Utilisée dans les 21 versions de développements suivants :
Équation de la chaleur sur le cercle
-
Développement :
-
Remarque :
euh réf ??
-
Référence :
-
Fichier :
Formule d'Euler-Maclaurin et série harmonique
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Équation de la chaleur sur le cercle
Formule d'Euler-Maclaurin et applications
-
Développement :
-
Remarque :
Voir les pp.64 à 76 de Calcul intégral de Candelpergher (notamment les pp.70 à 74). La formule d'Euler-MacLaurin exposée dans ce livre permet de donner plusieurs développements asymptotiques assez précis, à part pour le terme constant en général (mais pour x -> 1/x^2 par exemple on peut utiliser de l'analyse harmonique de base pour déterminer le terme constant (la somme des 1/n^2)).
-
Référence :
Prolongement de la fonction Zeta de Riemann
La transformée de Fourier sur L^2(R)
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Équation de la chaleur sur le cercle
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Intégrale de Dirichlet
-
Développement :
-
Remarque :
Le sinus cardinal est une fonction spéciale utilisée en physique (cf sa page wikipédia) notamment car c'est la transformée de Fourier de la fonction "porte" (cf démo 3).
On calcule ici l'intégrale de Dirichlet de 5 manières différentes, permettant de s'adapter à la leçon en question: interversion intégrale-intégrale par Fubini, intégration sur un chemin, transformée de Fourier Plancherel, transformée de Laplace et primitive, ou enfin transformée de Laplace et équation différentielle.
Pour les pages :
Candelpergher, Calcul intégral : p30, p212 (ce n'est pas indiqué dans l'index mais l'on peut les trouver rapidement en cherchant dans les chapitres intégrales impropres, théorème de Fubini, théorème de Cauchy)
Francinou Gianella Oraux X-ENS Analyse 3 p214
-
Références :
-
Fichier :
Intégrale de Dirichlet
-
Développement :
-
Références :
-
Fichier :
Intégrale de Dirichlet
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Formule de la coaire, volume des boules, aire des sphères
-
Développement :
-
Remarque :
Voir Analyse mathématique, Schwartz : le développement n'y est pas explicitement écrit, mais il y a les idées.
Je pense que la preuve de la formule de la coaire n'est pas exigible, mais il est bon de l'avoir lue au moins une fois. De même, il faut comprendre dans les grandes lignes ce qu'est une mesure superficielle.
CouZaert a proposé ce développement le jour de son oral (leçon 236). Il faut croire que le jury en a eu peur, car nulle mention n'en a été faite :)
N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
-
Références :
-
Fichier :
Prolongement de la fonction Gamma d'Euler
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Équation de la chaleur sur le cercle
-
Développement :
-
Remarque :
Attention à la version du Candelpergher qui ne justifie pas toutes les étapes, notamment de l'unicité, étant donné qu'il pose, comme fonction E, l'intégrale du carré d'une fonction a priori complexe !! Pour le cas général ($f$ seulement supposée continue), je me suis référé au Zuily-Queffélec, qui explique vite fait pourquoi le noyau de la chaleur est une approximation de l'unité.
-
Références :
-
Fichier :
Méthode de la phase stationnaire
Formule d'Euler-Maclaurin et applications
Intégrale de Dirichlet
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Méthode de la phase stationnaire
Intégrale de Dirichlet
-
Développement :
-
Remarque :
Je fais 3 démonstrations de la valeur de cette intégrale (Fubini, analyse complexe, transformée de Laplace), à choisir en fonction de la leçon présentée.
Pour les leçons : 228, 235, 236, 239.
-
Références :
-
Fichier :
Théorème de la bijection continue, non-surjectivité de Fourier sur L1([0,1])
-
Développement :
-
Remarque :
C'est trop long, mais on peut mettre l'accent sur la partie qu'on veut :
- démo du lemme de Baire (Gourdon)
- démo de l'application ouverte (Gourdon)
- la norme L1 du noyau de Dirichlet diverge, donc Fper ne peut pas être bijective
-
Références :
Utilisée dans les 26 versions de leçons suivantes :
246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
245 : Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.
222 : Exemples d’équations aux dérivées partielles linéaires.
-
Leçon :
-
Remarque :
Le plan est vigoureusement contestable. J'ai décidé de ne pas suivre la classification réelle des EDP. En particulier, j'ai mis l'équation de la chaleur et l'équation de Schrödinger ensemble, les deux EDP étant très similaires par leur méthode de résolution ...
... mais il est important de remarquer que les solutions ont des propriétés très différentes malgré ce petit facteur i !
-
Références :
-
Fichier :
235 : Problèmes d’interversion de limites et d’intégrales.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
-
Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès
-
Calcul intégral, Candelpergher
-
Analyse
, Gourdon
-
Elements d'analyse fonctionnelle cours et exercises avec réponses, F. Hirsch, G. Lacombe
-
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
-
Fichier :
208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
235 : Problèmes d’interversion en analyse.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.
-
Leçon :
-
Remarque :
Plan préparé en binôme pendant l'année de préparation à l'agreg. L'ordre est peut-être à améliorer, et les titres de partie aussi, mais je trouve ce plan plutôt complet ! J'espère que cela vous sera utile.
-
Références :
-
Analyse numérique et équation différentielle
, Demailly
-
Analyse numérique, Une approche mathématique, Michelle Schatzman
-
Calcul intégral, Candelpergher
-
Analyse
, Gourdon
-
Les contre-exemples en mathématiques
, Hauchecorne
-
Analyse réelle et complexe
, Rudin
-
Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel
-
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
-
Petit guide de calcul différentiel
, Rouvière
-
Fichier :
236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
-
Leçon :
-
Remarque :
Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).
-
Références :
-
Fichier :
149 : Déterminant. Exemples et applications.
224 : Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.
228 : Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.
234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
235 : Problèmes d’interversion de symboles en analyse.
236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Remarque :
Leçon que j'aime beaucoup et sur laquelle je suis passé en oral blanc. Le El Amrani fait quasiment tout mais y a quand même quelques coquilles, faut faire un peu attention. Ça vaut le coup à mon avis de lire un peu le contexte historique dans le El Amrani pour l’amorce et pour organiser le plan.
Pour ma partie sur l'algèbre de Wiener, j'ai pas vraiment trouvé de référence à part le développement sur agreg-maths (y'a quelques trucs dans le Candelpergher et le Arveson donne une autre preuve).
-
Références :
-
Fichier :
250 : Transformation de Fourier. Applications.
228 : Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Remarque :
Cette leçon assomante à première vue est en réalité plutôt bien à faire. Les fonctions convexes sont une notion qui me parait assez essentielle à aborder, même superficiellement. Dans cette leçon, vous pouvez aussi recaser vos meilleurs théorèmes de continuité sous la somme ou l'intégrale, et vous pouvez même mentioner de la transformée de Fourier (tout en restant dans le cadre de la leçon). Les formules de Taylor, et leurs apllications plus ou moins directes, sont aussi un bon moyen de remplir la leçon.
Personnellement, je trouve que le développement sur la fonction de Weierstrass est assez abordable, en plus d'être original, donc n'hésitez pas à le travailler.
Mes dévs : Fonction de Weierstrass, Formule d'Euler-MacLaurin
Mes plans sont généralement assez détaillés, mais il se peut que je n'aie pas mis tous les items, il faudra donc parfois compléter. Aussi, mes plan sont souvent très (trop) long, et sont faits pour quelqu'un qui écrit petit et rapidement, ce n'est donc pas très représentatif d'un plan fait le jour J par d'autres candidats, qui comportera en général moins d'items.
-
Références :
-
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
-
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, 2de édition, Julien Bernis, Laurent Bernis
-
Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès
-
Calcul intégral, Candelpergher
-
Chemins d'Analyse, David Chiron
-
Analyse numérique et équation différentielle
, Demailly
-
Analyse
, Gourdon
-
Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li
-
Elements d'analyse réelle
, Rombaldi
-
Fichier :
235 : Problèmes d’interversion de symboles en analyse.
-
Leçon :
-
Remarque :
Leçon assez large et floue sur le contenu que l'on peut mettre. Bien sûr, les théorèmes d'interversion entre limite et somme/intégrale sont obligatoires, mais on peut aussi penser à de l'interversion limite/limite, à Fubini ... Il est aussi préféreable de faire la distinction entre interversion due à de la CVU, et de l'interversion due à des théorèmes d'intégration de Lebesgue (la cvu peut être utilisée dans tous les Banach). Le domaine des probas peut être un bon moyen d'aborder l'inversion de symbole, surtout dans les cas de convergence en loi ou le TCD ne s'applique pas toujours.
Mes dévs : Stirling par le TCL, Fonction de Weierstrass
Mes plans sont généralement assez détaillés, mais il se peut que je n'aie pas mis tous les items, il faudra donc parfois compléter. Aussi, mes plan sont souvent très (trop) long, et sont faits pour quelqu'un qui écrit petit et rapidement, ce n'est donc pas très représentatif d'un plan fait le jour J par d'autres candidats, qui comportera en général moins d'items.
-
Références :
-
Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani
-
Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels - Niveau M1, El Amrani
-
Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès
-
Calcul intégral, Candelpergher
-
Analyse
, Gourdon
-
Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li
-
Petit guide de calcul différentiel
, Rouvière
-
Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités , Jean-François Dantzer
-
131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
-
Fichier :
236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
-
Leçon :
-
Remarque :
Leçon d'exemples pas si complexe à mettre en place. En plus des théorèmes usuels, vous pouvez parler d'approche numérique, qu'elle soit déterministe ou probabiliste. Vous pouvez même dans une première approche approcher géométriquement (c'est ce qui se cache sous l'approche déterministe) des intégrales (méthode des rectancles, etc ...) et faire de jolis dessins. L'analyse de Fourier et complexe est aussi une bonne voie pour calculer des intégrales.
Mes dévs : Intégrales de Fresnel, Quadrature de Gauss
Mes plans sont généralement assez détaillés, mais il se peut que je n'aie pas mis tous les items, il faudra donc parfois compléter. Aussi, mes plan sont souvent très (trop) long, et sont faits pour quelqu'un qui écrit petit et rapidement, ce n'est donc pas très représentatif d'un plan fait le jour J par d'autres candidats, qui comportera en général moins d'items.
-
Références :
-
Fichier :
