Référence : Oraux X-ENS Analyse 2

Développement :
Partition d'un entier en parts fixées
Remarque :
Développement original faisant intervenir une série génératrice consistant d'un seul théorème.

Développement n°6 sur 28.
Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE
Référence :
- Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Partition d'un entier à parts fixés.pdf

Critère de Weyl

Développement :
Critère de Weyl
Remarque :
Dans FGN Analyse 2 la preuve est incomplète, ma version est à la fois plus courte et complète.
Critère_de_Weyl.pdf
Référence :
- Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas

Une somme de série par les séries entières

Développement :
Une somme de série par les séries entières
Référence :
- Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Application des séries entières aux calculs de séries.pdf

Série génératrice des nombres de Bernoulli

Développement :
Série génératrice des nombres de Bernoulli
Référence :
- Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas

Expression des zeta(2k)

Développement :
Expression des zeta(2k)
Référence :
- Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Zeta pair.pdf

Critère de Weyl

Développement :
Critère de Weyl
Remarque :
Recasages : 223, 209, 246.

Le critère de Weyl est un très joli résultat autour de l'équirépartition d'une suite modulo 1, qui utilise des séries de Fourier, le théorème de Weierstrass trigonométrique, l'approximation d'une fonction indicatrice d'intervalle par des fonctions continues, ou la construction de l'intégrale de Riemann !
Attention, l'énoncé dans Oraux X-ENS est faux (ne pas prendre k dans N* mais dans Z*).

Je propose ici une preuve et un énoncé légèrement modifiés pour éviter les élucubrations autour de l'approximation d'une fonction non-périodique par le théorème de Weierstrass trigonométrique, que FGN balaie d'un revers de main. Cela induit des modifications par rapport à Oraux X-ENS, mais qui se comprennent facilement.
Références :
- Fourier Analysis, Stein, Shakarchi
- Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Critère_de_Weyl_AgregMaths.pdf

Critère de Weyl

Développement :
Critère de Weyl
Remarque :
Recasages: 209, 223, 246

Page 47

Inspiré de AdrienChd, spécialiste du sujet: je recommande sa version, très complète.

Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
Référence :
- Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Critère de Weyl.pdf

Expression des zeta(2k)

Développement :
Expression des zeta(2k)
Remarque :
Recasages: 230, 243, 246, éventuellement 235

Page 308

Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
Référence :
- Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Zeta 2k.pdf

Théorème de Korovkin

Développement :
Théorème de Korovkin
Référence :
- Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Théorème de Korovkin.pdf

223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.

Leçon :
Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 223.pdf

243 : Convergence des séries entière, propriétés de la somme. Exemples et applications.

Leçon :
Convergence des séries entière, propriétés de la somme. Exemples et applications.
Remarque :
Mis à jour le 14.05.17
Références :
Fichier :
- 243.pdf

202 : Exemples de parties denses et applications.

Leçon :
Exemples de parties denses et applications.
Remarque :
Mis à jour le 19.05.17
Références :
Fichier :
- 202.pdf

209 : Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

Leçon :
Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- L 209.pdf

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

Leçon :
Séries de Fourier. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- L 246.pdf

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

126 : Exemples d’équations en arithmétique.

203 : Utilisation de la notion de compacité.

Leçon :
Utilisation de la notion de compacité.
Références :
Fichier :
- 203 - Utilisation de la notion de compacité.pdf

223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

Leçon :
Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 223 - Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.pdf

223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

Leçon :
Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.
Remarque :
Leçon assez difficile par sa simplicité ...
J'ai, au cours de l'année, remplacé la troisième partie par l'exemple remarquable des suites récurrentes, afin de renforcer le côté "exemple", et en même temps applications puisqu'on utilise beaucoup les suites récurrentes pour la résolution d'équations notamment.
Références :
Fichier :
- Leçon 223.pdf

102 : Groupe des nombres complexes de module 1 . Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.

Leçon :
Groupe des nombres complexes de module 1 . Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.
Remarque :
Plan presque entièrement tiré du Dreveton (par manque d'inspiration).
Pour un plan un peu plus propre aller voir: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Dre] Leçons pour l’agrégation de mathématiques - Préparation à l’oral : Dreveton
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[FGN An2] Oraux X-ENS Analyse 2 : Francinou
Références :
Fichier :
- 102 Groupe des nombres complexes de module 1 . Sous-groupes des racines de l_unité. Applications..pdf

126 : Exemples d'équations en arithmétique.

Leçon :
Exemples d'équations en arithmétique.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[FGN An2] Oraux X-ENS Analyse 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
[FGN Al1] Oraux X-ENS Algèbre 1 : Francinou, Gianella, Nicolas
Références :
Fichier :
- 126 Exemples d_équations en arithmétique..pdf

144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Leçon :
Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[Goz] Théorie de Galois : Gozard
[FGN Al1] Oraux X-ENS Algèbre 1 : Francinou, Gianella, Nicolas
[FGN An2] Oraux X-ENS Analyse 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
[FGN Al2] Oraux X-ENS Algèbre 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
Références :
Fichier :
- 144 Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications..pdf

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Leçon :
Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[DeBia] Mathématiques pour le CAPES et l'Agrégation Interne : Jean de Biaisi
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[FGN An2] Oraux X-ENS Analyse 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
Références :
Fichier :
- 190 Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement..pdf

223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

Leçon :
Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[ElAm] Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions : El Amrani
[Rom] Elements d'analyse réelle : Rombaldi
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Ouv2] Probabilités 2 : Ouvrard
[GouAn] Analyse : Gourdon
[FGN An2] Oraux X-ENS Analyse 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
Références :
Fichier :
- 223 Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications..pdf

230 : Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

Leçon :
Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[ElAm] Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions : El Amrani
[FGN An2] Oraux X-ENS Analyse 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
Références :
Fichier :
- 230 Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples..pdf

245 : Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.

Leçon :
Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Tau] Analyse complexe pour la Licence 3 : Tauvel
[FGN An2] Oraux X-ENS Analyse 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[OA] Objectif Agrégation : Beck, Malick, Peyré
Références :
Fichier :
- 245 Fonctions d_une variable complexe. Exemples et applications..pdf

241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

230 : Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

235 : Problèmes d’interversion en analyse.

Leçon :
Problèmes d’interversion en analyse.
Remarque :
J'ai ajouté la dernière partie sur l'intervention de quantificateurs plus tard, conformément au rapport 2023.
(Je la rédigerai dès que possible)
Références :
Fichier :
- 235.pdf

241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

Leçon :
Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.
Remarque :
A la fin de l'année j'ai enlevé la méthode de Newton de mes développements et j'ai mis la formule de Stirling en utilisant les intégrales de Wallis à la place. J'ai aussi enlevé les suites équirépartie et j'ai approfondis les suites récurrentes.
Références :
Fichier :
- b0 223.pdf

Oraux X-ENS Analyse 2

Utilisée dans les 11 développements suivants :

Utilisée dans les 14 leçons suivantes :

Utilisée dans les 21 versions de développements suivants :

Critère de Weyl

Formule sommatoire de Poisson

Partition d'un entier en parts fixées

Critère de Weyl

Partition d'un entier en parts fixées

Théorème de Helly

Théorème de Helly

Fonction caractéristique C1 sans moment

Expression des zeta(2k)

Théorème de Fejer

Les Théorèmes de Dini et application

Expression des zeta(2k)

Partition d'un entier en parts fixées

Critère de Weyl

Une somme de série par les séries entières

Série génératrice des nombres de Bernoulli

Expression des zeta(2k)

Critère de Weyl

Critère de Weyl

Expression des zeta(2k)

Théorème de Korovkin

Utilisée dans les 25 versions de leçons suivantes :

223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.

243 : Convergence des séries entière, propriétés de la somme. Exemples et applications.

202 : Exemples de parties denses et applications.

209 : Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

126 : Exemples d’équations en arithmétique.

203 : Utilisation de la notion de compacité.

223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

102 : Groupe des nombres complexes de module 1 . Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.

126 : Exemples d'équations en arithmétique.

144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

230 : Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

245 : Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.

241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

230 : Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

235 : Problèmes d’interversion en analyse.

241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.