Leçon 241 * : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

(2018) 241
(2020) 241

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 241 - Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.) Les résultats généraux énoncés, on attend du candidat qu’il évoque les séries de fonctions particulières classiques : séries entières, séries de Fourier. On pourra éventuellement s’intéresser aussi aux séries de Dirichlet. Il y a beaucoup de développements possibles et les candidats n’ont généralement aucun mal à trouver des idées que ce soit à un niveau élémentaire mais fourni en exemples pertinents ou plus avancé, voire nécessitant une certaine technicité. Par exemple, les théorèmes taubériens offrent une belle palette de développements. Toutefois, il faut vraiment que la leçon soit riche en exemples. Par ailleurs, la leçon n’exclut pas du tout de s’intéresser au comportement des suites et séries de fonctions dans les espaces de type $L^p$ (notamment pour $p=1$), ou encore aux séries de variables aléatoires indépendantes.

(2016 : 241 - Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples. ) Une fois les résultats généraux énoncés, on attend du candidat qu’il évoque les séries de fonctions particulières classiques : séries entières, séries de Fourier. On pourra éventuellement s’intéresser aussi aux séries de Dirichlet. Il y a beaucoup de développements possibles et les candidats n’ont généralement aucun mal à trouver des idées que ce soit à un niveau élémentaire mais fourni en exemples pertinents ou plus avancé, voire nécessitant une certaine technicité. Par exemple, les théorèmes taubériens offrent une belle palette de développements. Par ailleurs, la leçon n’exclut pas du tout de s’intéresser au comportement des suites et séries de fonctions dans les espaces de type $L^p$ (notamment pour $p=1$), ou encore aux séries de variables aléatoires indépendantes.
(2015 : 241 - Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.) Une fois les résultats généraux énoncés, on attend du candidat qu'il évoque les séries de fonctions particulières classiques : séries entières, série de Fourier. On pourra éventuellement s'intéresser aussi aux séries de Dirichlet.

Développements :

Plans/remarques :

2019 : Leçon 241 - Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.


2017 : Leçon 241 - Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.


Retours d'oraux :

2019 : Leçon 241 - Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

  • Leçon choisie :

    241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

  • Autre leçon :

    228 : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Fejer

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    J'étais quasiment à la fin de mon développement lorsque le jury m'a indiqué que le temps était déjà écoulé, et m'a proposé de conclure. J'ai ainsi pu finir. J'ai eu le droit à plusieurs questions sur mon développement, que ce soit pour revenir sur des points que j'avais énoncés rapidement à l'oral, pour avoir plus de précision sur des théorèmes que j'utilisais, ou pour démontrer des points que j'avais admis initialement par manque de temps.
    Il y a eu ensuite une bonne vingtaine de minutes de questions sur mon plan, principalement sur les exemples que j'avais donnés. Il vaut mieux donc bien connaître la démonstration des exemples qu'on cite. Voici les différentes questions que j'ai eues:

    Q: Quels éléments de votre développement vous garderiez dans le cas où f est C1 par morceaux?
    Q: Vous citez Hölder à un moment, vous l'appliquez à quelles fonctions?
    Q: Comment montrez-vous que Dn (noyau de Dirichlet) et Kn (noyau de Fejer) ont cette forme?
    Q: Comment montrez-vous que l'intégrale de Dn vaut 1? Par la formule sin(..) ?
    Q: Vous dites que la limite de x^n sur [0,1] n'est pas continue donc il n'y a pas convergence uniforme, mais comment on montrerait le résultat sans les théorèmes de continuité?
    Q: Vous avez dit qu'une fonction continue et périodique était uniformément continue, pourquoi?
    Q: Votre autre développement parlait de la densité des polynômes dans C([a,b]), y a t'il encore cette densité si nous ne sommes plus sur un segment? Quel est alors l'adhérence des fonctions polynomiales dans R?

    Exercice: On définit S(x) = Somme(n=1 à inf (-1)^n / (n+x)).
    Q: Donner l'ensemble de définition de S
    Q: Montrer sur S est dérivable sur ]-1, inf[
    Q: Quelle est la limite de S en -1. Comme je ne trouvais pas, le jury m'a suggéré d'utiliser le fait que la série soit alternée

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était très gentil, les questions s'enchainaient mais je n'ai jamais senti de pression durant cet oral. Un des membres semblait agréablement surpris qu'il y ait une sous-partie sur les séries de Fourier. Le jury aide, mais n'en dit pas trop, ils veulent voir les différentes réflexions qu'on peut avoir avec une petite indication.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Mieux que je ne le pensais. Il y avait 3 spectateurs mais on ne se rend pas du tout compte de leur présence. J'avais beau connaître plutôt bien le plan de cette leçon j'ai fini de l'écrire au bout des 2H45, avec moins de précision sur les derniers théorèmes que j'écrivais.

  • Note obtenue :

    12.75


2017 : Leçon 241 - Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.