Développement : Intégrale de Dirichlet

Détails/Enoncé :

L'intégrale $\int_{0}^{\infty}\frac{\sin t}{t}dt$ est semi-convergente, et sa valeur est $\frac{\pi}{2}$.

Recasages pour l'année 2024 :

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  • Remarque :
    Développement relativement classique, assez long mais pas très difficile.
    On utilise le théorème C^1 sous le signe intégrale, le théorème fondamental de l'analyse (qu'il faut savoir rapidement démontrer) et le théorème de convergence dominée.
    On peut également, comme le suggère le livre de Julien et Laurent Bernis, démontrer ce résultat de deux manières différentes, mais cela me parait beaucoup trop long pour être présenter en 15 minutes; ce sont néanmoins des techniques à connaitre.

    NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi.
    NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 131 versions au total)
Calcul intégral, Candelpergher (utilisée dans 28 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 3, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 17 versions au total)
Calcul Intégral , Faraut (utilisée dans 18 versions au total)
Intégration et applications, Daniel Li (utilisée dans 4 versions au total)