Référence : Analyse numérique et équation différentielle

Théorème de Cauchy-Lipschitz local

Développement :
Théorème de Cauchy-Lipschitz local
Remarque :
Développement très classique, relativement court (en fonction de ce qu'on décide de démontrer ou non) et assez difficile. Je pense qu'il faut absolument connaitre cette démonstration, en particulier si vous présentez l'option B (on m'a posé plusieurs questions sur ce théorème le jour de mon oral d'option).

NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi.
NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.
Références :
- Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
- Analyse numérique et équation différentielle , Demailly
Fichier :
- 6 - Théorème de Cauchy-Lipschitz local.pdf

Méthode de Newton

Développement :
Méthode de Newton
Remarque :
On peut prendre 1-2 minutes au début pour expliquer l'origine de cette méthode (voir l'heuristique du Rouvière à ce sujet).
Références :
Fichier :
- Newton.pdf

Lemme de Gronwall et une application

Développement :
Lemme de Gronwall et une application
Références :
- Analyse numérique et équation différentielle , Demailly
- Équations différentielles, Florent Berthelin

906 : Programmation dynamique : exemples et applications.

Leçon :
Programmation dynamique : exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 2016_906.pdf

221 : Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Leçon :
Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 2017_221.pdf

218 : Applications des formules de Taylor.

Leçon :
Applications des formules de Taylor.
Références :
Fichier :
- 218.pdf

223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.

Leçon :
Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 223.pdf

205 : Espaces complets. Exemples et applications.

Leçon :
Espaces complets. Exemples et applications.
Remarque :
Mis à jour le 11.05.17
Références :
Fichier :
- 205.pdf

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Leçon :
Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
Remarque :
Mis à jour le 12.05.17
Références :
Fichier :
- 219.pdf

209 : Approximation d'une fonction par des polynômes et et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

Leçon :
Approximation d'une fonction par des polynômes et et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- leçon_209.pdf

155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

Leçon :
Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
Références :
Fichier :
- 155 - Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.pdf

201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications

209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

213 : Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

220 : Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’étude de solutions en dimension 1 et 2.

221 : Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

156 : Exponentielle de matrices. Applications.

Leçon :
Exponentielle de matrices. Applications.
Remarque :
Leçon courte mais il y a un peu de travail : la surjectivité de exp n'est pas un résultat trivial !
Références :
Fichier :
- 156 _ 20sd.pdf

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

221 : Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

220 : Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’étude de solutions en dimension 1 et 2.

156 : Exponentielle de matrices. Applications.

Leçon :
Exponentielle de matrices. Applications.
Références :
Fichier :
- Leçon 156.pdf

209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

220 : Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’études de solutions en dimension 1 et 2.

Leçon :
Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’études de solutions en dimension 1 et 2.
Références :
Fichier :
- 220_perso.pdf

222 : Exemples d'études d'équations différentielles linéaires et d'équations aux dérivées partielles linéaires.

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

Leçon :
Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
Références :
Fichier :
- 236_perso.pdf

265 : Exemples d'études et d'applications de fonctions usuelles et spéciales.

220 : Equations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’études de solutions en dimension 1 et 2.

206 : Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse

Leçon :
Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse
Remarque :
Plan éprouvé par une présentation durant l'année.
Références :
Fichier :
- Plan_206.pdf

209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

Leçon :
Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 209.pdf

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

Leçon :
Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 209.pdf

221 : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Leçon :
Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- b0 221.pdf

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Leçon :
Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
Remarque :
Leçon faite au tout début de l'année. J'aurais rajouté la méthode QR prise dans Ciarlet.
Références :
Fichier :
- b0 226.pdf

265 : Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

Leçon :
Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.
Références :
Fichier :
- b0 265.pdf

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Leçon :
Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
Remarque :
Evitez de mettre les sinus itérés en dev, c'est pas trop aimé par le jury.
Références :
Fichier :
- 226.pdf

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

Leçon :
Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
Remarque :
On doit pouvoir parler des méthodes d'Euler en application lorsque l'on parle des méthodes de quadratures.
Références :
Fichier :
- 236.pdf

156 : Exponentielle de matrices. Applications.

Leçon :
Exponentielle de matrices. Applications.
Remarque :
C'est la version que j'ai présentée en oral blanc. Si j'étais tombée dessus à l'oral, je n'aurais pas choisi le développement sur Dunford. Le Berhuy fait tout le début, le Demailly sert pour la partie "équations différentielles".
Références :
- Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
- Analyse numérique et équation différentielle , Demailly
Fichier :
- 156 _ exponentielles de matrices.pdf

221 : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Leçon :
Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
Remarque :
C'est la version que j'ai présentée en oral blanc. J'ai utilisé le Demailly et le Benzoni-Gavage.
Référence :
- Analyse numérique et équation différentielle , Demailly
Fichier :
- 221_ équations différentielles linéaires.pdf

Analyse numérique et équation différentielle

Utilisés dans les 13 versions de développements suivants :

Méthode de Newton-Raphson

Méthode de Gauss et polynômes orthogonaux

Théorème de Weierstrass (par les probabilités)

Théorème de Cauchy-Lipschitz local

Méthode de Newton

Méthode de la sécante

Formule d'Euler-Maclaurin et série harmonique

Théorème de Cauchy-Lipschitz local

Théorème de Cauchy-Lipschitz local

Classification des points fixes dans R

Théorème de Cauchy-Lipschitz local

Méthode de Newton

Lemme de Gronwall et une application

Utilisés dans les 39 versions de leçons suivantes :

906 : Programmation dynamique : exemples et applications.

221 : Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

218 : Applications des formules de Taylor.

223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.

205 : Espaces complets. Exemples et applications.

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

209 : Approximation d'une fonction par des polynômes et et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications

209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

213 : Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

220 : Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’étude de solutions en dimension 1 et 2.

221 : Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

156 : Exponentielle de matrices. Applications.

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

221 : Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

220 : Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’étude de solutions en dimension 1 et 2.

156 : Exponentielle de matrices. Applications.

209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

220 : Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’études de solutions en dimension 1 et 2.

222 : Exemples d'études d'équations différentielles linéaires et d'équations aux dérivées partielles linéaires.

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

265 : Exemples d'études et d'applications de fonctions usuelles et spéciales.

220 : Equations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’études de solutions en dimension 1 et 2.

206 : Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse

209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

221 : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

265 : Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

156 : Exponentielle de matrices. Applications.

221 : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.