Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements

Julien Bernis et Laurent Bernis

Utilisée dans les 52 développements suivants :

Lemme de Morse
Formule des compléments
Théorème de Banach-Steinhaus et série de Fourier divergente
Théorème d'Hadamard Levy
Théorème de Cauchy-Lipschitz local
Inégalité de Hoeffding
Théorème d'Abel angulaire
Formule sommatoire de Poisson
Inégalité isopérimétrique
Ellipsoïde de John Loewner
Nombres de Bell
Méthode de relaxation
Suite récurrente : convergence lente
Théorème de Lax-Milgram et une application
Échantillonage de Shannon
Théorème central limite
Espace de Bergman du disque unité
Lemme de Grothendieck
Algorithme du gradient à pas optimal
Théorème de Banach-Alaoglu
Théorème de Bernstein pour les séries entières
Intégrale de Dirichlet
Théorème d'Ascoli
Un théorème de Cartan et Von Neumann
Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire
Théorèmes d'Abel angulaire et taubérien faible
Inégalité de Hardy
Un système hyperbolique linéaire
Limite de variables aléatoires gaussiennes
Sommation d'Abel des séries de Fourier
Problème de la fortune du joueur
Equation de la chaleur dans une barre
Résolution d'une EDPE
Théorème de Bernstein-Valiron
Lemme de Morse et application
Séries de Fourier des applications continues
Théorème de Cauchy-Lipschitz global
Convergence vers la loi de Gumbel
Formules de Poisson et Shannon
Développement asymptotique de suites definies par récurrence
Théorèmes de point fixe compact
Différentielle de la limite
Théorème de Lévy et TCL
Inégalité de Hoeffding et application à la convergence presque sûre
Ensembles de vecteurs presque orthogonaux
Compacts dans les espaces de Banach et théorème d'Ascoli
Compacts dans un Banach
Transformée de Laplace et intégrale de Dirichlet
Résolution de l'équation de la chaleur par les séries de Fourier
L'équation de la chaleur par les séries de Fourier
Inégalité de Hoeffding et deux applications
Suite des Arctan itérés

Utilisée dans les 33 leçons suivantes :

219 (2025) Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
233 (2021) Analyse numérique matricielle. Résolution approchée de systèmes linéaires, recherche d’éléments propres, exemples.
208 (2025) Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
253 (2025) Utilisation de la notion de convexité en analyse.
246 (2025) Séries de Fourier. Exemples et applications.
229 (2025) Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
205 (2025) Espaces complets. Exemples et applications.
203 (2025) Utilisation de la notion de compacité.
201 (2025) Espaces de fonctions. Exemples et applications.
162 (2025) Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
158 (2025) Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
157 (2025) Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
155 (2025) Exponentielle de matrices. Applications.
223 (2025) Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.
261 (2025) Loi d’une variable aléatoire: caractérisations, exemples, applications.
262 (2025) Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.
264 (2025) Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.
244 (2024) Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.
266 (2025) Utilisation de la notion d’indépendance en probabilités.
241 (2025) Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
236 (2025) Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
190 (2025) Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
224 (2025) Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.
226 (2025) Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
228 (2025) Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.
230 (2025) Séries de nombres réels et complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
235 (2025) Problèmes d’interversion de symboles en analyse
239 (2025) Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
243 (2025) Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
250 (2025) Transformation de Fourier. Applications.
267 (2023) Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.
204 (2025) Connexité. Exemples d’applications.
218 (2025) Formules de Taylor. Exemples et applications.

Utilisée dans les 99 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    Énoncé : Soit $f\in\mathcal{C}^1\left([0,\pi],\mathbb{R}\right)$ telle que $f(0)=f(\pi)=0$. Notons $K_f$ l'ensemble des éléments
    $$u\;:\:\begin{cases} [0,\pi] \times \mathbb{R}_{+} \longrightarrow \mathbb{R}, \\
    (x,t)\longmapsto u(x,t).
    \end{cases}$$
    de $\mathcal{C}\left([0,\pi] \times \mathbb{R}_+\right)$ qui vérifient :

    1.i. $\partial_x u$ et $\partial_t u$ existent et sont continues sur $[0,\pi] \times \mathbb{R}_+^*$,
    ii. $\partial^2_{x^2} u$ existe et est continue sur $[0,\pi] \times \mathbb{R}_+^*$,
    iii. pour tout réel $t\ge 0$, $u(0,t)=u(\pi,t)=0$,
    iv. pour tout $ (x,t)\in [0,\pi] \times\mathbb{R}_+^*$, $\partial_t u(x,t)=\partial^2_{x^2} u(x,t)$\,;

    2. Pour tout $ x\in[0,\pi]$, $u(x,0)=f(x)$.
    Alors $K_f$ est un singleton.

    Nous donnerons de plus l'expression de l'unique élément de $K_f$ sous forme de la somme d'une série d'applications.
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Peut être présentée avec une application.

    Soit $(X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires à valeurs réelles, indépendantes, centrées. On suppose qu'il existe une suite de réels strictement positifs $(c_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ telle que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on ait :
    $$|X_n|\leq c_n, \text{ presque sûrement.}$$
    On note $S_n=\sum_{k=1}^{n}{X_k}$. Alors, pour tout $\varepsilon\in\mathbb{R}_+^*$ et tout $n\in\mathbb{N}^*$, on a :
    \begin{equation} \mathbb{P}(|S_n|>\varepsilon) \leq 2\exp\left(\frac{-\varepsilon^2}{2\sum_{k=1}^{n}{c_k^2}}\right) \end{equation}

    Référence (théorème et deux applications) : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Une application qui peut être proposée concerne la stabilité des systèmes newtoniens.

    Énoncé : Soient un entier $n\ge 1$, $\mathcal{U}$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ contenant l'origine $\mathbf{0}$, et $f$ un élément de $\mathcal{C}^3(\mathcal{U}, \mathbb{R})$. On suppose que la différentielle de $f$ est nulle en l'origine et que sa différentielle d'ordre $2$ est non dégénérée en l'origine.
    Alors il existe un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme $\Phi$ d'un voisinage $\mathcal{V}$ de $ \mathbf{0} $ sur un voisnage $\mathcal W$ de $ \mathbf{0} $ inclus dans $\mathcal U$, qui conserve l'origine et tel que pour tout $ Z \in \mathcal{V}$, on ait :
    \begin{equation} f(\Phi( Z) ) - f( \mathbf{0} ) = \frac{1}{2} \mathrm{D}^2_{ \mathbf{0} }f\cdot \left( Z,Z\right). \end{equation}


    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    L'application concerne la stabilité des systèmes newtoniens.

    Énoncé : Soient un entier $n\ge 1$, $\mathcal{U}$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ contenant l'origine $\mathbf{0}$, et $f$ un élément de $\mathcal{C}^3(\mathcal{U}, \mathbb{R})$. On suppose que la différentielle de $f$ est nulle en l'origine et que sa différentielle d'ordre $2$ est non dégénérée en l'origine.
    Alors il existe un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme $\Phi$ d'un voisinage $\mathcal{V}$ de $ \mathbf{0} $ sur un voisnage $\mathcal W$ de $ \mathbf{0} $ inclus dans $\mathcal U$, qui conserve l'origine et tel que pour tout $ Z \in \mathcal{V}$, on ait :
    \begin{equation} f(\Phi( Z) ) - f( \mathbf{0} ) = \frac{1}{2} \mathrm{D}^2_{ \mathbf{0} }f\cdot \left( Z,Z\right). \end{equation}


    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Énoncé : Pour tout entier naturel $n$ non nul, $B_n$ désigne le nombre de relations d'équivalence sur un ensemble à $n$ éléments. Et l'on conviendra que $B_0=1$.
    Alors :
    -- Pour tout $n\in\mathbb{N}$,
    \begin{equation}B_{n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}n\\k\\ \end{pmatrix}B_{n-k}.
    \end{equation}
    -- La série entière de la variable réelle $t$, $$\sum\limits_{n\ge 0}\frac{B_n}{n!}t^n$$
    a un rayon de convergence $R$ non nul et sa somme $S$ vérifie :
    $$
    \forall t\in \,]-R,R\,[, \;S'(t)= \exp(t)S(t).
    $$
    -- Pour tout entier naturel $n$,
    $$
    B_n=\frac 1 e\sum\limits_{p=0}^{+\infty} \frac {p^n }{ p! }\hbox{ (formule de Doblinski)}.
    $$

    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Soit $(X_n)_{n\in\mathbb{N}*}$ une suite de variables aléatoires discrètes, indépendantes et identiquement distribuées, dont la loi est définie par :
    $$ \mathbb{P}(X_1=1)=p, \mathbb{P}(X_1=-1)=1-p=q.$$
    La variable aléatoire $X_n$ représente, le gain du joueur à l'issue du $n^{\mathrm{e}}$ lancer, dans la mesure où la partie se déroule en au moins $n$ lancers.

    Pour un entier $k\in [\![0,a+A]\!]$, on définit la suite de variables aléatoires $(S_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ :
    $$ S_0=k, \;\;\; \forall n\in\mathbb{N}^*, S_n=k + \sum_{j=1}^{n}{X_j}.$$
    Si $S_0=a$ alors, avec la même réserve sur $n$, $S_n$ représentele capital du joueur après $n$ lancers de pièce.

    Enfin, on définit la variable aléatoire $T$, représentant la durée de la partie, par la relation :
    $$T= \mathop{\mathrm{inf}} \left\{n\in\mathbb{N} \;|\; S_n \in \{ 0, a+A \} \right\},$$
    en convenant que $\mathop{\mathrm{inf}}(\emptyset )=+\infty$.

    Énoncé : En prenant $S_0=a$,
    -- Le nombre de tours moyen pour que la partie s'achève est donné par les formules :
    si $p > \frac{1}{2}$ alors, $$ \mathbb{E}[T]= \frac{(a+A)\frac{1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a}}{1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a+A}}-a}{p-q},$$
    si $p = \frac{1}{2}$ alors, $$ \mathbb{E}[T]= a\,A.$$
    -- Presque sûrement, le jeu se finit en un nombre fini de lancers : $$\mathbb{P}(T < + \infty)=1.$$
    -- La probabilité que le joueur gagne est donnée par les formules :
    si $p > \frac{1}{2}$ alors, $$\mathbb{P}(S_T=a+A)=\frac{1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a}}{1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a+A}},$$
    si $p = \frac{1}{2}$ alors, $$\mathbb{P}(S_T=a+A) = \frac{a}{a+A}.$$


    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Énoncé : Soit $f\in\mathbb{L}^2([0,1],\mathbb{R})$, $\alpha \in \mathbb{L}^{\infty}([0,1],\mathbb{R})$ et $\beta\in\mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R})$. On suppose que :
    -- Il existe $\alpha_{\mathrm{min}}\in\mathbb{R}_+^*$ telle que, pour $\lambda-$presque tout $x\in[0,1]$, on ait $\alpha_{\mathrm{min}}\leq \alpha(x)$,
    -- Pour tout $x\in [0,1]$, $\beta'(x)\leq 2$.

    Alors il existe un unique élément $u$ de $H_0^1(]0,1[,\mathbb{R})$ qui soit solution, au sens des distributions, du problème :
    \begin{equation} -(\alpha u')'+\beta u' + u = f \end{equation}


    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Possibilité d'ajouter une des deux applications suivantes :

    Application 1 : Soit $p\in\, ]0,1[$. Soit $(Y_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires réelles telle que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $Y_n$ suive la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$. Alors on a :
    $$ \frac{Y_n-np}{\sqrt{np(1-p)}} \xrightarrow[n\to +\infty]{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1).$$


    Application 2 : Soit $n\in \mathbb{N}^*$. On étudie le modèle statistique $\left( \{0,1\}^n, \{\mathcal{B}(1,p)\}_{p\in\, ]0,1[}\right)$. Soit $X_n,\ldots,X_n$, un $n$-échantillon de loi de Bernoulli $\mathcal{B}(1,p)$, $p\in\,]0,1[$.
    Pour $\alpha\in\, ]0,1[$, déterminons un intervalle au niveau de confiance asymptotique $1-\alpha$ du paramètre d'intérêt $p$.

    Référence (également valable pour le TCL) : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    201 203 205 228

    Énoncé : Soient $(K,\mathrm{d})$ un espace métrique compact et $\mathcal{A}$ une partie de l'espace vectoriel normé $\left( \mathcal{C}(K,\mathbb{C}), \|\cdot\|_{\infty} \right)$ des fonctions continues sur $K$. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
    -- La partie $\mathcal{A}$ est équicontinue et bornée.
    -- La partie $\mathcal{A}$ est relativement compacte.

    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Soient $n\in\mathbb{N}^*$ et $f : \mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)$.
    Les deux propositions suivantes sont équivalentes :
    -- L'application $f$ est un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme de $\mathbb{R}^n$ sur $\mathbb{R}^n$.
    -- Pour tout $x\in \mathbb{R}^n$, $\mathrm{D}_x f$ est inversible, et $\lim\limits_{\|x\|\to +\infty}{\|f(x)\|}=+\infty$.

    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Pour l'application.

    Énoncé :
    -- Pour tout élément $x_0$ de $\mathbb{R}$, il existe un ${\mathcal G}_\delta$ dense $D$ de $({\mathcal C }_{2\pi},\|\cdot\|_\infty)$, tel que pour tout élément $f$ de $D$,
    $$ \mathop{\sup}\limits_{n\in\mathbb{N}}|S_n(f)(x_0)|=+\infty,$$ (en particulier la série de Fourier de $f$ diverge en $x_0$.)
    -- Il existe un ${\mathcal G}_\delta$ dense $\Delta$ de $({\mathcal C }_{2\pi},\|\cdot\|_\infty)$, tel que pour tout élément $f$ de $\Delta$,
    l'ensemble
    $$
    \left\{x\in \mathbb{R}\;\big|\; \mathop{\sup}\limits_{n\in\mathbb{N}}|S_n(f)(x)|=+\infty
    \right\}
    $$
    soit un ${\mathcal G}_\delta$ dense de $(\mathbb{R},|\cdot|)$.

    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Pour une application détaillée, consulter également la référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

    Énoncé : Soit $f\in\mathbb{L}^2([0,1],\mathbb{R})$, $\alpha \in \mathbb{L}^{\infty}([0,1],\mathbb{R})$ et $\beta\in\mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R})$. On suppose que :
    -- Il existe $\alpha_{\mathrm{min}}\in\mathbb{R}_+^*$ telle que, pour $\lambda-$presque tout $x\in[0,1]$, on ait $\alpha_{\mathrm{min}}\leq \alpha(x)$,
    -- Pour tout $x\in [0,1]$, $\beta'(x)\leq 2$.
    Alors il existe un unique élément $u$ de $H_0^1(]0,1[,\mathbb{R})$ qui soit solution, au sens des distributions, du problème :
    \begin{equation} -(\alpha u')'+\beta u' + u = f \end{equation}

  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Leçons : 223, 224, 262, 263.

    Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On dit que $X$ suit la loi de Gumbel (standard) lorsque pour tout $t\in\mathbb{R}$, on a :
    $$F_X(t)=\exp\left(-\mathrm{e}^{-t}\right)$$


    Énoncé : Soit $\lambda\in\mathbb{R}_+^*$ et $(X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$. Posons pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ :
    $$M_n=\mathop{\max}_{k\in[\![1,n]\!]}{X_k}.$$
    Alors on a :
    -- $$\frac{M_n}{\mathrm{ln}(n)} \xrightarrow[n \to +\infty]{\mathrm{p.s.}} \frac{1}{\lambda}.$$
    -- $$\lambda M_n- \mathrm{ln}(n) \xrightarrow[n \to +\infty]{\mathcal{L}} Y,$$ où $Y$ est une variable aléatoire suivant la loi de Gumbel.

    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Énoncé :
    -- Soient un réel $b>0$ et $f$ une application de $[0,b]$ dans $\mathbb{R}$.
    On suppose que :
    1. $f$ est continue;
    2. $f$ est à valeurs dans $[a,b]$;
    3. $f$ est croissante;
    4. pour tout élément $x$ de $]0,b]$, $f(x)$ strictement plus petit que $x$ et $f(0)=0$;
    5. Il existe un réel $\lambda>0$ et un réel $r>1$ tels que :
    $$ f(x) =x-\lambda x^r+\mathop{o}\limits_{x\to 0}\left(x^r\right).$$

    Pour tout $c\in\, ]0,b[$ la relation \begin{equation} u_0=c,\; \forall n\in\mathbb{N}, u_{n+1}=f(u_n) \end{equation} définit une suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ à valeurs dans $]0,b[$, de limite $0$, de plus :
    $$ u_n \mathop{\sim}\limits_{n\to +\infty} \frac {K}{n^{\frac{1}{r-1}} },\hbox{ où } K=(\lambda(r-1))^{\frac{1}{1-r}}. $$

    -- Dans le cas particulier $f\;:\; x\longmapsto \ln(1+x),$ on a le développement asymptotique à deux termes :
    $$ u_n=\frac 2 n +\frac{2\ln(n)}{3n^2}+ \mathop{ o}\limits_{n\to +\infty} \left( \frac{\ln n} {n^2} \right) .$$


    -- Soit $d \in \mathbb{R}_+$ la relation
    \begin{equation} v_0=d,\; \forall n\in\mathbb{N}, v_{n+1}=v_n+\exp\left(-v_n^2\right) \end{equation} définit une suite $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ qui diverge vers $+\infty$. De plus :
    $$v_n \mathop{\sim}\limits_{n\to+\infty}\sqrt{\ln n}.$$


    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    On trouvera (en plus de l'énoncé classique) un énoncé et une preuve alternative (répondant à une question fréquemment posée par le jury) dans la référence :
    Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses.
    C'est une généralisation du résultat dans lequel on n'impose pas que le centre de l'ellipsoïde soit l'origine.

    Énoncé (Ellipsoïde affine de John-Loewner) : Soit $K$ un ensemble compact de $\mathbb{R}^N$ d'intérieur non vide. Alors il existe un et un seul ellipsoïde plein de volume minimal (NON NÉCESSAIREMENT CENTRÉ EN L'ORIGINE), qui contienne $K$.

  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Énoncé :
    -- Pour tout élément $x_0$ de $\mathbb{R}$, il existe un ${\mathcal G}_\delta$ dense $D$ de $({\mathcal C }_{2\pi},\|\cdot\|_\infty)$, tel que pour tout élément $f$ de $D$,
    $$ \mathop{\sup}\limits_{n\in\mathbb{N}}|S_n(f)(x_0)|=+\infty,$$ (en particulier la série de Fourier de $f$ diverge en $x_0$.)
    -- Il existe un ${\mathcal G}_\delta$ dense $\Delta$ de $({\mathcal C }_{2\pi},\|\cdot\|_\infty)$, tel que pour tout élément $f$ de $\Delta$,
    l'ensemble
    $$
    \left\{x\in \mathbb{R}\;\big|\; \mathop{\sup}\limits_{n\in\mathbb{N}}|S_n(f)(x)|=+\infty
    \right\}
    $$
    soit un ${\mathcal G}_\delta$ dense de $(\mathbb{R},|\cdot|)$.

    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 162, 219, 223, 226, 229, 233 et 253.

    Je suis passé à l'oral sur ce développement (voir mon retour sur la leçon 233 si cela vous intéresse, notamment les questions).

    Le développement est assez calculatoire et le jury le sait. Je ne peux que conseiller de prévoir du temps pour expliquer l'algorithme (le 2) de mon document), de faire un dessin et surtout de prévenir le jury que vous allez l'expliquer.

    Pour moi la convexité apparaît à deux endroits : pour l'unicité du minimum de la fonctionnelle quadratique (qui est strictement convexe) et dans le lemme de Kantorovich.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Développement relativement classique, assez long mais pas très difficile.
    On utilise le théorème C^1 sous le signe intégrale, le théorème fondamental de l'analyse (qu'il faut savoir rapidement démontrer) et le théorème de convergence dominée.
    On peut également, comme le suggère le livre de Julien et Laurent Bernis, démontrer ce résultat de deux manières différentes, mais cela me parait beaucoup trop long pour être présenter en 15 minutes; ce sont néanmoins des techniques à connaitre.

    NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi.
    NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Recasages: 190, (241, 243)

    Le recasage dans les 241 (suites et séries de fonctions) et 243 (séries entières) sont contestables, dans la mesure où, dans l'absolu, les séries entières sont inutiles. On travaille avec des séries génératrices, qui sont des séries formelles. Le seul argument que je vois en faveur de l'utilisation des séries entières est la résolution de l'équation différentielle, qui peut en théorie être traitée dans l'anneau des séries formelles, mais cela dépasse le cadre du programme.

    Bernis p266, FGN p12

    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Ce document est très (très) long, mais c'est parce que j'ai tenu à faire une sorte de recueil de méthodes permettant de donner un équivalent de telles suites. Le gros du développement est celui qu'on trouve dans le Bernis, c'est pourquoi je poste ici.
    On retrouve par exemple parmi ces méthodes la comparaison à une équation différentielle et une approche géométrique comme on voit dans le Bernis. Dans tous les cas, j'essaie au maximum de mettre l'intuition en avant. L'intuition est vraiment essentielle pour réussir les exercices de ce type. Et c'est toujours plus intéressant que de parachuter les astuces.
    On étudie également deux problèmes voisins : celui où la dérivée en 0 est positive strictement inférieure à 1, et celui où la fonction colle à la droite y=x mais à l'infini. Les deux problèmes sont abordés dans le Bernis mais j'ai essayé de creuser un peu plus. Ces problèmes permettent de voir les limites des méthodes présentées et permettent de bien se préparer aux questions de jury. Je suis tombé sur ce développement dans la leçon 224 donc j'en ai profité aussi pour glisser quelques questions que le jury m'a posées.
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Attention à comment vous rédigez la construction des intervalles de confiance asymptotiques ! En effet, on divise par une variable aléatoire qui s'annule avec probabilité non-nulle pour tout $n$ (bien qu'elle tende vers $0$) ! Sinon, le résultat est vraiment central et mérite un développement, même s'il n'est pas forcément compliqué à montrer grâce au théorème de Lévy (qui, lui, est plus dur à montrer). Ne vous privez pas de l'utilisation du logarithme complexe ! C'est au programme et ça simplifie quand même beaucoup la preuve !

    PS : J'ai mis qu'on prouve une version faible du théorème de Lévy. C'est bien le cas ! Le théorème de Lévy le plus général dit que si la suite des fonctions caractéristiques $\varphi_{X_n}$ converge simplement vers une fonction $\varphi$ bornée telle que $\varphi(0) = 1$ et qui est continue en $0$, alors il existe une variable aléatoire $X$ définie sur le même espace de probabilité que les variables $X_n$ telle que $X_n$ converge en loi vers $X$ ! Cela utilise le théorème de Prokhorov, donc c'est dur !
  • Références :
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  • Développement :
  • Remarque :
    Version manuscrite, désolée pour l'écriture .

    Développement que je trouvais plutôt compliquée et qui me prenais énormément de temps. Je triais les parties en fonction des leçons. Il y avait notamment la partie surjectivité que je traitais uniquement dans la leçon 203 (je pense qu'elle pourrait également être traitée en application des équations différentielles mais ces leçons étaient mes impasses). Le schéma au niveau de la surjectivité étaient essentiellement pour moi, pour bien comprendre ce qu'il se passe. Il aurait peut-être était pertinent de le présenter mais je ne le faisais pas par manque de temps.

    Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.
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  • Remarque :
    Cette version du développement sera peut-être courte, voire très courte pour certains. Je vois beaucoup de versions de ce développement faire beaucoup plus que moi.
    Si je voulais correctement tout expliquer, ne rien passer sous silence et donner l'intuition de la démonstration, j'avais besoin des 15 minutes. Peut-être que c'est insuffisant, mais moi ça me plaisait bien :)
    Le document de WOLFF est super intéressant, je le recommande vivement!!

    Côté recasages à mon avis:
    Développements asymptotiques
    Suites de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$
    Suites numériques
    Certains le mettent dans "série de nombres réels et complexes". Je ne trouve pas ça pertinent : on utilise un seul argument qui prend 1 minute à tout cassé dans le développement...

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Utilisée dans les 53 versions de leçons suivantes :