Développement : Intégrale de Dirichlet

Détails/Enoncé :

L'intégrale $\int_{0}^{\infty}\frac{\sin t}{t}dt$ est semi-convergente, et sa valeur est $\frac{\pi}{2}$.

Recasages pour l'année 2025 :

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  • Remarque :
    Développement relativement classique, assez long mais pas très difficile.
    On utilise le théorème C^1 sous le signe intégrale, le théorème fondamental de l'analyse (qu'il faut savoir rapidement démontrer) et le théorème de convergence dominée.
    On peut également, comme le suggère le livre de Julien et Laurent Bernis, démontrer ce résultat de deux manières différentes, mais cela me parait beaucoup trop long pour être présenter en 15 minutes; ce sont néanmoins des techniques à connaitre.

    NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi.
    NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.
  • Référence :
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  • Remarque :
    Cette version utilise plein de résultats d'intégration. Testée et approuvée, mais à ne pas découvrir le jour de l'oral. Et tenez vous prêt à expliquer pourquoi l'intégrale n'est que semi-convergente.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 152 versions au total)
Calcul intégral, Candelpergher (utilisée dans 34 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 3, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 31 versions au total)
Calcul Intégral , Faraut (utilisée dans 34 versions au total)
Intégration et applications, Daniel Li (utilisée dans 7 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 603 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, 2de édition, Julien Bernis, Laurent Bernis (utilisée dans 9 versions au total)