Référence : Calcul intégral

Équation de la chaleur sur le cercle

Développement :
Équation de la chaleur sur le cercle
Remarque :
euh réf ??
Référence :
- Calcul intégral, Candelpergher
Fichier :
- eq_chaleur_cercle_sylvain.pdf

Formule d'Euler-Maclaurin et série harmonique

Développement :
Formule d'Euler-Maclaurin et série harmonique
Référence :
- Calcul intégral, Candelpergher
Fichier :
- dm20.pdf

Intégrale de Dirichlet

Développement :
Intégrale de Dirichlet
Remarque :
Attention, les termes "intégrale de Dirichlet" n'apparaissent pas dans l'index.
Référence :
- Calcul intégral, Candelpergher
Fichier :
- dirichlet.pdf

Équation de la chaleur sur le cercle

Développement :
Équation de la chaleur sur le cercle
Remarque :
Attention aux justifications du Candelpergher qui ne sont parfois pas détaillées !
Référence :
- Calcul intégral, Candelpergher
Fichier :
- Dev3.pdf

Formule d'Euler-Maclaurin et applications

Développement :
Formule d'Euler-Maclaurin et applications
Remarque :
Voir les pp.64 à 76 de Calcul intégral de Candelpergher (notamment les pp.70 à 74). La formule d'Euler-MacLaurin exposée dans ce livre permet de donner plusieurs développements asymptotiques assez précis, à part pour le terme constant en général (mais pour x -> 1/x^2 par exemple on peut utiliser de l'analyse harmonique de base pour déterminer le terme constant (la somme des 1/n^2)).
Référence :
- Calcul intégral, Candelpergher

Calcul de l'intégrale de Gauss par une équation différentielle

Développement :
Calcul de l'intégrale de Gauss par une équation différentielle
Remarque :
Fait dans Candelpergher page 46-47.
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
Référence :
- Calcul intégral, Candelpergher
Fichier :
- PM4TAgreg_Gauss_x2.pdf

Intégrale de Dirichlet

Développement :
Intégrale de Dirichlet
Remarque :
Le sinus cardinal est une fonction spéciale utilisée en physique (cf sa page wikipédia) notamment car c'est la transformée de Fourier de la fonction "porte" (cf démo 3).
On calcule ici l'intégrale de Dirichlet de 5 manières différentes, permettant de s'adapter à la leçon en question: interversion intégrale-intégrale par Fubini, intégration sur un chemin, transformée de Fourier Plancherel, transformée de Laplace et primitive, ou enfin transformée de Laplace et équation différentielle.

Pour les pages :
Candelpergher, Calcul intégral : p30, p212 (ce n'est pas indiqué dans l'index mais l'on peut les trouver rapidement en cherchant dans les chapitres intégrales impropres, théorème de Fubini, théorème de Cauchy)
Francinou Gianella Oraux X-ENS Analyse 3 p214
Références :
Fichier :
- quintet dirichlet.pdf

Intégrale de Dirichlet

Développement :
Intégrale de Dirichlet
Références :
- Calcul intégral, Candelpergher
- Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
Fichier :
- Intégrale de Dirichlet Candelperger Bernis .pdf

Intégrale de Dirichlet

Développement :
Intégrale de Dirichlet
Référence :
- Calcul intégral, Candelpergher
Fichier :
- dirichlet.pdf

Transformée de Fourier d'une gaussienne

Développement :
Transformée de Fourier d'une gaussienne
Remarque :
Dans cette version je compile trois façons différentes de calculer la transformée de Fourier de la gaussienne.
Je pense qu'on pourrait faire un développement où on calcule cette transformée par la formule de Cauchy et par unicité du prolongement analytique pour la leçon 250 ou 245, quitte à calculer seulement la transformée de $x \mapsto e^{-ax^2}$ avec $a = 1$ pour aller plus vite (ce que je fait dans mes notes).
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
Références :
Fichier :
- PM4TAgreg_Fourier_Gauss_x3.pdf

Formule de la coaire, volume des boules, aire des sphères

Développement :
Formule de la coaire, volume des boules, aire des sphères
Remarque :
Voir Analyse mathématique, Schwartz : le développement n'y est pas explicitement écrit, mais il y a les idées.

Je pense que la preuve de la formule de la coaire n'est pas exigible, mais il est bon de l'avoir lue au moins une fois. De même, il faut comprendre dans les grandes lignes ce qu'est une mesure superficielle.

CouZaert a proposé ce développement le jour de son oral (leçon 236). Il faut croire que le jury en a eu peur, car nulle mention n'en a été faite :)

N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
Références :
- Analyse_mathématique, Schwartz
- Calcul intégral, Candelpergher
Fichier :
- Malartre_coaire_boules_sphères.pdf

Prolongement de la fonction Gamma d'Euler

Développement :
Prolongement de la fonction Gamma d'Euler
Référence :
- Calcul intégral, Candelpergher
Fichier :
- Prolongement de Gamma.pdf

Équation de la chaleur sur le cercle

Développement :
Équation de la chaleur sur le cercle
Remarque :
Attention à la version du Candelpergher qui ne justifie pas toutes les étapes, notamment de l'unicité, étant donné qu'il pose, comme fonction E, l'intégrale du carré d'une fonction a priori complexe !! Pour le cas général ($f$ seulement supposée continue), je me suis référé au Zuily-Queffélec, qui explique vite fait pourquoi le noyau de la chaleur est une approximation de l'unité.
Références :
- Calcul intégral, Candelpergher
- Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
Fichier :
- Équation de la chaleur sur le cercle.pdf

Méthode de la phase stationnaire

Développement :
Méthode de la phase stationnaire
Remarque :
Je trouve la version du Candelpergher plus simple que celle de Queffélec-Zuily, même s'il y a quelques erreurs et approximations dans le Candelpergher. Développement calculatoire mais très satisfaisant je trouve !
Référence :
- Calcul intégral, Candelpergher
Fichier :
- La phase stationnaire.pdf

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

Leçon :
Séries de Fourier. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 246 - Séries de Fourier. Exemples et applications.pdf

245 : Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

Leçon :
Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.
Remarque :
Suivre le Tauvel permet de suivre linéairement le livre sans trop se poser de questions, à quelques détails près.
Références :
Fichier :
- 245 - 20sd.pdf

222 : Exemples d’équations aux dérivées partielles linéaires.

Leçon :
Exemples d’équations aux dérivées partielles linéaires.
Remarque :
Le plan est vigoureusement contestable. J'ai décidé de ne pas suivre la classification réelle des EDP. En particulier, j'ai mis l'équation de la chaleur et l'équation de Schrödinger ensemble, les deux EDP étant très similaires par leur méthode de résolution ...
... mais il est important de remarquer que les solutions ont des propriétés très différentes malgré ce petit facteur i !
Références :
- Analyse numérique des EDP , DiMenza
- Calcul intégral, Candelpergher
Fichier :
- Leçon 222.pdf

235 : Problèmes d’interversion de limites et d’intégrales.

Leçon :
Problèmes d’interversion de limites et d’intégrales.
Références :
Fichier :
- Leçon 235.pdf

239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

Leçon :
Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- Leçon 239.pdf

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

Leçon :
Séries de Fourier. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- Leçon 246.pdf

241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

Leçon :
Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
Références :
Fichier :
- Leçon 241.pdf

209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

Leçon :
Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- Leçon 209.pdf

208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Leçon :
Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
Références :
Fichier :
- 208.pdf

235 : Problèmes d’interversion en analyse.

Leçon :
Problèmes d’interversion en analyse.
Références :
Fichier :
- 235.pdf

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

Leçon :
Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
Références :
Fichier :
- 236.pdf

Calcul intégral

Utilisée dans les 11 développements suivants :

Utilisée dans les 9 leçons suivantes :

Utilisée dans les 17 versions de développements suivants :

Équation de la chaleur sur le cercle

Formule d'Euler-Maclaurin et série harmonique

Intégrale de Dirichlet

Équation de la chaleur sur le cercle

Formule d'Euler-Maclaurin et applications

Prolongement de la fonction Zeta de Riemann

La transformée de Fourier sur L^2(R)

Équation de la chaleur sur le cercle

Calcul de l'intégrale de Gauss par une équation différentielle

Intégrale de Dirichlet

Intégrale de Dirichlet

Intégrale de Dirichlet

Transformée de Fourier d'une gaussienne

Formule de la coaire, volume des boules, aire des sphères

Prolongement de la fonction Gamma d'Euler

Équation de la chaleur sur le cercle

Méthode de la phase stationnaire

Utilisée dans les 11 versions de leçons suivantes :

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

245 : Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

222 : Exemples d’équations aux dérivées partielles linéaires.

235 : Problèmes d’interversion de limites et d’intégrales.

239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

235 : Problèmes d’interversion en analyse.

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.