Leçon 246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

(2019) 246
(2021) 246

Dernier rapport du Jury :

(2019 : 246 - Séries de Fourier. Exemples et applications.) Les différents résultats autour de la convergence ($L^2$, Fejér, Dirichlet,...) doivent être connus. On prendra garde au sens de la notation $\sum_{n \in \mathbb{Z}}$ (qu’il est plus prudent d’éviter car elle est souvent inadaptée). Il faut avoir les idées claires sur la notion de fonctions de classe $C^1$ par morceaux(elles ne sont pas forcément continues). Le théorème d’isométrie bijective entre espaces $L^2$ et $l^2$ doit apparaître. Dans le cas d’une fonction continue et $C^1$ par morceaux on peut conclure sur la convergence normale de la série de Fourier sans utiliser le théorème de Dirichlet. Il est classique d’obtenir des sommes de séries remarquables comme conséquence de ces théorèmes. $\\$ On peut aussi s’intéresser à la formule de Poisson et à ses conséquences. L’existence d’exemples de séries de Fourier divergentes, associées à des fonctions continues (qu’ils soient explicites ou obtenus par des techniques d’analyse fonctionnelle) peuvent aussi compléter le contenu. $\\$ Il est souhaitable que cette leçon ne se réduise pas à un cours abstrait sur les coefficients de Fourier. La résolution d’équations aux dérivées partielles (par exemple l’équation de la chaleur ou l’équation des ondes avec une estimation de la vitesse de convergence) peut illustrer de manière pertinente cette leçon, mais on peut penser à bien d’autres applications (inégalité isopérimétrique, comportements remarquables des fonctions à spectre lacunaire,...).

(2017 : 246 - Séries de Fouriers. Exemples et applications.) Les différents résultats autour de la convergence ($L^2$, Féjer, Dirichlet, ...) doivent être connus. On prendra garde au sens de la notation $\sum_{n \in Z}$ (qu’il peut être plus prudent d’éviter en général). Il faut avoir les idées claires sur la notion de fonctions de classe $C^1$ par morceaux (elles ne sont pas forcément continues). Dans le cas d’une fonction continue et $C^1$ par morceaux on peut conclure sur la convergence normale de la série Fourier sans utiliser le théorème de Dirichlet. Il est classique d’obtenir des sommes de séries remarquables comme conséquence de ces théorèmes. On peut aussi s’intéresser à la formule de Poisson et à ses conséquences. L’existence d’exemples de séries de Fourier divergentes, associées à des fonctions continues (qu’ils soient explicites ou obtenus par des techniques d’analyse fonctionnelle) peuvent aussi compléter le contenu. Il est souhaitable que cette leçon ne se réduise pas à un cours abstrait sur les cœfficients de Fourier. La résolution d’équations aux dérivées partielles (par exemple l’équation de la chaleur ou l’équation des ondes avec une estimation de la vitesse de convergence) peuvent illustrer de manière pertinente cette leçon, mais on peut penser à bien d’autres applications (inégalité isopérimétrique, comportements remarquables des fonctions à spectre lacunaire,... ).
(2016 : 246 - Séries de Fourier. Exemples et applications. ) Les différents résultats autour de la convergence ($L^2$ , Fejér, Dirichlet, . . .) doivent être connus. Il faut avoir les idées claires sur la notion de fonctions de classe $C^1$ par morceaux (elles ne sont pas forcément continues). Dans le cas d’une fonction continue et $C^1$ par morceaux on peut conclure sur la convergence normale de la série Fourier sans utiliser le théorème de Dirichlet. Il est classique d’obtenir des sommes de séries remarquables comme conséquence de ces théorèmes. On peut aussi s’intéresser à la formule de Poisson et à ses conséquences. L’existence d’exemples de séries de Fourier divergentes, associées à des fonctions continues (qu’ils soient explicites ou obtenus par des techniques d’analyse fonctionnelle) peuvent aussi compléter le contenu. Mais il est souhaitable que cette leçon ne se réduise pas à un cours abstrait sur les coefficients de Fourier. La résolution d’équations aux dérivées partielles (par exemple l’équation de la chaleur) peuvent illustrer de manière pertinente cette leçon, mais on peut penser à bien d’autres applications (inégalité isopérimétrique, comportements remarquables des fonctions à spectre lacunaire, ...).
(2015 : 246 - Séries de Fourier. Exemples et applications.) Les différents modes de convergence ( L , Fejer, Dirichlet, ...) doivent être connus. Il faut avoir les idées claires sur la notion de fonctions de classe $C^1$ par morceaux (elles ne sont pas forcément continues). Dans le cas d'une fonction $C^1$ par morceaux on peut conclure sur la convergence normale de la série Fourier sans utiliser le théorème de Dirichlet. Il est souhaitable que cette leçon ne se réduise pas à un cours abstrait sur les coefficients de Fourier. La résolution des équations de la chaleur, de Schrödinger et des ondes dans le cadre de fonctions assez régulières peuvent illustrer de manière pertinente cette leçon.
(2014 : 246 - Séries de Fourier. Exemples et applications.) Les différents modes de convergence ($L^2$ , Fejer, Dirichlet etc...) doivent être connus. Il faut avoir les idées claires sur la notion de fonctions de classe $C^1$ par morceaux (elles ne sont pas forcément continues). Dans le cas d'une fonction continue et $C^1$ par morceaux on peut conclure sur la convergence normale de la série Fourier sans utiliser le théorème de Dirichlet. Il est souhaitable que cette leçon ne se réduise pas à un cours abstrait sur les coefficients de Fourier. La résolution des équations de la chaleur, de Schrödinger et des ondes dans le cadre de fonctions assez régulières peuvent illustrer de manière pertinente cette leçon.

Plans/remarques :

2020 : Leçon 246 - Séries de Fourier. Exemples et applications.


2019 : Leçon 246 - Séries de Fourier. Exemples et applications.


2018 : Leçon 246 - Séries de Fourier. Exemples et applications.


2017 : Leçon 246 - Séries de Fouriers. Exemples et applications.


2016 : Leçon 246 - Séries de Fourier. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

Pas de retours pour cette leçon.

Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani (utilisée dans 59 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 415 versions au total)
Calcul intégral, Candelpergher (utilisée dans 28 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 167 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 131 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités , Jean-François Dantzer (utilisée dans 33 versions au total)
Analyse numérique et optimisation : une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique, Allaire (utilisée dans 22 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 47 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 4 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 42 versions au total)