Analyse

Gourdon

Utilisée dans les 69 développements suivants :

Théorème taubérien fort
Théorème de Müntz
Théorème de Banach-Steinhaus et série de Fourier divergente
Théorème de Sturm
Théorème de Cauchy-Lipschitz local
Théorème de Weierstrass (par les probabilités)
Théorème d'Abel angulaire
Théorème d'inversion locale
Formule sommatoire de Poisson
Théorème de Borel
Résolution d'une équation matricielle grâce aux équations différentielles
Fonction continue 2Pi-périodique dont la série de Fourier diverge en 0
Densité des fonctions continues nulles part dérivables
Partition d'un entier en parts fixées
Réduction des endomorphismes normaux
Un développement limité
Développement asymptotique de la série harmonique
Équation de Sylvester : AX + BX = C
Théorème de Kronecker
Extrema liés
Intégrale de Fresnel
Projection sur un convexe fermé
Théorème de Fejer
Dénombrement des solutions d'une équation diophantienne
Théorème de Bernstein pour les séries entières
Théorème de Helly
Connexité valeurs d'adhérence suite dans un compact
Théorème de Carathéodory et équations diophantiennes
Fonction dont la différentielle en tout point est une isométrie
Théorème de Weierstrass (par la convolution)
Solutions périodiques d'une ED pseudo périodique
Théorèmes d'Abel angulaire et taubérien faible
Suite des sinus itérés
Développement asymptotique de suites definies par récurrence
Inégalités de Kolmogorov
Densité des fonctions dérivables partout continues nulle part
Théorème de l'élément primitif en caractéristique 0
Lemme de Gronwall et une application
Formule de Stirling (par les intégrales de Wallis)
Critère de convergence des séries télescopiques
Continuité d'une limite de suite de fonctions
Étude de la fonction Gamma sur la droite réelle
Formule d'Euler-Maclaurin et série harmonique
Calcul de $\int_{0}^{\infty} t^{\alpha-1}\operatorname{e}^{it} \, \mathrm{d}t$
Théorèmes de point fixe compact ( métrique )
Critère de Sylvester et applications
Étude des fonctions à variations bornées
Théorème de Bohr-Mollerup (par la méthode d'Artin)
Abel angulaire et Taubérien faible
Formule de Stirling généralisée
Théorème de représentation de Riesz et application
Valeurs d'adhérence de la suite sin(n)
Analyticité des fonctions holomorphes
Caractérisation des fonctions différentiables convexes
Calcul d'une somme par les séries de Fourier
Exemple de série numérique et recherche de sa nature (convergent ou divergent)
Fonction de Takagi
Théorème de Weierstrass par les polynômes de Berstein
Contre-exemple au théorème de Dirichlet
Connexité et non connexité par arcs
Equivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz
Fonction zeta et nombres premiers
Intégrale elliptique et longueur du lemniscate
Lemme de la grenouille
Fonctions strictement monotones
Etude des fonctions à variations bornées.
Critère fonction convexe ou affine
Minimum d'une norme matricielle
Développement en produit eulérien du sinus

Utilisée dans les 42 leçons suivantes :

149 (2024) Déterminant. Exemples et applications.
159 (2024) Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
208 (2024) Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
215 (2024) Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.
218 (2024) Formules de Taylor. Exemples et applications.
219 (2024) Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
221 (2024) Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
223 (2024) Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.
239 (2024) Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.
201 (2024) Espaces de fonctions. Exemples et applications.
205 (2024) Espaces complets. Exemples et applications.
207 (2022) Prolongement de fonctions. Exemples et applications.
243 (2024) Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
228 (2024) Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et applications.
202 (2019) Exemples de parties denses et applications.
204 (2024) Connexité. Exemples d'applications.
203 (2024) Utilisation de la notion de compacité.
209 (2024) Approximation d'une fonction par des fonctions régulières. Exemples d'applications.
230 (2024) Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
246 (2024) Séries de Fourier. Exemples et applications.
244 (2024) Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.
213 (2024) Espaces de Hilbert. Exemples d'applications.
226 (2024) Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.
253 (2024) Utilisation de la notion de convexité en analyse.
148 (2024) Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
157 (2024) Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
170 (2024) Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.
171 (2024) Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
220 (2024) Illustrer par des exemples la théorie des équations différentielles ordinaires.
229 (2024) Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
235 (2024) Problèmes d'interversion de symboles en analyse.
236 (2024) Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.
241 (2024) Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
267 (2023) Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.
214 (2024) Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.
155 (2024) Exponentielle de matrices. Applications.
152 (2024) Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
222 (2022) Exemples d'études d'équations différentielles linéaires et d'équations aux dérivées partielles linéaires.
250 (2024) Transformation de Fourier. Applications.
206 (2024) Exemples d'utilisation de la notion de dimension finie en analyse.
154 (2024) Exemples de décompositions de matrices. Applications.
224 (2024) Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

Utilisée dans les 135 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    Bon développement pas compliqué utilisant le théorème du changement de variables, le théorème Fubini et le théorème de convergence dominée.

    NB:
    Peut se recaser sur la leçon 236
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Le Gourdon fait le cas à valeur dans C. On peut faire comme ici le cas à valeur dans R et se ramener au cas à valeur dans C en remarquant que x dans C n'est autre que a + ib avec a dans R et b dans R.
    Ce développement est souvent plus apprécié que sa version probabiliste ;)
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 228, 236, 239, 253 et 265.

    Ma référence principale a été le remarquable document de Vincent Douce (bien supérieur au mien), mais je me suis rendu compte par la suite que c'est également fait dans le Gourdon (p315 de la 3e édition).

    Pour information je n'arrive à faire tenir en 15 mins que les 1), 2), 3) et 6) du document.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 223 et 236.

    Attention à la petite coquille dans le Gourdon, et la suite $v_n$ est certes un $O(\frac{1}{n^2})$ mais n'est pas positive, donc le critère de comparaison des séries à terme positif ne s'applique pas, et je pense qu'il est plus sûr de préciser que $v_n$ est alors absolument convergente donc convergente.

    J'ai également légèrement modifié l'indiçage sur les intégrales de Wallis pour avoir des calculs qui, d'après moi, se goupillent mieux.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Exemple pratique de construction de fonction continue partout dérivable nulle part.
    Développement original pas très difficile (même s'il faut faire attention à pas se perdre) mais je le trouve difficilement recasable.
    (p84)
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Développement n°2.2 de https://perso.ens-lyon.fr/benjamin.fleuriault/agreg/dev.pdf
    Ne pas hésiter à faire un petit dessin de l'hyperbole, du cercle unité et du lemniscate, c'est joli.
    Attention les calculs sont assez techniques.
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Recasages: 203, 208

    Pour que le développement soit assez long, il faut déjà ne pas aller trop vite, et montrer l'un ou les deux détails suivants:
    - les compacts en dimension finie sont les fermés bornés (et non dire que c'est immédiat parce que c'est isomorphe à $\mathbb{K}^n$ ou je ne sais quel autre revers de la main) (c'est un procédé d'extraction diagonale, c'est intéressant en soi)
    - une application continue coercive en dimension finie atteint un minimum pour montrer que la distance à un sev est atteinte

    Gourdon Analyse [3e édition] p50+56

    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    J'ajoute comme application (plus générale que celle de Gourdon) $\sum_{n=1}^\infty \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}}{n} = -\log(1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})$ pour $0<\theta<2\pi$.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Ce document est très (très) long, mais c'est parce que j'ai tenu à faire une sorte de recueil de méthodes permettant de donner un équivalent de telles suites. Le gros du développement est celui qu'on trouve dans le Bernis, c'est pourquoi je poste ici.
    On retrouve par exemple parmi ces méthodes la comparaison à une équation différentielle et une approche géométrique comme on voit dans le Bernis. Dans tous les cas, j'essaie au maximum de mettre l'intuition en avant. L'intuition est vraiment essentielle pour réussir les exercices de ce type. Et c'est toujours plus intéressant que de parachuter les astuces.
    On étudie également deux problèmes voisins : celui où la dérivée en 0 est positive strictement inférieure à 1, et celui où la fonction colle à la droite y=x mais à l'infini. Les deux problèmes sont abordés dans le Bernis mais j'ai essayé de creuser un peu plus. Ces problèmes permettent de voir les limites des méthodes présentées et permettent de bien se préparer aux questions de jury. Je suis tombé sur ce développement dans la leçon 224 donc j'en ai profité aussi pour glisser quelques questions que le jury m'a posées.
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Développement assez original, pas trop dur mais assez long. On utilise le théorème d'inertie de Sylvester, le développement par colonne du déterminant et le fait que si f est une fonction continue, positive, d'intégrale nulle alors f est nulle. Je propose comme recasages supplémentaires la 170 et la 171, à condition de bien insister sur le lemme. NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi. NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Un développement assez compliqué quand on commence à le travailler, mais ensuite, les étapes se retiennent plutôt facilement. Il a l'air très long (il l'est d'ailleurs) mais il y a certaines étapes qu'on peut passer rapidement à l'oral pour ne pas les écrire, même s'il faut savoir les détailler en cas de besoin a posteriori.

    La page exacte de la référence est indiquée dans le document (c'est la 2ème édition d'ailleurs).

    Attention aux coquilles.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    La version de Gourdon peut paraître déroutante car elle est faite comme un exercice de prépa. L'ordre des étapes, notamment, n'est pas forcément naturel. Je vous conseille donc de bien vous approprier la démonstration pour remettre les étapes dans l'ordre qui vous semble le plus naturel ! Mettez aussi des dessins pour bien justifier comment on approche l'indicatrice !

    Sinon, un développement très solide à recaser dans pas mal de leçons auxquelles on ne s'attend pas forcément ! Je remercie Thomas Cavallazzi pour son application aux séries de Fourier !

    PS : Au début de mon pdf, je mets qu'il est légitime de se demander comment "prolonger" une fonction sur le disque d'incertitude. Attention, comme le fais remarquer le rapport du jury, le théorème d'Abel angulaire n'est pas un théorème de prolongement, mais un théorème de continuité ! Cependant, il permet de définir un procédé de sommation convenable lorsque la série diverge en $1$.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Ce qu'il y a dans le document prend laaargement 15 minutes donc il ne faut pas hésiter à en sauter une partie (typiquement, je ne pense pas passer trop de temps sur l'équivalence du théorème, si ce n'est aucun).

    Je le prends pour les leçons 205, 208, 213, 219 et 253.

    La preuve se trouve à la fin du Gourdon, il y a une partie consacrée aux espaces de Hilbert (aux alentours de la page 407 dans la 2nd édition et 427 dans la 3ème)
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Je trouve ce développement d'une difficulté très correcte, il n'y a rien de très compliqué. Il faut juste être très au clair sur la réduction des formes quadratiques. L'application peut faire dépasser les 15 minutes, je pense qu'il faut la faire "rapidement", le jury posera de toute façon des questions dessus s'il veut en savoir plus.

    Je prends ce développement pour les leçons 149, 170 et 171. Prenez du temps pour réfléchir à la leçon 149, c'est peut-être un peu léger mais ça ne me dérange pas.

    On trouvera la preuve aux alentours de la page 233 et 248.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Pas le développement le plus fun mais il est quand même important dans certaines leçons. Il y a plein de manières de faire ces preuves, à vous de choisir. On peut vite tomber dans des preuves à base de "$E$ est isomorphe à $\mathbb R^n$ et comme on sait ce qu'il se passe dans $\mathbb R$, on en déduit le résultat". C'est peut-être juste mais je trouve ça moins intéressant, à vous de voir là aussi.

    Je prends ce développement pour les leçons 206 et 208.

    On trouvera les preuves aux alentours des pages 50 (pour équivalence des normes) et 56 (pour Riesz).
  • Référence :
  • Fichier :

Utilisée dans les 265 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    Références en fin de plan.

    C’est une leçon très vaste dans laquelle on peut mettre beaucoup de choses. J’ai choisi de me concentrer sur les espaces vectoriels normés, le calcul différentiel et les espaces préhilbertiens, avec les séries de Fourier. En partie IV, je donne d’autres applications possibles.

    Développements :
    1) Équivalence des normes et théorème de Riesz [je ne l’ai pas encore appris, si c’est trop court je rajouterai le contre-exemple 4]
    2) Lemme de Morse

    Plan :
    I. Espaces vectoriels normés
    1) Toplogie
    2) Applications linéaires
    3) Compacité
    II. Calcul différentiel
    1) Différentielle et dérivée partielle
    2) Théorème d’inversion locale et lemme de Morse
    III. Espaces préhilbertiens et séries de Fourier
    1) Projection orthogonale dans un espace préhilbertien
    2) Application aux séries de Fourier
    IV. Autres applications possibles
    1) Optimisation en dimension finie
    2) Équations différentielles

    On aurait aussi pu parler de la mesure de Lebesgue. Le Briane Pagès le fait très bien. De même, dans la partie Calcul Différentiel, on peut aussi évoquer les matrices jacobiennes (c’est fait dans le Gourdon) et les espaces tangents pour aller plus loin.

    On peut aussi taper dans des notions plus difficiles (notamment dans tout ce qui est lié aux opérateurs) mais mon niveau ne me le permet pas xD
  • Références :
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