Développement : Intégrale de Dirichlet

Détails/Enoncé :

L'intégrale $\int_{0}^{\infty}\frac{\sin t}{t}dt$ est semi-convergente, et sa valeur est $\frac{\pi}{2}$.

Référence : Faraut, p. 215-216

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    Développement relativement classique, assez long mais pas très difficile.
    On utilise le théorème C^1 sous le signe intégrale, le théorème fondamental de l'analyse (qu'il faut savoir rapidement démontrer) et le théorème de convergence dominée.
    On peut également, comme le suggère le livre de Julien et Laurent Bernis, démontrer ce résultat de deux manières différentes, mais cela me parait beaucoup trop long pour être présenter en 15 minutes; ce sont néanmoins des techniques à connaitre.

    NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi.
    NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.
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