Équation de la chaleur sur le cercle

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Formule d'Euler-Maclaurin et série harmonique

Intégrale de Dirichlet

Attention, les termes "intégrale de Dirichlet" n'apparaissent pas dans l'index.

Équation de la chaleur sur le cercle

Attention aux justifications du Candelpergher qui ne sont parfois pas détaillées !

Formule d'Euler-Maclaurin et applications

Voir les pp.64 à 76 de Calcul intégral de Candelpergher (notamment les pp.70 à 74). La formule d'Euler-MacLaurin exposée dans ce livre permet de donner plusieurs développements asymptotiques assez précis, à part pour le terme constant en général (mais pour x -> 1/x^2 par exemple on peut utiliser de l'analyse harmonique de base pour déterminer le terme constant (la somme des 1/n^2)).

Prolongement de la fonction Zeta de Riemann

En démontrant le prolongement, on obtient également l'équation fonctionnelle.

La transformée de Fourier sur L^2(R)

Équation de la chaleur sur le cercle

Calcul de l'intégrale de Gauss par une équation différentielle

Fait dans Candelpergher page 46-47.
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.

Intégrale de Dirichlet

Le sinus cardinal est une fonction spéciale utilisée en physique (cf sa page wikipédia) notamment car c'est la transformée de Fourier de la fonction "porte" (cf démo 3).
On calcule ici l'intégrale de Dirichlet de 5 manières différentes, permettant de s'adapter à la leçon en question: interversion intégrale-intégrale par Fubini, intégration sur un chemin, transformée de Fourier Plancherel, transformée de Laplace et primitive, ou enfin transformée de Laplace et équation différentielle.

Pour les pages :
Candelpergher, Calcul intégral : p30, p212 (ce n'est pas indiqué dans l'index mais l'on peut les trouver rapidement en cherchant dans les chapitres intégrales impropres, théorème de Fubini, théorème de Cauchy)
Francinou Gianella Oraux X-ENS Analyse 3 p214

Intégrale de Dirichlet

Intégrale de Dirichlet

Transformée de Fourier d'une gaussienne

Dans cette version je compile trois façons différentes de calculer la transformée de Fourier de la gaussienne.
Je pense qu'on pourrait faire un développement où on calcule cette transformée par la formule de Cauchy et par unicité du prolongement analytique pour la leçon 250 ou 245, quitte à calculer seulement la transformée de $x \mapsto e^{-ax^2}$ avec $a = 1$ pour aller plus vite (ce que je fait dans mes notes).
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.

Séries de Fourier. Exemples et applications.

Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

Suivre le Tauvel permet de suivre linéairement le livre sans trop se poser de questions, à quelques détails près.

Exemples d’équations aux dérivées partielles linéaires.

Le plan est vigoureusement contestable. J'ai décidé de ne pas suivre la classification réelle des EDP. En particulier, j'ai mis l'équation de la chaleur et l'équation de Schrödinger ensemble, les deux EDP étant très similaires par leur méthode de résolution ...
... mais il est important de remarquer que les solutions ont des propriétés très différentes malgré ce petit facteur i !

Problèmes d’interversion de limites et d’intégrales.

Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

Séries de Fourier. Exemples et applications.

Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.