Développement : Équation différentielle dans les espaces de Hölder

Détails/Enoncé :

Soient $\alpha \in ]0,1[$, $a,b \in \mathbb{R}$, $q \in C^{0, \alpha}( ]a,b[)$ positive. Pour tout $f \in C^{0,\alpha}( ]a,b[)$ et tous $u_0, u_1 \in \mathbb{R}$, le problème

$$\begin{cases}
-u''(x) + q(x) u(x) = f(x) , x \in ]a,b[ \\
u(a) = u_0 , u(b) = u_1
\end{cases}$$

admet une unique solution $u \in C^{2, \alpha}( ]a,b[)$.

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