Leçon 221 : Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

(2016) 221
(2018) 221

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 221 - Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.) Le jury attend d’un candidat qu’il sache déterminer rigoureusement la dimension de l’espace vectoriel des solutions. Le cas des systèmes à cœfficients constants fait appel à la réduction des matrices qui doit être connue et pratiquée. Le jury attend qu’un candidat puisse mettre en œuvre la méthode de variation des constantes pour résoudre une équation différentielle linéaire d’ordre 2 simple (à coefficients constants par exemple) avec second membre. L’utilisation des exponentielles de matrices a toute sa place ici. Les problématiques de stabilité des solutions et le lien avec l’analyse spectrale devraient être exploitées. Le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire constitue un exemple de développement pertinent pour cette leçon. Les résultats autour du comportement des solutions, ou de leurs zéros, de certaines équations linéaires d’ordre 2 (Sturm, Hill-Mathieu,...) sont aussi d’autres possibilités.

(2016 : 221 - Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.) Le jury attend d’un candidat qu’il sache déterminer rigoureusement la dimension de l’espace vectoriel des solutions. Le cas des systèmes à coefficients constants fait appel à la réduction des matrices qui doit être connue et pratiquée. Le jury attend qu’un candidat puisse mettre en œuvre la méthode de variation des constantes pour résoudre une équation différentielle linéaire d’ordre 2 simple (à coefficients constants par exemple) avec second membre. L’utilisation des exponentielles de matrices a toute sa place ici. Les problématiques de stabilité des solutions et le lien avec l’analyse spectrale devraient être exploitées. Le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire constitue un exemple de développement pertinent pour cette leçon. Les résultats autour du comportement des solutions, ou de leurs zéros, de certaines équations linéaires d’ordre 2 (Sturm, Hill-Mathieu, . . .) sont aussi d’autres possibilités.
(2015 : 221 - Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.) On attend d'un candidat qu'il sache déterminer rigoureusement la dimension de l'espace vectoriel des solutions (dans le cas de la dimension finie, bien sûr). Le cas des systèmes à coefficients constants fait appel à la réduction des matrices qui doit être connue et pratiquée. L'utilisation des exponentielles de matrices doit pouvoir s'expliquer. Dans le cas général, certains candidats évoquent les généralisations de l'exponentielle (résolvante) via les intégrales itérées. Les problématiques de stabilité des solutions et le lien avec l'analyse spectrale devraient être exploitées.
(2014 : 221 - Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.) Exemples et applications. On attend d'un candidat qu'il sache déterminer rigoureusement la dimension de l'espace vectoriel des solutions (dans le cas de la dimension finie bien-sûr). Le cas des systèmes à coefficients constants fait appel à la réduction des matrices qui doit être connue et pratiquée. L'utilisation des exponentielles de matrices doit pouvoir s'expliquer. Dans le cas général, certains candidats évoquent les généralisations de l'exponentielle (résolvante) via les intégrales itérées. Les problèmatiques de stabilité des solutions et le lien avec l'analyse spectrale devrait être exploitées.

Développements :

Plans/remarques :

2017 : Leçon 221 - Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.


2016 : Leçon 221 - Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

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Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Analyse numérique et équation différentielle , Demailly (utilisée dans 74 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 596 versions au total)
Calcul différentiel , Gonnord, Tosel (utilisée dans 12 versions au total)