Développement : Équation différentielle dans les espaces de Hölder

Détails/Enoncé :

Soient $\alpha \in ]0,1[$, $a,b \in \mathbb{R}$, $q \in C^{0, \alpha}( ]a,b[)$ positive. Pour tout $f \in C^{0,\alpha}( ]a,b[)$ et tous $u_0, u_1 \in \mathbb{R}$, le problème

$$\begin{cases}
-u''(x) + q(x) u(x) = f(x) , x \in ]a,b[ \\
u(a) = u_0 , u(b) = u_1
\end{cases}$$

admet une unique solution $u \in C^{2, \alpha}( ]a,b[)$.

Recasages pour l'année 2026 :

Autres années :

Versions :

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  • Remarque :
    Développement faisant intervenir plusieurs notions d'analyse consistant d'un gros théorème. Attention au temps.
    Dans cette version, u_0 = u_1 = 0 pour plus de facilité (le développement est déjà assez dur comme ça).
    Selon moi, se recase uniquement dans les leçons: 203, 204, 208, 221, 228 et 241.

    Résultats bonus:
    1. Rappels divers sur les espaces de Hölder en pages 3 et 4.

    Développement n°14 sur 28.
    Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE
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  • Remarque :
    Le développement nécessite de mettre beaucoup de résultats préliminaires sur les espaces de Hölder et donc prend beaucoup de place dans un plan.
    En plus, le but est de résoudre une équation de Sturm-Liouville mais d'après ce que j'ai lu (dans le Berthelin), y'a des méthodes plus directes. D'après le Queffelec-Zuily, la méthode du développement se généralise bien en dimension supérieure mais jsp si c'est une motivation suffisante, faudrait se renseigner plus précisément et donc ça prend du temps.
    Au final, je sais pas si le développement est si rentable.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 262 versions au total)