Utilisés dans les 64 versions de développements suivants :
Equation de la chaleur dans une barre
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Développement :
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Remarque :
Énoncé : Soit $f\in\mathcal{C}^1\left([0,\pi],\mathbb{R}\right)$ telle que $f(0)=f(\pi)=0$. Notons $K_f$ l'ensemble des éléments
$$u\;:\:\begin{cases} [0,\pi] \times \mathbb{R}_{+} \longrightarrow \mathbb{R}, \\
(x,t)\longmapsto u(x,t).
\end{cases}$$
de $\mathcal{C}\left([0,\pi] \times \mathbb{R}_+\right)$ qui vérifient :
1.i. $\partial_x u$ et $\partial_t u$ existent et sont continues sur $[0,\pi] \times \mathbb{R}_+^*$,
ii. $\partial^2_{x^2} u$ existe et est continue sur $[0,\pi] \times \mathbb{R}_+^*$,
iii. pour tout réel $t\ge 0$, $u(0,t)=u(\pi,t)=0$,
iv. pour tout $ (x,t)\in [0,\pi] \times\mathbb{R}_+^*$, $\partial_t u(x,t)=\partial^2_{x^2} u(x,t)$\,;
2. Pour tout $ x\in[0,\pi]$, $u(x,0)=f(x)$.
Alors $K_f$ est un singleton.
Nous donnerons de plus l'expression de l'unique élément de $K_f$ sous forme de la somme d'une série d'applications.
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Référence :
Inégalité isopérimétrique
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Développement :
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Remarque :
Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $a$ soit strictement inférieur à $b$.
Soit $C$ une courbe de $\mathbb{R}^2$ admettant un paramétrage $([a,b],f)$ vérifiant :
-- $f(a)=f(b)$
-- $f_{[a,b[}$ injective
-- $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a,b]$ et $f'$ ne s'annule pas.
Soit $A$ l'unique composante connexe bornée définie par $C$. Alors on a :
-- La longueur $L$ de la courbe $C$ vérifie : $$L^2 \geq 4\pi\lambda(A);$$
-- $L^2 = 4\pi \lambda(A)$ si et seulement si $C$ est un cercle.
Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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Référence :
Lemme de Grothendieck
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Développement :
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Remarque :
Soit $(X,\mathcal{A},\mu)$ un espace mesuré de mesure finie. Soit un réel $p\ge1$ et $V$ un sous-espace vectoriel fermé de $\mathbb{L}^p(\mu)$ qui est inclus dans $\mathbb{L}^{\infty}(\mu)$. Alors $V$ est de dimension finie.
Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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Référence :
Inégalité de Hoeffding
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Développement :
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Remarque :
Peut être présentée avec une application.
Soit $(X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires à valeurs réelles, indépendantes, centrées. On suppose qu'il existe une suite de réels strictement positifs $(c_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ telle que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on ait :
$$|X_n|\leq c_n, \text{ presque sûrement.}$$
On note $S_n=\sum_{k=1}^{n}{X_k}$. Alors, pour tout $\varepsilon\in\mathbb{R}_+^*$ et tout $n\in\mathbb{N}^*$, on a :
\begin{equation} \mathbb{P}(|S_n|>\varepsilon) \leq 2\exp\left(\frac{-\varepsilon^2}{2\sum_{k=1}^{n}{c_k^2}}\right) \end{equation}
Référence (théorème et deux applications) : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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Référence :
Lemme de Morse
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Développement :
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Remarque :
Une application qui peut être proposée concerne la stabilité des systèmes newtoniens.
Énoncé : Soient un entier $n\ge 1$, $\mathcal{U}$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ contenant l'origine $\mathbf{0}$, et $f$ un élément de $\mathcal{C}^3(\mathcal{U}, \mathbb{R})$. On suppose que la différentielle de $f$ est nulle en l'origine et que sa différentielle d'ordre $2$ est non dégénérée en l'origine.
Alors il existe un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme $\Phi$ d'un voisinage $\mathcal{V}$ de $ \mathbf{0} $ sur un voisnage $\mathcal W$ de $ \mathbf{0} $ inclus dans $\mathcal U$, qui conserve l'origine et tel que pour tout $ Z \in \mathcal{V}$, on ait :
\begin{equation} f(\Phi( Z) ) - f( \mathbf{0} ) = \frac{1}{2} \mathrm{D}^2_{ \mathbf{0} }f\cdot \left( Z,Z\right). \end{equation}
Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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Référence :
Lemme de Morse et application
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Développement :
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Remarque :
L'application concerne la stabilité des systèmes newtoniens.
Énoncé : Soient un entier $n\ge 1$, $\mathcal{U}$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ contenant l'origine $\mathbf{0}$, et $f$ un élément de $\mathcal{C}^3(\mathcal{U}, \mathbb{R})$. On suppose que la différentielle de $f$ est nulle en l'origine et que sa différentielle d'ordre $2$ est non dégénérée en l'origine.
Alors il existe un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme $\Phi$ d'un voisinage $\mathcal{V}$ de $ \mathbf{0} $ sur un voisnage $\mathcal W$ de $ \mathbf{0} $ inclus dans $\mathcal U$, qui conserve l'origine et tel que pour tout $ Z \in \mathcal{V}$, on ait :
\begin{equation} f(\Phi( Z) ) - f( \mathbf{0} ) = \frac{1}{2} \mathrm{D}^2_{ \mathbf{0} }f\cdot \left( Z,Z\right). \end{equation}
Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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Référence :
Limite de variables aléatoires gaussiennes
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Développement :
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Référence :
Nombres de Bell
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Développement :
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Remarque :
Énoncé : Pour tout entier naturel $n$ non nul, $B_n$ désigne le nombre de relations d'équivalence sur un ensemble à $n$ éléments. Et l'on conviendra que $B_0=1$.
Alors :
-- Pour tout $n\in\mathbb{N}$,
\begin{equation}B_{n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}n\\k\\ \end{pmatrix}B_{n-k}.
\end{equation}
-- La série entière de la variable réelle $t$, $$\sum\limits_{n\ge 0}\frac{B_n}{n!}t^n$$
a un rayon de convergence $R$ non nul et sa somme $S$ vérifie :
$$
\forall t\in \,]-R,R\,[, \;S'(t)= \exp(t)S(t).
$$
-- Pour tout entier naturel $n$,
$$
B_n=\frac 1 e\sum\limits_{p=0}^{+\infty} \frac {p^n }{ p! }\hbox{ (formule de Doblinski)}.
$$
Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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Référence :
Problème de la fortune du joueur
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Développement :
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Remarque :
Soit $(X_n)_{n\in\mathbb{N}*}$ une suite de variables aléatoires discrètes, indépendantes et identiquement distribuées, dont la loi est définie par :
$$ \mathbb{P}(X_1=1)=p, \mathbb{P}(X_1=-1)=1-p=q.$$
La variable aléatoire $X_n$ représente, le gain du joueur à l'issue du $n^{\mathrm{e}}$ lancer, dans la mesure où la partie se déroule en au moins $n$ lancers.
Pour un entier $k\in [\![0,a+A]\!]$, on définit la suite de variables aléatoires $(S_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ :
$$ S_0=k, \;\;\; \forall n\in\mathbb{N}^*, S_n=k + \sum_{j=1}^{n}{X_j}.$$
Si $S_0=a$ alors, avec la même réserve sur $n$, $S_n$ représentele capital du joueur après $n$ lancers de pièce.
Enfin, on définit la variable aléatoire $T$, représentant la durée de la partie, par la relation :
$$T= \mathop{\mathrm{inf}} \left\{n\in\mathbb{N} \;|\; S_n \in \{ 0, a+A \} \right\},$$
en convenant que $\mathop{\mathrm{inf}}(\emptyset )=+\infty$.
Énoncé : En prenant $S_0=a$,
-- Le nombre de tours moyen pour que la partie s'achève est donné par les formules :
si $p > \frac{1}{2}$ alors, $$ \mathbb{E}[T]= \frac{(a+A)\frac{1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a}}{1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a+A}}-a}{p-q},$$
si $p = \frac{1}{2}$ alors, $$ \mathbb{E}[T]= a\,A.$$
-- Presque sûrement, le jeu se finit en un nombre fini de lancers : $$\mathbb{P}(T < + \infty)=1.$$
-- La probabilité que le joueur gagne est donnée par les formules :
si $p > \frac{1}{2}$ alors, $$\mathbb{P}(S_T=a+A)=\frac{1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a}}{1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a+A}},$$
si $p = \frac{1}{2}$ alors, $$\mathbb{P}(S_T=a+A) = \frac{a}{a+A}.$$
Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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Référence :
Résolution d'une EDPE
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Développement :
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Remarque :
Énoncé : Soit $f\in\mathbb{L}^2([0,1],\mathbb{R})$, $\alpha \in \mathbb{L}^{\infty}([0,1],\mathbb{R})$ et $\beta\in\mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R})$. On suppose que :
-- Il existe $\alpha_{\mathrm{min}}\in\mathbb{R}_+^*$ telle que, pour $\lambda-$presque tout $x\in[0,1]$, on ait $\alpha_{\mathrm{min}}\leq \alpha(x)$,
-- Pour tout $x\in [0,1]$, $\beta'(x)\leq 2$.
Alors il existe un unique élément $u$ de $H_0^1(]0,1[,\mathbb{R})$ qui soit solution, au sens des distributions, du problème :
\begin{equation} -(\alpha u')'+\beta u' + u = f \end{equation}
Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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Référence :
Sommation d'Abel des séries de Fourier
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Développement :
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Référence :
Théorème central limite
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Développement :
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Remarque :
Possibilité d'ajouter une des deux applications suivantes :
Application 1 : Soit $p\in\, ]0,1[$. Soit $(Y_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires réelles telle que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $Y_n$ suive la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$. Alors on a :
$$ \frac{Y_n-np}{\sqrt{np(1-p)}} \xrightarrow[n\to +\infty]{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1).$$
Application 2 : Soit $n\in \mathbb{N}^*$. On étudie le modèle statistique $\left( \{0,1\}^n, \{\mathcal{B}(1,p)\}_{p\in\, ]0,1[}\right)$. Soit $X_n,\ldots,X_n$, un $n$-échantillon de loi de Bernoulli $\mathcal{B}(1,p)$, $p\in\,]0,1[$.
Pour $\alpha\in\, ]0,1[$, déterminons un intervalle au niveau de confiance asymptotique $1-\alpha$ du paramètre d'intérêt $p$.
Référence (également valable pour le TCL) : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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Référence :
Théorème d'Abel angulaire
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Développement :
-
Remarque :
Peut être complété par le théorème de Tauber faible.
Référence (pour Abel angulaire et Tauber faible) : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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Référence :
Théorème d'Ascoli
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Développement :
-
Remarque :
201 203 205 228
Énoncé : Soient $(K,\mathrm{d})$ un espace métrique compact et $\mathcal{A}$ une partie de l'espace vectoriel normé $\left( \mathcal{C}(K,\mathbb{C}), \|\cdot\|_{\infty} \right)$ des fonctions continues sur $K$. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
-- La partie $\mathcal{A}$ est équicontinue et bornée.
-- La partie $\mathcal{A}$ est relativement compacte.
Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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Référence :
Théorème d'Hadamard Levy
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Développement :
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Remarque :
Soient $n\in\mathbb{N}^*$ et $f : \mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)$.
Les deux propositions suivantes sont équivalentes :
-- L'application $f$ est un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme de $\mathbb{R}^n$ sur $\mathbb{R}^n$.
-- Pour tout $x\in \mathbb{R}^n$, $\mathrm{D}_x f$ est inversible, et $\lim\limits_{\|x\|\to +\infty}{\|f(x)\|}=+\infty$.
Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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Référence :
Théorème de Banach-Alaoglu
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Développement :
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Référence :
Théorème de Banach-Steinhaus et série de Fourier divergente
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Développement :
-
Remarque :
Pour l'application.
Énoncé :
-- Pour tout élément $x_0$ de $\mathbb{R}$, il existe un ${\mathcal G}_\delta$ dense $D$ de $({\mathcal C }_{2\pi},\|\cdot\|_\infty)$, tel que pour tout élément $f$ de $D$,
$$ \mathop{\sup}\limits_{n\in\mathbb{N}}|S_n(f)(x_0)|=+\infty,$$ (en particulier la série de Fourier de $f$ diverge en $x_0$.)
-- Il existe un ${\mathcal G}_\delta$ dense $\Delta$ de $({\mathcal C }_{2\pi},\|\cdot\|_\infty)$, tel que pour tout élément $f$ de $\Delta$,
l'ensemble
$$
\left\{x\in \mathbb{R}\;\big|\; \mathop{\sup}\limits_{n\in\mathbb{N}}|S_n(f)(x)|=+\infty
\right\}
$$
soit un ${\mathcal G}_\delta$ dense de $(\mathbb{R},|\cdot|)$.
Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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Référence :
Théorème de Bernstein-Valiron
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Développement :
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Remarque :
Énoncé : Soit $f$ une application d'un intervalle ouvert $I$ à valeurs réelles, indéfiniment dérivable. On suppose que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $f^{(2n)}$ est positive. Alors $f$ est analytique sur $I$.
Avec une application dans la référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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Référence :
Théorème de Bernstein pour les séries entières
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Développement :
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Remarque :
Énoncé : Soit $f$ une application d'un intervalle ouvert $I$ à valeurs réelles, indéfiniment dérivable. On suppose que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $f^{(2n)}$ est positive. Alors $f$ est analytique sur $I$.
Avec une application dans la référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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Référence :
Théorème de Cauchy-Lipschitz global
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Développement :
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Référence :
Théorème de Lax-Milgram et une application
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Développement :
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Remarque :
Pour une application détaillée, consulter également la référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
Énoncé : Soit $f\in\mathbb{L}^2([0,1],\mathbb{R})$, $\alpha \in \mathbb{L}^{\infty}([0,1],\mathbb{R})$ et $\beta\in\mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R})$. On suppose que :
-- Il existe $\alpha_{\mathrm{min}}\in\mathbb{R}_+^*$ telle que, pour $\lambda-$presque tout $x\in[0,1]$, on ait $\alpha_{\mathrm{min}}\leq \alpha(x)$,
-- Pour tout $x\in [0,1]$, $\beta'(x)\leq 2$.
Alors il existe un unique élément $u$ de $H_0^1(]0,1[,\mathbb{R})$ qui soit solution, au sens des distributions, du problème :
\begin{equation} -(\alpha u')'+\beta u' + u = f \end{equation}
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Référence :
Un système hyperbolique linéaire
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Développement :
-
Remarque :
Développement très difficile.
Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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Référence :
Échantillonage de Shannon
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Développement :
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Remarque :
Présentée sous une forme simple en application de la formule sommatoire de Poisson dans la référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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Référence :
Algorithme du gradient à pas optimal
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Développement :
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Remarque :
Application de la méthode du pas optimal pour la résolution d'un système linéaire (utilisant l'inégalité de Kantorovitch) dans la référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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Référence :
Convergence vers la loi de Gumbel
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Développement :
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Remarque :
Leçons : 223, 224, 262, 263.
Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On dit que $X$ suit la loi de Gumbel (standard) lorsque pour tout $t\in\mathbb{R}$, on a :
$$F_X(t)=\exp\left(-\mathrm{e}^{-t}\right)$$
Énoncé : Soit $\lambda\in\mathbb{R}_+^*$ et $(X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$. Posons pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ :
$$M_n=\mathop{\max}_{k\in[\![1,n]\!]}{X_k}.$$
Alors on a :
-- $$\frac{M_n}{\mathrm{ln}(n)} \xrightarrow[n \to +\infty]{\mathrm{p.s.}} \frac{1}{\lambda}.$$
-- $$\lambda M_n- \mathrm{ln}(n) \xrightarrow[n \to +\infty]{\mathcal{L}} Y,$$ où $Y$ est une variable aléatoire suivant la loi de Gumbel.
Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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Référence :
Développement asymptotique de suites definies par récurrence
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Développement :
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Remarque :
Énoncé :
-- Soient un réel $b>0$ et $f$ une application de $[0,b]$ dans $\mathbb{R}$.
On suppose que :
1. $f$ est continue;
2. $f$ est à valeurs dans $[a,b]$;
3. $f$ est croissante;
4. pour tout élément $x$ de $]0,b]$, $f(x)$ strictement plus petit que $x$ et $f(0)=0$;
5. Il existe un réel $\lambda>0$ et un réel $r>1$ tels que :
$$ f(x) =x-\lambda x^r+\mathop{o}\limits_{x\to 0}\left(x^r\right).$$
Pour tout $c\in\, ]0,b[$ la relation \begin{equation} u_0=c,\; \forall n\in\mathbb{N}, u_{n+1}=f(u_n) \end{equation} définit une suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ à valeurs dans $]0,b[$, de limite $0$, de plus :
$$ u_n \mathop{\sim}\limits_{n\to +\infty} \frac {K}{n^{\frac{1}{r-1}} },\hbox{ où } K=(\lambda(r-1))^{\frac{1}{1-r}}. $$
-- Dans le cas particulier $f\;:\; x\longmapsto \ln(1+x),$ on a le développement asymptotique à deux termes :
$$ u_n=\frac 2 n +\frac{2\ln(n)}{3n^2}+ \mathop{ o}\limits_{n\to +\infty} \left( \frac{\ln n} {n^2} \right) .$$
-- Soit $d \in \mathbb{R}_+$ la relation
\begin{equation} v_0=d,\; \forall n\in\mathbb{N}, v_{n+1}=v_n+\exp\left(-v_n^2\right) \end{equation} définit une suite $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ qui diverge vers $+\infty$. De plus :
$$v_n \mathop{\sim}\limits_{n\to+\infty}\sqrt{\ln n}.$$
Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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Référence :
Ellipsoïde de John Loewner
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Développement :
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Remarque :
On trouvera (en plus de l'énoncé classique) un énoncé et une preuve alternative (répondant à une question fréquemment posée par le jury) dans la référence :
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses.
C'est une généralisation du résultat dans lequel on n'impose pas que le centre de l'ellipsoïde soit l'origine.
Énoncé (Ellipsoïde affine de John-Loewner) : Soit $K$ un ensemble compact de $\mathbb{R}^N$ d'intérieur non vide. Alors il existe un et un seul ellipsoïde plein de volume minimal (NON NÉCESSAIREMENT CENTRÉ EN L'ORIGINE), qui contienne $K$.
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Référence :
Théorème de Cauchy-Lipschitz local
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Développement :
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Remarque :
Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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Référence :
Suite récurrente : convergence lente
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Développement :
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Remarque :
Pour cet énoncé (et d'autres développements asymptotiques de suites), consulter aussi la référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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Référence :
Séries de Fourier des applications continues
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Développement :
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Remarque :
Énoncé :
-- Pour tout élément $x_0$ de $\mathbb{R}$, il existe un ${\mathcal G}_\delta$ dense $D$ de $({\mathcal C }_{2\pi},\|\cdot\|_\infty)$, tel que pour tout élément $f$ de $D$,
$$ \mathop{\sup}\limits_{n\in\mathbb{N}}|S_n(f)(x_0)|=+\infty,$$ (en particulier la série de Fourier de $f$ diverge en $x_0$.)
-- Il existe un ${\mathcal G}_\delta$ dense $\Delta$ de $({\mathcal C }_{2\pi},\|\cdot\|_\infty)$, tel que pour tout élément $f$ de $\Delta$,
l'ensemble
$$
\left\{x\in \mathbb{R}\;\big|\; \mathop{\sup}\limits_{n\in\mathbb{N}}|S_n(f)(x)|=+\infty
\right\}
$$
soit un ${\mathcal G}_\delta$ dense de $(\mathbb{R},|\cdot|)$.
Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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Référence :
Méthode de relaxation
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Développement :
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Remarque :
Voir aussi la référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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Référence :
Intégrale de Dirichlet
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Développement :
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Remarque :
On peut aboutir à ce résultat par au moins quatre méthodes. Trois d'entre elles (résidus, transformée de Laplace, transformée de Fourier-Plancherel) sont présentées dans la référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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Référence :
Formule sommatoire de Poisson
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Développement :
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Remarque :
On peut l'accompagner de la règle d'échantillonnage de Shannon dans un cas simple. Voir la référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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Référence :
Formule des compléments
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Développement :
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Remarque :
Autre référence détaillée pour cet exposé : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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Référence :
Théorèmes de point fixe compact
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Développement :
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Référence :
Espace de Bergman du disque unité
Théorèmes d'Abel angulaire et taubérien faible
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Développement :
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Référence :
Formule des compléments
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Algorithme du gradient à pas optimal
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Développement :
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Remarque :
Algorithme du gradient à pas optimal appliqué à la fonctionnelle quadratique.
Je préconise de connaître (un peu) l'algorithme du gradient général sur les fonctions fortement convexes.
Je préconise aussi de connaître un minimum l'algorithme du gradient conjugué, qui est une version similaire, mais plus forte, du gradient à pas optimal. Voir "Analyse numérique et optimisation" de Allaire pour plus de détails.
Attention si vous voulez mettre ce dev dans 229 et 253 ! La convexité n'apparaît que dans le lemme de Kantorovitch ...
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Référence :
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Fichier :
Séries de Fourier des applications continues
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Algorithme du gradient à pas optimal
Inégalité de Hardy
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Algorithme du gradient à pas optimal
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Développement :
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Remarque :
D'après moi pour les leçons : 162, 219, 223, 226, 229, 233 et 253.
Je suis passé à l'oral sur ce développement (voir mon retour sur la leçon 233 si cela vous intéresse, notamment les questions).
Le développement est assez calculatoire et le jury le sait. Je ne peux que conseiller de prévoir du temps pour expliquer l'algorithme (le 2) de mon document), de faire un dessin et surtout de prévenir le jury que vous allez l'expliquer.
Pour moi la convexité apparaît à deux endroits : pour l'unicité du minimum de la fonctionnelle quadratique (qui est strictement convexe) et dans le lemme de Kantorovich.
NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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Référence :
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Fichier :
Intégrale de Dirichlet
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Développement :
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Remarque :
Développement relativement classique, assez long mais pas très difficile.
On utilise le théorème C^1 sous le signe intégrale, le théorème fondamental de l'analyse (qu'il faut savoir rapidement démontrer) et le théorème de convergence dominée.
On peut également, comme le suggère le livre de Julien et Laurent Bernis, démontrer ce résultat de deux manières différentes, mais cela me parait beaucoup trop long pour être présenter en 15 minutes; ce sont néanmoins des techniques à connaitre.
NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi.
NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.
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Référence :
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Fichier :
Théorème de Cauchy-Lipschitz local
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Développement :
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Remarque :
Développement très classique, relativement court (en fonction de ce qu'on décide de démontrer ou non) et assez difficile. Je pense qu'il faut absolument connaitre cette démonstration, en particulier si vous présentez l'option B (on m'a posé plusieurs questions sur ce théorème le jour de mon oral d'option).
NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi.
NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.
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Références :
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Fichier :
Intégrale de Dirichlet
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Développement :
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Remarque :
Le sinus cardinal est une fonction spéciale utilisée en physique (cf sa page wikipédia) notamment car c'est la transformée de Fourier de la fonction "porte" (cf démo 3).
On calcule ici l'intégrale de Dirichlet de 5 manières différentes, permettant de s'adapter à la leçon en question: interversion intégrale-intégrale par Fubini, intégration sur un chemin, transformée de Fourier Plancherel, transformée de Laplace et primitive, ou enfin transformée de Laplace et équation différentielle.
Pour les pages :
Candelpergher, Calcul intégral : p30, p212 (ce n'est pas indiqué dans l'index mais l'on peut les trouver rapidement en cherchant dans les chapitres intégrales impropres, théorème de Fubini, théorème de Cauchy)
Francinou Gianella Oraux X-ENS Analyse 3 p214
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Références :
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Fichier :
Inégalité de Hoeffding et deux applications
Un théorème de Cartan et Von Neumann
Théorèmes d'Abel angulaire et taubérien faible
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Développement :
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Référence :
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Compacts dans un Banach
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Développement :
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Référence :
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Inégalité de Hoeffding
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Théorème central limite
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Formules de Poisson et Shannon
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
L'équation de la chaleur par les séries de Fourier
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Méthode du gradient à pas optimal [doublon]
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Intégrale de Dirichlet
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Résolution de l'équation de la chaleur par les séries de Fourier
Inégalité isopérimétrique
Transformée de Laplace et intégrale de Dirichlet
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 235, 236, 239
Faraut p99 (ma version préférée)
Bernis p259 (je n'aime pas l'approche de la preuve de la continuité en 0)
FGN p214
Rekasator (vraiment) fonctionnel + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Références :
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Fichier :
Compacts dans les espaces de Banach et théorème d'Ascoli
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Développement :
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Référence :
Différentielle de la limite
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Développement :
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Remarque :
Ce trouve dans le Bernis
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Référence :
Ensembles de vecteurs presque orthogonaux
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Développement :
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Référence :
Inégalité de Hoeffding et application à la convergence presque sûre
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Développement :
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Référence :
Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire
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Développement :
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Référence :
Utilisés dans les 27 versions de leçons suivantes :
219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
233 : Analyse numérique matricielle : résolution approchée de systèmes linéaires, recherche de vecteurs propres, exemples.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.
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Leçon :
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Références :
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Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation
, Ciarlet
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Analyse
, Gourdon
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Analyse fonctionnelle - Théorie et applications, Brezis, Haim
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Elements d'analyse fonctionnelle
, Hirsch
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Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
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Analyse numérique et optimisation : une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique, Allaire
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Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès
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Fichier :
246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
205 : Espaces complets. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
203 : Utilisation de la notion de compacité.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
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Leçon :
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Références :
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Analyse numérique et optimisation : une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique, Allaire
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Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 2, Caldero, Germoni
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Oraux X-ENS Algèbre 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Algèbre
, Gourdon
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Algèbre linéaire
, Grifone
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Cours d'algèbre
, Perrin
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Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Fichier :
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Zad] Un max de maths : Zavidovique
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
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Références :
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Fichier :
203 : Utilisation de la notion de compacité.
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Leçon :
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Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[GouAn] Analyse : Gourdon
[ZQ] Analyse pour l'agrégation : Queffelec, Zuily
[Has] Topologie générale et espaces normés : Hage Hassan
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li
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Références :
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Fichier :
219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[ElAm] Calcul Différentiel : El Amrani (pas référencé par agregmaths)
[GouAn] Analyse : Gourdon
[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[Rou] Petit guide de calcul différentiel : Rouvière
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
[Gri] Algèbre linéaire : Grifone
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Références :
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Analyse
, Gourdon
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Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li
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131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
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Petit guide de calcul différentiel
, Rouvière
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Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
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Algèbre linéaire
, Grifone
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Fichier :
223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[ElAm] Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions : El Amrani
[Rom] Elements d'analyse réelle : Rombaldi
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Ouv2] Probabilités 2 : Ouvrard
[GouAn] Analyse : Gourdon
[FGN An2] Oraux X-ENS Analyse 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
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Références :
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Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani
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Elements d'analyse réelle
, Rombaldi
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L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte
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Probabilités 2
, Ouvrard
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Analyse
, Gourdon
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Oraux X-ENS Analyse 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
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Fichier :
229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[RDO] Cours de mathématiques, topologie et éléments d'analyse Tome 3 : Ramis, Deschamps, Odoux
[GouAn] Analyse : Gourdon
[Rom] Elements d'analyse réelle : Rombaldi
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
[NR] No Reference :(
[Rou] Petit guide de calcul différentiel : Rouvière
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Références :
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Fichier :
253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.
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Leçon :
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Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Has] Topologie générale et espaces normés : Hage Hassan
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li
[Tau] Analyse complexe pour la Licence 3 : Tauvel
[Rom] Elements d'analyse réelle : Rombaldi
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
[NR] No Reference :(
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Références :
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Topologie générale et espaces normés
, Hage Hassan
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131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
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Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li
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Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel
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Elements d'analyse réelle
, Rombaldi
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Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
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Fichier :
261 : Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[BaLe] Probabilités : Barbe-Ledoux
[Ouv1] Probabilités 1 : Ouvrard
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
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Références :
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Fichier :
262 : Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[BaLe] Probabilités : Barbe-Ledoux
[Hauch] Les contre-exemples en mathématiques : Hauchecorne
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
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Références :
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Fichier :
264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Ouv1] Probabilités 1 : Ouvrard
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
[NR] No Reference :(
[Ouv2] Probabilités 2 : Ouvrard
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Références :
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Fichier :
265 : Exemples d'études et d'applications de fonctions usuelles et spéciales.
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Leçon :
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Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Tau] Analyse complexe pour la Licence 3 : Tauvel
[ZQ] Analyse pour l'agrégation : Queffelec, Zuily
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[Ouv1] Probabilités 1 : Ouvrard
[NR] No Reference :(
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
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Références :
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Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel
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Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
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131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
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Probabilités 1
, Ouvrard
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Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
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Fichier :
266 : Illustration de la notion d’indépendance en probabilités.
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Leçon :
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Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[BaLe] Probabilités : Barbe-Ledoux
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
[NR] No Reference :(
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Références :
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Fichier :
241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
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Leçon :
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Références :
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Les contre-exemples en mathématiques
, Hauchecorne
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Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani
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Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
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Oraux X-ENS Analyse 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Analyse
, Gourdon
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Exercices pour l'agrégation - Analyse 1
, Chambert-Loir
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Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel
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Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
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Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
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Fichier :
246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.