall et une application
Formule de Stirling (par les intégrales de Wallis)
Critère de convergence des séries télescopiques
Continuité d'une limite de suite de fonctions
Étude de la fonction Gamma sur la droite réelle
Formule d'Euler-Maclaurin et série harmonique
Calcul de $\int_{0}^{\infty} t^{\alpha-1}\operatorname{e}^{it} \, \mathrm{d}t$
Théorèmes de point fixe compact ( métrique )
Critère de Sylvester et applications
Théorème de la limite simple de Baire
Caractérisation réelle de Gamma avec la log convexité
Étude des fonctions à variations bornées
Théorème de Bohr-Mollerup (par la méthode d'Artin)
Abel angulaire et Taubérien faible
Formule de Stirling généralisée
Théorème de représentation de Riesz et application
Valeurs d'adhérence de la suite sin(n)
Analyticité des fonctions holomorphes
Caractérisation des fonctions différentiables convexes
Calcul d'une somme par les séries de Fourier
Exemple de série numérique et recherche de sa nature (convergent ou divergent)
Fonction de Takagi
Théorème de Cantor sur l'unicité des coefficients d'une série trigonométrique
Théorème de Weierstrass par les polynômes de Berstein
Contre-exemple au théorème de Dirichlet
Connexité et non connexité par arcs
Equivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz
Fonction zeta et nombres premiers
Intégrale elliptique et longueur du lemniscate
Lemme de la grenouille
Fonctions strictement monotones
Etude des fonctions à variations bornées.
Critère fonction convexe ou affine
Minimum d'une norme matricielle
Théorème de Sunyer i Balaguer
Développement en produit eulérien du sinus
Connexité de $\mathbb{R}$, TVI, TAF, applications
DA à 3 termes des log itérés
Étude de la fonction Γ sur R
Formule d’Euler-Maclaurin
Matrices minimisant la norme sur SL_n(R)
Le théorème d’Abel angulaire
Théorème de Banach-Steinhaus
Théorème d’inversion locale
Suite des Arctan itérés
Etude de la fonction Gamma et théorème de Bohr-Mollerup
Equivalence entre Borel-Lebesgue et Bolzano-Weierstrass (Compacité)
Résolution d'une équation de Ricatti

Utilisée dans les 44 leçons suivantes :

149 (2025) Déterminant. Exemples et applications.
159 (2025) Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
208 (2025) Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
215 (2025) Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.
218 (2025) Formules de Taylor. Exemples et applications.
219 (2025) Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
221 (2025) Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
223 (2025) Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.
239 (2025) Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
201 (2025) Espaces de fonctions. Exemples et applications.
205 (2025) Espaces complets. Exemples et applications.
207 (2022) Prolongement de fonctions. Exemples et applications.
243 (2025) Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
228 (2025) Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.
202 (2019) Exemples de parties denses et applications.
204 (2025) Connexité. Exemples d’applications.
203 (2025) Utilisation de la notion de compacité.
209 (2025) Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.
230 (2025) Séries de nombres réels et complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
246 (2025) Séries de Fourier. Exemples et applications.
244 (2024) Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.
213 (2025) Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.
226 (2025) Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
253 (2025) Utilisation de la notion de convexité en analyse.
148 (2025) Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
157 (2025) Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
170 (2025) Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.
171 (2025) Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
220 (2025) Illustrer par des exemples la théorie des équations différentielles ordinaires.
229 (2025) Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
235 (2025) Problèmes d’interversion de symboles en analyse
236 (2025) Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
241 (2025) Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
267 (2023) Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.
214 (2025) Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.
155 (2025) Exponentielle de matrices. Applications.
152 (2025) Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
222 (2022) Exemples d'études d'équations différentielles linéaires et d'équations aux dérivées partielles linéaires.
250 (2025) Transformation de Fourier. Applications.
206 (2025) Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.
154 (2024) Exemples de décompositions de matrices. Applications.
224 (2025) Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.
190 (2025) Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
161 (2025) Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.

Utilisée dans les 205 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    Bon développement pas compliqué utilisant le théorème du changement de variables, le théorème Fubini et le théorème de convergence dominée.

    NB:
    Peut se recaser sur la leçon 236
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Le Gourdon fait le cas à valeur dans C. On peut faire comme ici le cas à valeur dans R et se ramener au cas à valeur dans C en remarquant que x dans C n'est autre que a + ib avec a dans R et b dans R.
    Ce développement est souvent plus apprécié que sa version probabiliste ;)
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 228, 236, 239, 253 et 265.

    Ma référence principale a été le remarquable document de Vincent Douce (bien supérieur au mien), mais je me suis rendu compte par la suite que c'est également fait dans le Gourdon (p315 de la 3e édition).

    Pour information je n'arrive à faire tenir en 15 mins que les 1), 2), 3) et 6) du document.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 223 et 236.

    Attention à la petite coquille dans le Gourdon, et la suite $v_n$ est certes un $O(\frac{1}{n^2})$ mais n'est pas positive, donc le critère de comparaison des séries à terme positif ne s'applique pas, et je pense qu'il est plus sûr de préciser que $v_n$ est alors absolument convergente donc convergente.

    J'ai également légèrement modifié l'indiçage sur les intégrales de Wallis pour avoir des calculs qui, d'après moi, se goupillent mieux.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Exemple pratique de construction de fonction continue partout dérivable nulle part.
    Développement original pas très difficile (même s'il faut faire attention à pas se perdre) mais je le trouve difficilement recasable.
    (p84)
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Développement n°2.2 de https://perso.ens-lyon.fr/benjamin.fleuriault/agreg/dev.pdf
    Ne pas hésiter à faire un petit dessin de l'hyperbole, du cercle unité et du lemniscate, c'est joli.
    Attention les calculs sont assez techniques.
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Recasages: 203, 208

    Pour que le développement soit assez long, il faut déjà ne pas aller trop vite, et montrer l'un ou les deux détails suivants:
    - les compacts en dimension finie sont les fermés bornés (et non dire que c'est immédiat parce que c'est isomorphe à $\mathbb{K}^n$ ou je ne sais quel autre revers de la main) (c'est un procédé d'extraction diagonale, c'est intéressant en soi)
    - une application continue coercive en dimension finie atteint un minimum pour montrer que la distance à un sev est atteinte

    Gourdon Analyse [3e édition] p50+56

    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    J'ajoute comme application (plus générale que celle de Gourdon) $\sum_{n=1}^\infty \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}}{n} = -\log(1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})$ pour $0<\theta<2\pi$.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Ce document est très (très) long, mais c'est parce que j'ai tenu à faire une sorte de recueil de méthodes permettant de donner un équivalent de telles suites. Le gros du développement est celui qu'on trouve dans le Bernis, c'est pourquoi je poste ici.
    On retrouve par exemple parmi ces méthodes la comparaison à une équation différentielle et une approche géométrique comme on voit dans le Bernis. Dans tous les cas, j'essaie au maximum de mettre l'intuition en avant. L'intuition est vraiment essentielle pour réussir les exercices de ce type. Et c'est toujours plus intéressant que de parachuter les astuces.
    On étudie également deux problèmes voisins : celui où la dérivée en 0 est positive strictement inférieure à 1, et celui où la fonction colle à la droite y=x mais à l'infini. Les deux problèmes sont abordés dans le Bernis mais j'ai essayé de creuser un peu plus. Ces problèmes permettent de voir les limites des méthodes présentées et permettent de bien se préparer aux questions de jury. Je suis tombé sur ce développement dans la leçon 224 donc j'en ai profité aussi pour glisser quelques questions que le jury m'a posées.
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Développement assez original, pas trop dur mais assez long. On utilise le théorème d'inertie de Sylvester, le développement par colonne du déterminant et le fait que si f est une fonction continue, positive, d'intégrale nulle alors f est nulle. Je propose comme recasages supplémentaires la 170 et la 171, à condition de bien insister sur le lemme. NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi. NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    La version de Gourdon peut paraître déroutante car elle est faite comme un exercice de prépa. L'ordre des étapes, notamment, n'est pas forcément naturel. Je vous conseille donc de bien vous approprier la démonstration pour remettre les étapes dans l'ordre qui vous semble le plus naturel ! Mettez aussi des dessins pour bien justifier comment on approche l'indicatrice !

    Sinon, un développement très solide à recaser dans pas mal de leçons auxquelles on ne s'attend pas forcément ! Je remercie Thomas Cavallazzi pour son application aux séries de Fourier !

    PS : Au début de mon pdf, je mets qu'il est légitime de se demander comment "prolonger" une fonction sur le disque d'incertitude. Attention, comme le fais remarquer le rapport du jury, le théorème d'Abel angulaire n'est pas un théorème de prolongement, mais un théorème de continuité ! Cependant, il permet de définir un procédé de sommation convenable lorsque la série diverge en $1$.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Ce qu'il y a dans le document prend laaargement 15 minutes donc il ne faut pas hésiter à en sauter une partie (typiquement, je ne pense pas passer trop de temps sur l'équivalence du théorème, si ce n'est aucun).

    Je le prends pour les leçons 205, 208, 213, 219 et 253.

    La preuve se trouve à la fin du Gourdon, il y a une partie consacrée aux espaces de Hilbert (aux alentours de la page 407 dans la 2nd édition et 427 dans la 3ème)
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Je trouve ce développement d'une difficulté très correcte, il n'y a rien de très compliqué. Il faut juste être très au clair sur la réduction des formes quadratiques. L'application peut faire dépasser les 15 minutes, je pense qu'il faut la faire "rapidement", le jury posera de toute façon des questions dessus s'il veut en savoir plus.

    Je prends ce développement pour les leçons 149, 170 et 171. Prenez du temps pour réfléchir à la leçon 149, c'est peut-être un peu léger mais ça ne me dérange pas.

    On trouvera la preuve aux alentours de la page 233 et 248.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Pas le développement le plus fun mais il est quand même important dans certaines leçons. Il y a plein de manières de faire ces preuves, à vous de choisir. On peut vite tomber dans des preuves à base de "$E$ est isomorphe à $\mathbb R^n$ et comme on sait ce qu'il se passe dans $\mathbb R$, on en déduit le résultat". C'est peut-être juste mais je trouve ça moins intéressant, à vous de voir là aussi.

    Je prends ce développement pour les leçons 206 et 208.

    On trouvera les preuves aux alentours des pages 50 (pour équivalence des normes) et 56 (pour Riesz).
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Théorème incroyable ! Je pense que c'est bien de le faire en développement parce qu'il est d'une importance capitale en calcul différentiel. C'est un peu technique mais une fois qu'on l'a travaillé ça se fait bien.

    Je le prends pour les leçons 214 et 215.

    On trouvera la preuve aux alentours de la page 321.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    De la topologie élémentaire mais pas simple ! Je pense qu'il faut bien s'approprier la preuve pour la présenter, on y introduit beaucoup de notations. Les dessins sont obligatoires lors de la définition de A' et B'.

    Je le prends pour les leçons 204, 223 et 226.

    On trouvera la preuve aux alentours de la page 46 de la référence.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    *Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.

    *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

    *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    *Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.

    *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

    *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.

    Ma version du théorème de Reisz est différente de celle habituelle, et sans référence mais très jolie.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    *Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.

    *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

    *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.

    Recasages : 203 - 223 - (226 en adaptant)
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    *Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.

    *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

    *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Version manuscrite, désolée pour l'écriture .

    Je n'ai pas pris beaucoup de temps pour travailler ce développement étant donné que je le plaçais dans des leçons que je n'aimais pas. C'est donc un plus ou moins un copier coller du Gourdon.

    Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Le développement est un peu long alors il faut aller assez vite sur les calculs et bien connaître le développement (en particulier les calculs). De plus, il faut bien défendre le développement pour la leçon 223 en insistant sur l'exemple.

    N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Contrairement aux évaluations "1 étoile" qui sont mises sur le site, ce développement rentre très bien dans 241, 243 et 230 !
    C'est pas mal de savoir justifier rapidement qu'en général la réciproque d'Abel angulaire et fausse. Le problème avec ce développement est que le rapport du jury requiert une application "significative", chose que je n'ai pas vraiment trouvée...
    Il faut avoir conscience que c'est un résultat de continuité.
    Désolé, la 2e page est un petit peu coupée, mais tout est dans la référence.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Ce développement est difficile, j'ai eu besoin de le refaire de nombreuses fois.
    Comme d'habitude, Gourdon expédie des choses qui ne sont pas triviales, notamment au début quand il dit "quitte à considérer telle fonction immonde, on peut supposer que ...." Il faut savoir justifier cela, c'est ce que j'ai essayé de faire sur le côté gauche de la première page, n'hésitez pas à me contacter si vous n'arrivez pas à tout faire à cause du fait que c'est coupé...
    Gourdon le fait du point de vue général dans un Banach, mais le cadre des leçons se situe en dimension finie donc je recommande de le faire dans ce cadre et de ne pas dire "isomorphisme bicontinu" mais simplement "inversible" (en dimension finie, la continuité des applications linéaires est automatique).
    Il faut aussi savoir appliquer ce théorème, je conseillerais de faire pas mal d'exos plus ou moins subtils dessus.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Ce développement n'est pas très difficile, et fournit une belle application du théorème des extrema liés.
    Je ne faisais pas la première proposition dans le développement, le reste était suffisant pour faire quasi 15 minutes.
    Même si on ne fait pas ce développement, il est essentiel de connaître (et savoir retrouver) la différentielle du déterminant, on peut retenir la petite phrase : "la différentielle du déterminant en l'identité, c'est la trace".
    Le petit argument de compacité au début de la 2e page est assez crucial, il faut savoir le justifier correctement.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Ce développement a le gros avantage de très bien se recaser dans 224 ! Et même dans 230 en prime !
    Sa difficulté repose dans son caractère très calculatoire, mais une fois qu'on s'est entraîné plusieurs fois, il n'est pas difficile. Cependant, il faut bien maîtriser tout ce qui tourne autour des polynômes et nombres de Bernoulli (d'où ils viennent ? Quelles sont leurs propriétés ? Comment les démontrer ?) Tout est dans le Gourdon.
    A la fin on affirme que $\gamma_r$ ne dépend pas de $r$ car on sait que : $H_n=\ln(n)+\gamma+o(1)$, mais il faut savoir démontrer ce fait (voir bas de la 2e page). Je n'avais jamais le temps de le loger dans les 15 minutes, déjà qu'il faut pas mal se dépêcher pour faire tout tenir...
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    On montre la continuité des fonctions convexes de $\mathbb{R}^n$, bien moins directe que la continuité des fonctions convexes de $\mathbb{R}$. Je mets en référence le Gourdon dans lequel une preuve de ce théorème est donnée en exercice, mais comme je l'ai écrit dans les remarques à la fin du document, ce n'est pas la référence que j'ai utilisée pour travailler ce développement. Je me suis servi du sujet d'écrit d'agreg 2011, donc je n'ai pas trouvé de référence valable pour cette version du développement, utilisable le jour J.
    Le développement amène à parler de fonctions convexes dans le plan de la leçon, c'est pas mal de donner les caractérisations de la convexité pour les fonctions $C^1$ et $C^2$. C'est très bien fait dans un exo du Gourdon.

    Les recasages à mon avis:
    Dimension finie en analyse
    Fonctions monotones et fonctions convexes
    Utilisation de la convexité en analyse

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Développement pas trop difficile mais sympa quand même.

    Les recasages à mon avis:
    Connexité
    Thm d'inversion locale et des fonctions implicites
    Applications différentiables sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$.

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Il n'y a pas grand chose à dire, hormis que l'on utilise dans la preuve le fait que l'on connaisse les compacts de $\mathbb{R}^n$, donc il faut bien l'avoir écrit dans le plan de la leçon avant, et savoir le démontrer.

    Côté recasages à mon avis:
    Utilisation de la compacité
    Dimension finie en analyse
    Espaces vectoriels normés

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Développement vraiment mignon, je l'aime beaucoup. On peut bien prendre le temps d'expliquer le choses et de faire un joli dessin, qui est je pense indispensable pour cette preuve.

    Côté recasages à mon avis:
    Utilisation de la compacité
    Connexité
    Je ne le mettais ni dans "suites numériques" ni dans "suites de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$" car la partie où on s'intéresse à ces objets est dans l'application qui n'est pas longue et qui n'est pas vraiment le centre du développement.

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

    Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

    (Bon courage !)
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Développement rédigé pour l'oral, attention aux éventuelles coquilles/erreurs.

    Gourdon démontre ce thm pour une application f définie sur [-1/2;1/2] puis montre que n'importe quelle fonction peut être ramenée à une telle application.

    Je trouve plus logique de partir d'une fonction dont on ne contraint pas l'ensemble de définition, et on adapte notre étude et notamment nos polynôme Pn à cette fonction quelconque.

    Je pars donc de ma fonction f, à support compact quelconque [a;b], puis je fixe un c réel tel que [a;b] soit inclus dans [-c/2;c/2] et enfin je fonctionne comme Gourdon mais avec une normalisation par c dans le polynôme pn.
  • Référence :
  • Fichier :

Utilisée dans les 400 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    Références en fin de plan.

    C’est une leçon très vaste dans laquelle on peut mettre beaucoup de choses. J’ai choisi de me concentrer sur les espaces vectoriels normés, le calcul différentiel et les espaces préhilbertiens, avec les séries de Fourier. En partie IV, je donne d’autres applications possibles.

    Développements :
    1) Équivalence des normes et théorème de Riesz [je ne l’ai pas encore appris, si c’est trop court je rajouterai le contre-exemple 4]
    2) Lemme de Morse

    Plan :
    I. Espaces vectoriels normés
    1) Toplogie
    2) Applications linéaires
    3) Compacité
    II. Calcul différentiel
    1) Différentielle et dérivée partielle
    2) Théorème d’inversion locale et lemme de Morse
    III. Espaces préhilbertiens et séries de Fourier
    1) Projection orthogonale dans un espace préhilbertien
    2) Application aux séries de Fourier
    IV. Autres applications possibles
    1) Optimisation en dimension finie
    2) Équations différentielles

    On aurait aussi pu parler de la mesure de Lebesgue. Le Briane Pagès le fait très bien. De même, dans la partie Calcul Différentiel, on peut aussi évoquer les matrices jacobiennes (c’est fait dans le Gourdon) et les espaces tangents pour aller plus loin.

    On peut aussi taper dans des notions plus difficiles (notamment dans tout ce qui est lié aux opérateurs) mais mon niveau ne me le permet pas xD
  • Références :
  • Fichier :
  • Leçon :
  • Remarque :
    J'aime beaucoup la compacité, donc je me suis un peu éclaté en mettant des opérateurs compacts, le théorème de Montel et ses conséquences... On n'est évidemment pas obligé de mettre tout ça. Maintenant, comme c'est une leçon sur L'UTILISATION de la notion de compacité... Je pense qu'il faut en mettre un peu quand même !
    Par exemple Ascoli me semble incontournable ! Et si on met Ascoli... On peut bien mettre un peu d'opérateurs compacts ! Sachant qu'ici je n'ai mis que les choses de base sur ces objets, je ne suis pas allé vers la théorie spectrale.
    Attention avec la dimension finie à ne pas faire "le serpent qui se mord la queue"... Il faut d'abord montrer que les normes sont équivalentes en utilisant la compacité de la sphère qui se justifie par Bolzano-Weierestrass (et extraction diagonale) ! Puis on montre le théorème de Riesz...
    Si cela fait longtemps qu'on n'a pas trop manipulé de compacité, il convient de refaire quelques exercices car les arguments de compacité peuvent être parfois un peu futés...
    Une chose qu'il faut bien savoir justifier : Si $E$ est un espace vectoriel de dimension finie et $F$ un sous-espace vectoriel fermé de $E$, la distance de tout élément de $E$ à $F$ est atteinte !
  • Références :
  • Fichier :
  • Leçon :
  • Remarque :
    Pour cette leçon, il faut vraiment se concentrer sur la théorie dans R uniquement. Ainsi, il faut savoir décomposer en carrés par la méthode de Gauss en pratique et en tirer toutes les infos sur la forme quadratique : rang, signature, base q-orthogonale, etc. afin de les classifier.
    Quant aux coniques, elles ne sont plus du tout enseignés donc il faut tout apprendre dessus et il y a malheureusement très peu de références où les choses sont vraiemnt bien faites pour bien découvrir les choses... Il y a le Ladegaillerie et surtout le livre de Michèle Audin et celui de Aebischer (Géométrie L3). Le problème est que selon les ouvrages, le vocabulaire peut changer donc il faut essayer de prendre du recul pour bien comprendre les objets (pas si évident...) et que le point de vue va très vite vers la géométrie projective qu'il faut éviter si l'on ne connaît pas (bien trop gros investissement pour ce que ça rapporte...) ! Il faut parler de la classification euclidienne et affine, savoir classifier une conique en pratique (ce qui est déjà pas mal du tout je pense).Il faut également bien parler de l'aspect géométrique par foyer, génératrice, excentricité, définition monofocale, bifocale, etc. Le jury était constitué soit de professeurs pas du tout à l'aise avec les coniques, soit de professeurs à l'aise seulement avec l'aspect géométrique... Dans tous les cas, le jury sait que c'est une notion très peu connue des candidats et que savoir classifier, c'est déjà pas mal, pas besoin d'aller s'aventurer dans les choses très poussées !

    N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
  • Références :
  • Fichier :
  • Leçon :
  • Remarque :
    C'est une leçon qui n'est pas très facile à faire, je conseillerais de la faire plutôt vers la fin de l'année pour avoir du recul sur plusieurs choses.
    Il faut évidemment parler des résultats topologiques (normes équivalentes et toutes les conséquences) et après on a le choix entre plein de choses. Les opérateurs compacts ne sont pas obligatoires évidemment mais la dimension finie donne un beau résultat de théorie spectrale sur ces opérateurs.
    J'ai peut-être un peu trop forcé sur les résultats hilbertiens parce qu'ils ne sont pas vraiment propres à la dimension finie mais aux Hilbert en général... Le fait de placer ça ici peut être motivé par plusieurs choses : en 2e année quand on n'a pas encore les Hilbert, on présente ces résultats dans le cadre euclidien et on a la projection, la décomposition de l'espace en somme d'un sous-espace et de son orthogonal, et surtout la dimension finie rend le calcul de l'adjoint trivial : il suffit de prendre la transposée de la matrice ! Alors qu'en général, l'adjoint d'un opérateur n'est pas facile à déterminer...
    On peut développer plus la partie interpolation et polynôme de meilleure approximation mais n'étant pas ultra à l'aise là dessus je me suis contenté de cela.
    Après la partie calcul diff me semble indispensable... Et les équa diff c'est si on veut...
  • Références :
  • Fichier :
  • Leçon :
  • Remarque :
    Cette leçon a été faite au début de l'année. Je n'ai pas grand chose à dire dessus si ce n'est que comme d'habitude la théorie de Baire n'est pas obligatoire mais elle me semble être un bon investissement à faire pendant l'année. Si on en parle, il faut travailler les démos et voir quelques exemples d'utilisation, faire quelques exercices...
    Parler des Hilbert me semble indispensable (sinon la leçon est un peu pauvre...)
    Pour les savoir-faire : savoir justifier qu'une application linéaire est continue et surtout justifier qu'elle ne l'est pas au moyen d'une suite (le plus souvent), savoir trouver des normes d'opérateurs...
  • Références :
  • Fichier :
  • Leçon :
  • Remarque :
    Ah la la cette leçon ! C'est une impasse pour beaucoup de gens (ce que je comprends), mais grâce à une bonne amie, j'ai pu avoir les outils pour la travailler et je me suis lancé pour la faire et la présenter en classe. Elle demande pas mal de travail, et honnêtement je ne sais pas si c'est un si bon investissement que ça mais personnellement elle m'a beaucoup plu.
    Il faut savoir démontrer les 2 théorèmes du titre de la leçon (au moins l'un des deux et avoir une idée de comment en déduire l'autre) et surtout faire plein d'exercices d'application plus ou moins "futée" de ces théorèmes. On trouve de belles applications du TFI dans le Beck (EX29 et EX30).
    Après, il y a la partie difficile : les sous-variétés... Le Lafontaine les traite, mais de là à dire qu'il les traite d'une façon parfaitement claire... C'est autre chose... Dans notre prépa agreg, on a demandé à un prof de nous faire un mini-cours sur les sous-variétés. Dans le fond, il n'y a pas grand chose à savoir mais ça reste difficile : la définition d'une sous-variété accompagnée du schéma, et toutes les caractérisations (par une équation implicite, par un paramétrage, par un graphe), et enfin la notion d'espace tangent. Il faut connaître chaque caractérisation de l'espace tangent correspondant à la caractérisation de la sous-variété, et surtout faire des exemples ! Trouver l'espace tangent en un point à la sphère, à $\text{SL}_n(\mathbb{R})$, à $O_n(\mathbb{R})$... Et ça suffit, pas besoin d'aller vers la géométrie différentielle dans le cadre général (pas besoin de parler de cartes, d'atlas ou je ne sais quoi...)
    Dans l'optique de travailler toutes ces notions, je conseille d'essayer de faire en développement le théorème des extrema liés (voir ma version du DEV). Le seul problème, c'est qu'il n'y a pas de référence à proprement parler pour ce développement, à part le Avez Calcul Différentiel mais c'est un vieux livre de calcul diff franchement pas très digeste...
    Pour finir, si j'étais tombé dessus le jour J, je n'aurais certainement pas mis EX33, THM52 et EX57 (je fais l'inégalité de Hadamard autrement).
  • Références :
  • Fichier :
  • Leçon :
  • Remarque :
    Cette leçon est l'une des plus difficiles en analyse, si ce n'est LA plus difficile. La difficulté provient vraiment du fait que la leçon s'appelle "Exemples de..." et que dans les références, on ne trouve pas 50000 exemples...
    Tant bien que mal avec le Gourdon et le Rombaldi d'analyse réelle, on peut faire quelque chose de potable...
    Je pense que mes développements rentrent bien dans la leçon, mais le plus effrayant ce sont les questions du jury qui peuvent être très vite calculatoires...
    Il faut mettre Taylor-Young et les développements limités, la partie III-3) est indispensable, parce que les DA servent souvent à ça...
    On pourrait aussi éventuellement parler de vitesse et d'accélération de convergence.
    Le prof qui a encadré la leçon nous a mis en garde sur une chose importante : un équivalent n'est PAS un développement asymptotique. A la base, j'avais mis la méthode de Newton en développement, mais à cause de cette remarque je ne pouvais plus la mettre... J'ai donc mis la formule d'Euler-Maclaurin qui demande un certain travail sur les polynômes de Bernoulli (en plus c'est que du calcul...) mais ça se recase dans la 230 et c'est bien connaître les polynômes de Bernoulli
  • Références :
  • Fichier :
  • Leçon :
  • Remarque :
    Cette leçon demande par mal d'investissement car le calcul différentiel n'est plus très privilégié alors il est rare d'avoir un bon cours qui traite très bien le théorème d'inversion locale et le théorème des fonctions implicites et qui donne des exemples d'applications ! Il faut savoir démontrer les 2 théorèmes du titre de la leçon (au moins l'un des deux et avoir une idée de comment en déduire l'autre) et surtout faire pas mal d'exercices d'application de ces théorèmes afin de mieux les retenir.
    Après, il y a les sous-variétés... Cette notion est encore moins traitée que le calcul différentiel alors elle demande encore plus d'investissement... Dans le fond, il n'y a pas grand chose à savoir (définition d'une sous-variété accompagnée du schéma, caractérisations (par une équation implicite, par un paramétrage, par un graphe), et enfin la notion d'espace tangent) mais ça reste difficile lorsqu'on en a jamais fait. Il faut également connaître chaque caractérisation de l'espace tangent correspondant à la caractérisation de la sous-variété, et surtout faire des exemples et trouver des espaces tangents en un point dans des espaces de matrices par exemple. Inutile ensuite d'aller plus loin vers la géométrie différentielle dans le cadre général (pas besoin de parler de cartes ou d'atlas !) car le jury sait que cette leçon est difficile pour les candidats alors il ne demande pas un niveau de maîtrise excellent.

    N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
  • Références :
  • Fichier :
  • Leçon :
  • Remarque :
    Mon plan est très simple mais efficace (et facile à retenir !) La difficulté de cette leçon repose sur les démonstrations des résultats de convexité que je trouve assez difficiles contrairement à d'autres démonstrations. C'est souvent une utilisation "futée" de l'inégalité des pentes.
    L'étude de la convexité se motive notamment par les inégalités qu'elle produit, et des résultats de passage du local au global.
    Il faut savoir faire le lien entre ensemble convexe et fonction convexe : c'est l'épigraphe ! Il faut aussi absolument accompagner cette leçon d'une annexe avec des dessins, dans la mienne il n'y en a peut-être pas assez...
    Je me dis aussi qu'au vu du titre de la leçon, il faut savoir faire un lien entre les fonctions monotones et les fonctions convexe ; je pense qu'une bonne réponse à cette question peut se trouver dans le cadre des fonctions régulières...
    J'ai mis le processus de Galton-Watson car il se recase assez bien, on peut orienter ce qu'on démontre soit vers les probas soit vers la convexité (ou les deux si on va assez vite). Cependant, il me semble que le jury en a un peu marre de voir ce développement, donc si vous trouvez aussi bien ou mieux, n'hésitez pas ! Ce développement se trouve dans le Delmas, Modèle Aléatoires (je ne le trouve pas sur le site)
  • Références :
  • Fichier :
  • Leçon :
  • Remarque :
    Cette leçon n'est pas des plus faciles à travailler... Du moins selon moi car je ne suis pas très doué en calcul...
    Sinon les choses se trouvent plutôt bien dans le Gourdon pour les méthodes directes, le Briane-Pagès pour les méthodes indirectes (ou le Li Intégration selon les préférences)
    J'ai mis quelques exemples quand même, mais peut-être pas assez... C'est ça aussi la difficulté des leçons "illustrer par des exemples..." ou "exemples de...", c'est qu'on sait qu'on doit mettre des exemples mais pas à quel point...
    Il me semble important de parler un peu de calcul approché. On peut même en parler plus que cela, mais je suis moyennement à l'aise avec l'analyse numérique donc j'ai mis le strict minimum. C'est bien de parler de Monte-Carlo je pense, même si on ne fait pas l'option A, c'est assez facile à comprendre (attention, avec Monte-Carlo, il faut penser à donner un intervalle de confiance !!!)

    En DEV1, j'ai mis l'étude de la fonction Gamma, qui fonctionne, mais je pense qu'on peut mettre à la place l'injectivité de la transformée de Fourier avec le calcul de la TF d'une Gaussienne et la formule d'échange, qui rentrerait peut-être mieux... C'est peut-être ce que j'aurais fait si j'étais tombé dessus le jour J.

    /!\ Après coup, j'ai légèrement modifié mon DEV2, je ne calculais pas cette intégrale mais une intégrale plus sophistiquée : $I=\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{t^n}{1+t^{\alpha}}dt$ pour $n>\alpha+1>0$ par la même méthode (avec le théorème des résidus et un bon chemin... Il est dans le Tauvel). Il faut vraiment beaucoup s'entraîner sur un tel développement car c'est beaucoup de calcul et le jour J avec le stress et le temps limité, on peut vite s'embourber.
    Même si on ne fait pas un DEV qui utilise la méthode des résidus dans cette leçon, je conseillerais de bien réviser cette méthode pour cette leçon, je pense que le jury demandera forcément de calculer une intégrale de cette manière... On peut aussi rajouter dans le plan la formule et le théorème de Cauchy que j'ai oubliés !

    Finalement, je n'utilise pas le Queffelec d'analyse complexe dans cette leçon.
  • Références :
  • Fichier :
  • Leçon :
  • Remarque :
    J'ai fait cette leçon en tout début d'année, juste après la 241. Je pense qu'il y a à peu près tout ce qui doit s'y trouver, on peut rajouter des choses sur l'analyticité mais il ne faut pas trop en mettre car il y a une leçon consacrée à cela : la 245.

    /!\ Le DEV 2 : Nombres de Bell rentre très bien dans cette leçon, mais à la fin de l'année, je l'avais remplacé par le théorème de Runge que j'aurais mis dans II-2) par exemple.

    Je suis resté sur des choses assez basiques pour cette leçon, on peut sûrement trouver des résultats plus sophistiqués si on est très à l'aise, notamment des critères pour qu'une fonction soit développable en série entière, ou sur les singularités d'une fonction holomorphe et le rayon maximal des séries entières...

    Il faut bien savoir trouver le rayon de convergence d'une série entière en utilisant l'une des formules (D'Alembert, Cauchy-Hadamard...) et il faut bien savoir comment on obtient l'existence et l'unicité de ce rayon de convergence (lemme d'Abel). Il faut aussi savoir démontrer qu'une série entière converge normalement sur tout compact du disque ouvert de convergence, savoir étudier ce qui se passe sur le cercle d'incertitude dans certains cas...
    Il faut aussi faire attention à ne pas dire de bêtises sur les séries entières, c'est le genre de sujets où on peut en dire facilement. Je conseillerais de bien lire tout le chapitre du El Amrani là-dessus.
  • Références :
  • Fichier :
  • Leçon :
  • Remarque :
    Quel plaisir de faire cette leçon : tout est dans le El Amrani (merci beaucoup à ce monsieur et à ses livres !)
    J'ai peut-être mis beaucoup de résultats considérés comme "triviaux" mais en sortant de M1, j'étais moyennement à l'aise avec l'analyse de Fourier, et faire cette leçon avec le livre de El Amrani m'a permis de bien consolider tout ça !
    Il faut bien être au clair sur les modes de convergence, les éventuelles implications entre elles. Et surtout, il faut bien savoir quand est-ce qu'on peut écrire $f=\sum\limits_{n \in \mathbb{Z}} c_n(f)e_n$ et en quel sens est-ce que l'on peut écrire ça (convergence dans $L^2$ ? Ponctuelle ?)
    Il faut savoir calculer certaines sommes grâce aux coefficients de Fourier et à la théorie $L^2$ : c'est bien de savoir quelle peut être une fonction à considérer pour calculer $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$ et $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4}$.
    La formule sommatoire de Poisson n'est pas très compliquée à travailler, tout est dans le Gourdon.
    Quant à l'équation de la chaleur, même si on ne la traite pas en DEV, ça me semble vraiment bien d'en parler car c'est historiquement l'une des origines de l'analyse de Fourier.
  • Références :
  • Fichier :
  • Leçon :
  • Remarque :
    C’est simple, je me suis fixé un objectif : rendre cette leçon la plus accessible possible. N’étant moi même pas forcément excellent dans le domaine, je l’ai préparé avec un encadrant durant l’année et, au final, je l’aime plutôt bien à présent.

    Je ne parle pas de sous variété (ou plutôt je n’évoque pas ce mot) et je touche à peine du doigt les extremas liés. Malgré tout, je pense que le nombre d’aspects géométriques présentés est suffisant ! (En tout cas, c’est notre avis avec mon encadrant).

    Je définis aussi les vecteurs tangents afin d’avoir une explication géométrique des extremas liés.

    En espérant que ce plan vous aide à ne potentiellement pas faire l’impasse sur cette leçon !

    (J’ai aussi utilisé le nouveau livre d’analyse de Rombaldi, je ne l’ai pas trouvé sur le site mais le nom du livre est en fin de document, je recommande à toutes les BU de le commander il est très bien écrit je trouve)
  • Références :
  • Fichier :