Développement : Théorème taubérien fort

Détails/Enoncé :

Soit $(a_n)$ une suite réelle telle que $a_n = o(1/n)$. On suppose que la série entière $\sum_{n \ge 0} a_n x^n$ soit de rayon de convergence $1$ et que sa somme $F$ vérifie $F(x) \to 0$ lorsque $x \to 1^-$. Alors la série $\sum_{n \ge 0} a_n$ est convergente. et vaut $0$.

Il s'agit d'une sorte de réciproque au théorème d'Abel angulaire.

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    La version de Gourdon peut paraître déroutante car elle est faite comme un exercice de prépa. L'ordre des étapes, notamment, n'est pas forcément naturel. Je vous conseille donc de bien vous approprier la démonstration pour remettre les étapes dans l'ordre qui vous semble le plus naturel ! Mettez aussi des dessins pour bien justifier comment on approche l'indicatrice !

    Sinon, un développement très solide à recaser dans pas mal de leçons auxquelles on ne s'attend pas forcément ! Je remercie Thomas Cavallazzi pour son application aux séries de Fourier !

    PS : Au début de mon pdf, je mets qu'il est légitime de se demander comment "prolonger" une fonction sur le disque d'incertitude. Attention, comme le fais remarquer le rapport du jury, le théorème d'Abel angulaire n'est pas un théorème de prolongement, mais un théorème de continuité ! Cependant, il permet de définir un procédé de sommation convenable lorsque la série diverge en $1$.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Un développement pas facile facile, en particulier du point de vue de la gestion du temps. Je conseille pour ma part de passer très rapidement sur la construction des approximations polynomiales avec un petit dessin, comme on trouve par exemple d'autres polycopiés (celui de Matoumatheux notamment). Je l'ai détaillé le plus possible dans mon poly, en faisant notamment une construction explicite qui n'est pas celle de Gourdon, mais que je trouve plus naturelle (c'est une approche plus robuste qui fonctionne pour des fonctions plus sauvages, et qui est développée pour la preuve du théorème taubérien avec équivalent qu'on trouve aussi sur agreg maths).
    Comme d'autres, j'ai ajouté l'application de Thomas Cavalazzi aux séries de Fourier, qui vient fortement enrichir le développement !
  • Références :
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse , Gourdon (utilisée dans 677 versions au total)
131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 85 versions au total)
Analyse, Mohammed El Amrani (utilisée dans 150 versions au total)