Leçon 209 : Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

(2017) 209
(2019) 209

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 209 - Approximation d'une fonction par des polynômes et et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.) Cette leçon comporte un certain nombre de classiques comme par exemple les polynômes de Bernstein, éventuellement agrémentés d’une estimation de la vitesse de convergence (avec le module de continuité). Il n’est pas absurde de voir la formule de Taylor comme une approximation locale d’une fonction par des polynômes. Les polynômes d’interpolation de Lagrange peuvent être mentionnés en mettant en évidence les problèmes qu’ils engendrent du point de vue de l’approximation. La résolution de l’équation de la chaleur et/ou des ondes peut trouver sa place dans cette leçon. Pour aller plus loin, le théorème de Fejér (versions $L^1$, $L^p$ ou $C(T)$) offre aussi la possibilité d’un joli développement, surtout s’il est agrémenté d’applications (polynômes trigonométriques lacunaires, injectivité de la transformée de Fourier sur $L^1$, ...), mais on peut aussi s’intéresser à la convolution avec d’autres noyaux.

(2016 : 209 - Approximation d'une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.) Cette leçon comporte un certain nombre de classiques comme par exemple les polynômes de Bernstein, éventuellement agrémenté d’une estimation de la vitesse de convergence (avec le module de continuité). Il n’est pas absurde de voir la formule de Taylor comme une approximation locale d’une fonction par des polynômes. Les polynômes d’interpolation de Lagrange peuvent être mentionnés en mettant en évidence les problèmes qu’ils engendrent du point de vue de l’approximation. Pour aller plus loin, le théorème de Fejér (versions $L^1$, $L^p$ ou $C(T)$) offre aussi la possibilité d’un joli développement, surtout s’il est agrémenté d’applications (polynômes trigonométriques lacunaires, injectivité de la transformée de Fourier sur $L^1$ , . . .), mais on peut aussi s’intéresser à la convolution avec d’autres noyaux.
(2015 : 209 - Approximation d'une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.) Cette leçon comporte un certain nombre de classiques. Les polynômes d'interpolation de Lagrange, les polynômes de Bernstein sont des classiques tout comme le théorème général de Stone-Weierstrass. En ce qui concerne le théorème de Weierstrass par les polynômes de Bernstein, un candidat plus ambitieux pourra donner une estimation de la vitesse de convergence (avec le module de continuité), et éventuellement en montrer l'optimalité. Il n'est pas absurde de voir la formule de Taylor comme une approximation locale d'une fonction par des polynômes. Comme la leçon 202, elle permet aux candidats plus ambitieux d'aller jusqu'à la résolution d'équations aux dérivées partielles (ondes, chaleur, Schrödinger) par séries de Fourier.
(2014 : 209 - Approximation d'une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.) Cette leçon comporte un certain nombre de classiques comme le théorème de Stone-Weierstrass. Comme la leçon 202, elle permet d'explorer aux candidats plus ambitieux d'aller jusqu'à la résolution d'équations aux dérivées partielles (ondes, chaleur, Schrödinger) par séries de Fourier.

Développements :

Plans/remarques :

2018 : Leçon 209 - Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.


2017 : Leçon 209 - Approximation d'une fonction par des polynômes et et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.


2016 : Leçon 209 - Approximation d'une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2018 : Leçon 209 - Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    209 : Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    250 : Transformation de Fourier. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Fejer

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Juste après mon développement, j'ai eu droit aux questions suivantes :

    -Pourquoi t --> ||tau_{t}f - f|| est continue ? Réponse : par densité de C_2pi dans L1_2pi
    -Que pouvez-vous dire de deux fonctions qui ont les mêmes coefficients de Fourier ? Réponse : Elles sont égales presque partout par injectivité du Fourier
    -Montrez l'injectivité du Fourier. Réponse : On utilise Féjer.

    Ensuite un exercice : Soit f dans C2pi, on considère I= { f convolée avec g, g dans C2pi}. Montrez que I est dense dans C2pi.
    Réponse : Il faut utiliser les coefficients de Fourier, et on trouve qu'une condition pour que ce soit dense c'est que les coefficients de Fourier de f ne soit jamais nuls.
    Ils m'ont demandé un exemple de fonction dont les coefficients ne sont jamais nuls mais je n'ai pas trouvé.

    Ensuite un autre exercice: On prend la somme de n=1...N de f(x+n\alpha). Avec \alpha irrationnel et f dans C2pi. Montrez que ca converge vers l'intégrale de f quand N tend vers l'infini. Il faut prendre une suite de polynômes trigonométriques qui converge uniformément vers f et montrer l'hypothèse avec un polynome trigo. Ensuite, il faut passer à la limite.

    Et ça c'est terminé sur ça.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Très désagréable, cassant et agressifs. Il y avait deux monsieurs qui me posaient des questions sans arrêt et ne me laissaient jamais réfléchir et une femme muette

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    14


2016 : Leçon 209 - Approximation d'une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    209 : Approximation d'une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    232 : Méthodes d'approximation des solutions d'une équation $F(X) = 0$. Exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Équation de la chaleur sur le cercle

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Beaucoup de questions sur mon développement,
    des exercices de convergence dominée et de dérivation sous l'intégrale sur lesquelles j'ai buggué comme un gros nul
    Déroutant, d'autant plus que j'avais bien préparé cette leçon et mis des exemples originaux sur lesquels je voulais être questionné.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bizarre. Beaucoup de questions de bases.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas content ... J'ai donné mauvaise impression au début et j'ai jamais vraiment eu le temps de remonter.

  • Note obtenue :

    9.25


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Probabilités 2 , Ouvrard (utilisée dans 30 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 401 versions au total)
Mathématiques analyse L3 , Marco (utilisée dans 7 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 215 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 163 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 46 versions au total)
Analyse numérique et équation différentielle , Demailly (utilisée dans 52 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 136 versions au total)