Référence : Équations différentielles

Équation de Legendre (par les séries entières)

Développement :
Équation de Legendre (par les séries entières)
Remarque :
Un développement original mais trop long, il faut faire des choix selon les leçons
Legendre.pdf
Référence :
- Équations différentielles, Florent Berthelin

Equation de la chaleur par transformée de Fourier

Développement :
Equation de la chaleur par transformée de Fourier
Remarque :
Reference: Berthelin p.442
Référence :
- Équations différentielles, Florent Berthelin

Lemme de Gronwall et une application

Développement :
Lemme de Gronwall et une application
Références :
- Analyse numérique et équation différentielle , Demailly
- Équations différentielles, Florent Berthelin

Équation de Bernoulli

Développement :
Équation de Bernoulli
Référence :
- Équations différentielles, Florent Berthelin

Système de Lotka Volterra

Développement :
Système de Lotka Volterra
Remarque :
Démonstration du livre "équations différentielles" de Florent Berthelin à ma sauce.

Le développement est moins long qu'il n'y parait, plusieurs arguments peuvent peut-être être évoqués à l'oral. S'il vous reste du temps vous pouvez calculer la dérivée de $H$ le long d'une solution pour montrer que c'est bien une intégrale première (Berthelin explique comment faire).

Je dessine plusieurs fois le quart de plan $(\mathbb{R}^*_+)^2$ pour expliquer ce qu'on fait: il est très important que vous dessiniez vous aussi ce qu'on démontre sur un même graphe tout au long du développement!!

(... et encore une fois cf le document d'Ewna qui l'a mieux fait, merci à lui)
Référence :
- Équations différentielles, Florent Berthelin
Fichier :
- Lotka Volterra Dev.pdf

Système de Lotka Volterra

Développement :
Système de Lotka Volterra
Référence :
- Équations différentielles, Florent Berthelin
Fichier :
- Lotka Volterra.pdf

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Développement :
Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire
Remarque :
Développement un peu long mais assez facile.
Référence :
- Équations différentielles, Florent Berthelin
Fichier :
- Cauchy_Lipschitz_linéaire.pdf

Equation de la chaleur par transformée de Fourier

Développement :
Equation de la chaleur par transformée de Fourier
Remarque :
Je n'ai pas vraiment de référence pour ce développement, mais on pourra consulter celles que j'ai indiquées pour avoir des preuves qui ressemblent.

Selon moi : leçons 235, 239, 250 (2023). J'ai écrit 236 dans mon pdf, mais j'ai un peu abusé.

N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
Références :
Fichier :
- Malartre_équation_chaleur_sur_R.pdf

Théorèmes de Cauchy-Lipschitz

Développement :
Théorèmes de Cauchy-Lipschitz
Référence :
- Équations différentielles, Florent Berthelin
Fichier :
- Théorème de Cauchy-Lipschitz (Globalement lipschitzien).pdf

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Développement :
Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire
Référence :
- Équations différentielles, Florent Berthelin
Fichier :
- Théorème de Cauchy-Lipschitz.pdf

Point fixe de Banach-Picard + Cauchy-Lipschitz (linéaire ou global)

Développement :
Point fixe de Banach-Picard + Cauchy-Lipschitz (linéaire ou global)
Remarque :
Source principale : Berthelin (p.31/87/93/464)

Pour le Rouvière :

P.169 pour le Théorème du point fixe de Banach-Picard

P.179 pour le Théorème de Cauchy Lipschitz "général", il faut adapter la preuve pour le cas linéaire
Références :
- Petit guide de calcul différentiel , Rouvière
- Équations différentielles, Florent Berthelin

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications.a la r ́esolution approch ́ee d’ ́equatio

220 : Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’étude de solutions en dimension 1 et 2.

Leçon :
Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’étude de solutions en dimension 1 et 2.
Référence :
- Équations différentielles, Florent Berthelin
Fichier :
- Lecon_220 - Equations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d'études de solutions en dimension 1 ou 2..pdf

221 : Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

220 : Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’études de solutions en dimension 1 et 2.

Leçon :
Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’études de solutions en dimension 1 et 2.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Ber] Équations différentielles : Florent Berthelin
[ZQ] Analyse pour l'agrégation : Queffelec, Zuily
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
Références :
Fichier :
- 220 Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’études de solutions en dimension 1 et 2..pdf

221 : Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Leçon :
Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Ber] Équations différentielles : Florent Berthelin
[ZQ] Analyse pour l'agrégation : Queffelec, Zuily
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
Références :
Fichier :
- 221 Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications..pdf

222 : Exemples d'études d'équations différentielles linéaires et d'équations aux dérivées partielles linéaires.

Leçon :
Exemples d'études d'équations différentielles linéaires et d'équations aux dérivées partielles linéaires.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[ElAm] Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions : El Amrani
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Ber] Équations différentielles : Florent Berthelin
[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li
Références :
Fichier :
- 222 Exemples d_études d_équations différentielles linéaires et d_équations aux dérivées partielles linéaires..pdf

220 : Equations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’études de solutions en dimension 1 et 2.

209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

Leçon :
Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.
Remarque :
N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
Références :
Fichier :
- Malartre_209.pdf

220 : Equations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’études de solutions en dimension 1 et 2.

Leçon :
Equations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’études de solutions en dimension 1 et 2.
Références :
Fichier :
- 220.pdf

221 : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Leçon :
Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 221.pdf

267 : Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.

Leçon :
Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.
Remarque :
Référence supplémentaire: Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces : Marcel Berger , Bernard Gostiaux (pour les arcs paramétrés)
Références :
Fichier :
- 267.pdf

156 : Exponentielle de matrices. Applications.

Leçon :
Exponentielle de matrices. Applications.
Remarque :
Il faudrait trouver d'autres applications. (Je crois qu'il y en a dans Grifone)
Références :
Fichier :
- b0 156.pdf

221 : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Leçon :
Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- b0 221.pdf

156 : Exponentielle de matrices. Applications.

Leçon :
Exponentielle de matrices. Applications.
Références :
Fichier :
- 156.pdf

265 : Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

Leçon :
Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.
Remarque :
Plan éprouvé par une présentation durant l'année. Je vous propose également une fiche synthétique autour de cette leçon.
Leçon assez difficile si, comme beaucoup, vous n'avez jamais vu de fonctions spéciales avant l'année de préparation à l'agrégation… Difficile d'avoir un plan narrativement cohérent.
J'ai fait le pari osé d'intégrer des fonctions… à variable matricielle (!) dans mon plan, car les rapports ne l'interdisaient pas. C'est une libre interprétation du titre de la leçon, qui pourrait faire sourire (jaune?) le jury.

Si j'étais passé dessus à l'oral de l'agrégation, j'aurais supprimé la dernière sous-partie par une partie sur la fonction zeta de Riemann, en lien avec un développement sur l'expression de $\zeta(2k)$.
Références :
Fichiers :
- 265.pdf
- 265_fiche.pdf

267 : Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.

Leçon :
Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.
Remarque :
Ébauche de plan, que je publie car j'ai passé pas mal de temps dessus et je l'aimais beaucoup (je le réécrirai peut-être un jour).

La première partie vient notamment d'un très agréable cours de géométrie différentielle de Sigmundur Gudmundsson (enseignant à l'université de Lund, Suède), malheureusement non édité. Je n'ai pas trouvé de référence claire en français sur la géométrie des courbes, qui ne fasse pas des centaines de pages (je pense à vous, Berger et Gostiaux).

Désolé de cette liste de références à la Prévert !
Références :
Fichier :
- 267.pdf

203 : Utilisation de la notion de compacité.

Leçon :
Utilisation de la notion de compacité.
Références :
Fichier :
- 203.pdf

205 : Espaces complets. Exemples et applications.

Leçon :
Espaces complets. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 205.pdf

206 : Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse

Leçon :
Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse
Remarque :
Une leçon où on peut mettre beaucoup de choses. Il faut en profiter pour mettre seulement ce sur quoi on se sent à l'aise.
Références :
Fichier :
- 206.pdf

220 : Equations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’études de solutions en dimension 1 et 2.

Leçon :
Equations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’études de solutions en dimension 1 et 2.
Remarque :
Lors d'une présentation orale, je présentais les résultats importants de mon plan sur l'exemple du pendule simple :
- retrouver l'équation du pendule : x" + sin x = 0
- si x est petit on est dans le cas linéaire : x" + x = 0
- on peut tracer le portrait de phase au tableau
Références :
- Équations différentielles, Florent Berthelin
- Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
Fichier :
- 220.pdf

221 : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Leçon :
Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
Remarque :
Lors d'une présentation orale, je présentais les résultats importants de mon plan sur l'exemple du pendule simple :
- retrouver l'équation du pendule : x" + sin x = 0
- si x est petit on est dans le cas linéaire : x" + x = 0 (c'est le cas qui nous importe dans cette leçon)
- on peut tracer le portrait de phase au tableau
Références :
- Équations différentielles, Florent Berthelin
- Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
Fichier :
- 221.pdf

Équations différentielles

Utilisée dans les 10 développements suivants :

Utilisée dans les 11 leçons suivantes :

Utilisée dans les 15 versions de développements suivants :

Théorème de comparaison de Sturm

Théorème de Liapounov

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Théorèmes de Cauchy-Lipschitz

Équation de Legendre (par les séries entières)

Equation de la chaleur par transformée de Fourier

Lemme de Gronwall et une application

Équation de Bernoulli

Système de Lotka Volterra

Système de Lotka Volterra

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Equation de la chaleur par transformée de Fourier

Théorèmes de Cauchy-Lipschitz

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Point fixe de Banach-Picard + Cauchy-Lipschitz (linéaire ou global)

Utilisée dans les 21 versions de leçons suivantes :

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications.a la r ́esolution approch ́ee d’ ́equatio

220 : Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’étude de solutions en dimension 1 et 2.

221 : Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

220 : Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’études de solutions en dimension 1 et 2.

221 : Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

222 : Exemples d'études d'équations différentielles linéaires et d'équations aux dérivées partielles linéaires.

220 : Equations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’études de solutions en dimension 1 et 2.

209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

220 : Equations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’études de solutions en dimension 1 et 2.

221 : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

267 : Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.

156 : Exponentielle de matrices. Applications.

221 : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

156 : Exponentielle de matrices. Applications.

265 : Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

267 : Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.

203 : Utilisation de la notion de compacité.

205 : Espaces complets. Exemples et applications.

206 : Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse

220 : Equations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’études de solutions en dimension 1 et 2.

221 : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.