(2019 : 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.)
Comme souvent en analyse, il est tout à fait opportun d’illustrer dans cette leçon un exemple ou un raisonnement à l’aide d’un dessin. Il faut savoir faire la distinction entre propriétés locales (caractérisation d’un extremum local) et globales (existence par compacité, par exemple). Dans le cas important des fonctions convexes, un minimum local est également global. Les applications de la minimisation des fonctions convexes, qui peuvent être introduites par des problématiques motivées par les options de modélisation, sont nombreuses et sont tout à fait à propos pour illustrer cette leçon. $\\$ L’étude des algorithmes de recherche d’extremum y a toute sa place : méthode du gradient et analyse de sa convergence, méthode à pas optimal,... Le cas particulier des fonctionnelles sur $\textbf{R}^n$ de la forme $\frac{1}{2}(Ax|x)-(b|x)$, où $A$ est une matrice symétrique définie positive, ne devrait pas poser de difficultés (la coercivité de la fonctionnelle pose problème à de nombreux candidats). $\\$ Les problèmes de minimisation sous contrainte amènent à faire le lien avec les extrema liés et la notion de multiplicateur de Lagrange. Sur ce point, certains candidats ne font malheureusement pas la différence entre recherche d’extremum sur un ouvert ou sur un fermé. Une preuve géométrique des extrema liés sera fortement valorisée par rapport à une preuve algébrique, formelle et souvent mal maîtrisée. On peut ensuite mettre en œuvre ce théorème en justifiant une inégalité classique : arithmético-géométrique, Hölder, Carleman, etc... Enfin, la question de la résolution de l’équation d’Euler-Lagrange peut donner l’opportunité de mentionner la méthode de Newton. $\\$ Les candidats pourraient aussi être amenés à évoquer les problèmes de type moindres carrés (avec une discussion qui peut comprendre motivation, formalisation, rôle de la condition de rang maximal, jusqu’aux principes de la décomposition en valeurs singulières), ou, dans un autre registre,le principe du maximum avec des applications.
(2017 : 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.)
Comme souvent en analyse, il est tout à fait opportun d’illustrer dans cette leçon un exemple ou un raisonnement à l’aide d’un dessin. Il faut savoir faire la distinction entre propriétés locales (caractérisation d’un extremum) et globales (existence par compacité, par exemple). Dans le cas important des fonctions convexes, un minimum local est également global. Les applications de la minimisation des fonctions convexes sont nombreuses et elles peuvent illustrer cette leçon.
L’étude des algorithmes de recherche d’extremums y a toute sa place : méthode du gradient et analyse de sa convergence, méthode à pas optimal,... Le cas particulier des fonctionnelles sur $R^n$ de la forme $\frac{1}{2} (Ax|x) - (b|x)$ où $A$ est une matrice symétrique définie positive, ne devrait pas poser de difficultés (la coercivité de la fonctionnelle pose problème à de nombreux candidats). Les problèmes de minimisation sous contrainte amènent à faire le lien avec les extrema liés et la notion de multiplicateur de Lagrange. À ce sujet, une preuve géométrique des extrema liés sera fortement valorisée par rapport à une preuve algébrique, formelle et souvent mal maîtrisée. Enfin, la question de la résolution de l’équation d’Euler-Lagrange peut donner l’opportunité de mentionner la méthode de Newton.
Les candidats pourraient aussi être amenés à évoquer les problèmes de type moindres carrés, ou, dans un autre registre, le principe du maximum et ses applications.
(2016 : 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications. )
Comme souvent en analyse, il peut être opportun d’illustrer dans cette leçon un exemple ou un raisonnement à l’aide d’un dessin. Il faut savoir faire la distinction entre propriétés locales (caractérisation d’un extremum) et globales (existence par compacité, par exemple). Dans le cas important des fonctions convexes, un minimum local est également global. Les applications de la minimisation des fonctions convexes sont nombreuses et elles peuvent illustrer cette leçon.
L’étude des algorithmes de recherche d’extremums y a toute sa place : méthode de gradient, preuve de la convergence de la méthode de gradient à pas optimal, . . . Le cas particulier des fonctionnelles sur $R^n$ de la forme $\frac{1}{2} (Ax|x) - (b|x), où A est une matrice symétrique définie positive, ne devrait pas poser de difficultés. Les problèmes de minimisation sous contrainte amènent à faire le lien avec les extremums liés, la notion de multiplicateur de Lagrange et, là encore, des algorithmes peuvent être présentés et analysés. À ce sujet, une preuve géométrique des extrema liés sera fortement valorisée par rapport à une preuve algébrique, formelle et souvent mal maîtrisée.
Les candidats pourraient aussi être amenés à évoquer les problèmes de type moindres carrés, ou, dans un autre registre, le principe du maximum et ses applications.
(2015 : 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.)
Il faut bien faire la distinction entre propriétés locales (caractérisation d'un extremum) et globales (existence par compacité, par exemple). Dans le cas important des fonctions convexes, un minimum local est également global. Les applications de la minimisation des fonctions convexes sont nombreuses et elles peuvent illustrer cette leçon.
L'étude des algorithmes de recherche d'extremums y a toute sa place : méthode de gradient, preuve de la convergence de la méthode de gradient à pas optimal, ...
Le cas particulier des fonctionnelles sur $\mathbb{R}^n$ de la forme $\frac{1}{2} (Ax|x) - (b|x)$, où $A$ est une matrice symétrique définie positive, devrait être totalement maîtrisé. Les candidats devraient aussi être amenés à évoquer les problèmes de type moindres carrés et les équations normales qui y sont attachées. Enfin, les problèmes de minimisation sous contrainte amènent à faire le lien avec les extremums liés, la notion de multiplicateur de Lagrange et, là encore, des algorithmes peuvent être présentés et analysés.
(2014 : 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.)
Cette leçon a changé de titre. Il faut bien faire la distinction entre propriétés locales (caractérisation d'un extremum) et globales (existence par compacité, par exemple). Dans le cas important des fonctions convexes, un minimum local est également global. Les applications de la minimisation des fonctions convexes sont nombreuses et elles peuvent illustrer cette leçon.
L'étude des algorithmes de recherche d'extremas y a maintenant toute sa place : méthode de gradient, preuve de la convergence de la méthode de gradient à pas optimal, etc. Le cas particulier des fonctionnelles sur $R^n$ de la forme $\frac{1}{2} (Ax|x) - (b|x)$, où $A$ est une matrice symétrique définie positive, devrait être totalement maîtrisé. Les candidats devraient aussi être amenés à évoquer les problèmes de type moindres carrés et les équations normales qui y sont attachés. Enfin, les problèmes de minimisation sous contrainte amènent à faire le lien avec les extrema liés, la notion de multiplicateur de Lagrange et, là encore des algorithmes peuvent être présentés et analysés.
