Théorème de comparaison de Sturm

Théorème de Liapounov

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Théorèmes de Cauchy-Lipschitz

Leçons 205, 208, 220, 221.

Équation de Legendre (par les séries entières)

Un développement original mais trop long, il faut faire des choix selon les leçons
Legendre.pdf

Equation de la chaleur par transformée de Fourier

Reference: Berthelin p.442

Lemme de Gronwall et une application

Équation de Bernoulli

Système de Lotka Volterra

Démonstration du livre "équations différentielles" de Florent Berthelin à ma sauce.

Le développement est moins long qu'il n'y parait, plusieurs arguments peuvent peut-être être évoqués à l'oral. S'il vous reste du temps vous pouvez calculer la dérivée de $H$ le long d'une solution pour montrer que c'est bien une intégrale première (Berthelin explique comment faire).

Je dessine plusieurs fois le quart de plan $(\mathbb{R}^*_+)^2$ pour expliquer ce qu'on fait: il est très important que vous dessiniez vous aussi ce qu'on démontre sur un même graphe tout au long du développement!!

(... et encore une fois cf le document d'Ewna qui l'a mieux fait, merci à lui)

Système de Lotka Volterra

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Développement un peu long mais assez facile.

Equation de la chaleur par transformée de Fourier

Je n'ai pas vraiment de référence pour ce développement, mais on pourra consulter celles que j'ai indiquées pour avoir des preuves qui ressemblent.

Selon moi : leçons 235, 239, 250 (2023). J'ai écrit 236 dans mon pdf, mais j'ai un peu abusé.

N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.

Théorèmes de Cauchy-Lipschitz

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Point fixe de Banach-Picard + Cauchy-Lipschitz (linéaire ou global)

Source principale : Berthelin (p.31/87/93/464)

Pour le Rouvière :

P.169 pour le Théorème du point fixe de Banach-Picard

P.179 pour le Théorème de Cauchy Lipschitz "général", il faut adapter la preuve pour le cas linéaire

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Résolution d’une EDO par DSE

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Théorème de Cauchy-Lipschitz, cas globalement lipschitzien et cas linéaire

Ce développement a le désavantage de ne pas se trouver en tant que tel dans le Berthelin (peut-être dans une autre référence ?) mais il est issu du cours d'équa diff d'un excellent prof.
On n'est pas obligé de se placer dans le cadre d'un Banach général, on peut rester dans un espace vectoriel normé de dimension finie (c'est très probablement ce que j'aurais fait si j'étais tombé dessus le jour J), ça évite d'avoir des questions gênantes sur l'intégration (quel sens donner à l'intégrale d'une fonction à valeurs dans un Banach ? Réponse partielle en bas de la première page), en plus le jury pourrait demander un exemple d'équa diff sur un Banach général, et personnellement je n'en connais pas...

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Développement fort classique certes, mais ça fait le job. Je suis passé dessus à l'oral le jour J, cf mon retour d'oral pour plus de détails.
La récurrence est quand même assez longue et fastidieuse à faire, ça peut valoir le coup de regarder une autre preuve dans le Berthelin (par exemple avec les normes à poids, c'est plutôt joli aussi!)

Les recasages à mon avis:
Espaces complets (c'est la leçon dans laquelle j'ai présenté ce développement le jour de l'oral)
EDO linéaires
Application de la dimension finie en analyse
Eventuellement espaces vectoriels normés
Il est à mon avis hors sujet dans la leçon "illustrer par des exemples la théorie des edos"... C'est pas un exemple quoi...

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Van der Pol

Une EDO qui fait une étude qualitative intéressante. Le Berthelin contient toutes les informations, mais dans un ordre que je qualifierais d'exotique (cf remarques à la fin du document).

Côté recasages:
Exemple d'illustration de la théorie des EDO

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Théorème de Liapounov

Très jolie preuve, attention à ne pas se perdre dans les epsilons en la présentant. On donne aussi une preuve du lemme en utilisant le calcul fonctionnelle.
Le lien pour le document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Pour les leçons : 205, 206, 221.
Il faut connaitre les applications de ce théorème (par exemple la structure de l'ensemble des solutions où la dimension finie intervient) et aussi savoir quelles sont les hypothèses dans le cas non linéaire et pourquoi le cas linéaire est un cas particulier de Cauchy-Lipschitz dans le cas globalement lipschitzien.

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications.a la r ́esolution approch ́ee d’ ́equatio

Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’étude de solutions en dimension 1 et 2.

Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’études de solutions en dimension 1 et 2.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Ber] Équations différentielles : Florent Berthelin
[ZQ] Analyse pour l'agrégation : Queffelec, Zuily
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann

Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Ber] Équations différentielles : Florent Berthelin
[ZQ] Analyse pour l'agrégation : Queffelec, Zuily
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann

Exemples d'études d'équations différentielles linéaires et d'équations aux dérivées partielles linéaires.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[ElAm] Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions : El Amrani
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Ber] Équations différentielles : Florent Berthelin
[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li

Equations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’études de solutions en dimension 1 et 2.

Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.

Equations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’études de solutions en dimension 1 et 2.

Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.

Référence supplémentaire: Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces : Marcel Berger , Bernard Gostiaux (pour les arcs paramétrés)

Exponentielle de matrices. Applications.

Il faudrait trouver d'autres applications. (Je crois qu'il y en a dans Grifone)

Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Exponentielle de matrices. Applications.

Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

Plan éprouvé par une présentation durant l'année. Je vous propose également une fiche synthétique autour de cette leçon.
Leçon assez difficile si, comme beaucoup, vous n'avez jamais vu de fonctions spéciales avant l'année de préparation à l'agrégation… Difficile d'avoir un plan narrativement cohérent.
J'ai fait le pari osé d'intégrer des fonctions… à variable matricielle (!) dans mon plan, car les rapports ne l'interdisaient pas. C'est une libre interprétation du titre de la leçon, qui pourrait faire sourire (jaune?) le jury.

Si j'étais passé dessus à l'oral de l'agrégation, j'aurais supprimé la dernière sous-partie par une partie sur la fonction zeta de Riemann, en lien avec un développement sur l'expression de $\zeta(2k)$.

Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.

Ébauche de plan, que je publie car j'ai passé pas mal de temps dessus et je l'aimais beaucoup (je le réécrirai peut-être un jour).

La première partie vient notamment d'un très agréable cours de géométrie différentielle de Sigmundur Gudmundsson (enseignant à l'université de Lund, Suède), malheureusement non édité. Je n'ai pas trouvé de référence claire en français sur la géométrie des courbes, qui ne fasse pas des centaines de pages (je pense à vous, Berger et Gostiaux).

Désolé de cette liste de références à la Prévert !

Utilisation de la notion de compacité.

Espaces complets. Exemples et applications.

Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse

Une leçon où on peut mettre beaucoup de choses. Il faut en profiter pour mettre seulement ce sur quoi on se sent à l'aise.

Equations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’études de solutions en dimension 1 et 2.

Lors d'une présentation orale, je présentais les résultats importants de mon plan sur l'exemple du pendule simple :
- retrouver l'équation du pendule : x" + sin x = 0
- si x est petit on est dans le cas linéaire : x" + x = 0
- on peut tracer le portrait de phase au tableau

Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Lors d'une présentation orale, je présentais les résultats importants de mon plan sur l'exemple du pendule simple :
- retrouver l'équation du pendule : x" + sin x = 0
- si x est petit on est dans le cas linéaire : x" + x = 0 (c'est le cas qui nous importe dans cette leçon)
- on peut tracer le portrait de phase au tableau

Exponentielle de matrices. Applications.

Mes métaplans ne sont pas vérifiés par une personne compétente, attention donc à la pertinence de ceux-ci.

Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Mes métaplans ne sont pas vérifiés par une personne compétente, attention donc à la pertinence de ceux-ci.

Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

Voici un plan possible pour la leçon 152.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Exponentielle de matrices. Applications.

Une de mes leçons préférées (bizarrement...) ! J'ai appris plein de trucs en la faisant notamment sur le rayon spectral sur lequel je ne savais rien, et même sur l'exponentielle matricielle en général je ne connaissais pas grand chose, ça vaut le coup de bosser les démonstrations.
Concernant le DEV 1 (surjectivité de l'exponentielle), on peut faire autrement.
Au cours de l'année, j'ai modifié mon DEV : je ne montrais plus le COR41 (je faisais autrement dans un autre DEV pour montrer ce résultat) mais à la place je démontrais le lemme selon lequel : Si $\rho(A)<1$, alors $e^{\ln(I_n+A)}=I_n+A$
Ce lemme sert pour prouver le THM40.

Connexité. Exemples d'applications.

Je pense que dans cette leçon, de même que dans la 203 sur la compacité, il faut rester dans le cadre préconisé par le programme, c'est-à-dire le cadre métrique ! S'aventurer dans les espaces topologiques généraux me semble dangereux car cela peut amener le jury à des questions sur le sujet... On peut le faire mais il faut être sûr de bien maitriser la topologie générale...
Personnellement, je n'ai utilisé le livre de Marco "Analyse L3" que pour cette leçon... On peut sûrement tout trouver dans les autres livres mais j'aimais bien comment il présentait la connexité.
C'est important de mettre des applications au calcul diff, aux équa diff, à l'analyse complexe...Il faut aussi connaître le fameux contre-exemple d'espace métrique connexe mais non connexe par arcs.
Pour mon DEV1, finalement je ne fais que le théorème de Runge faible en allant doucement... Il se recase aussi dans 241 et 243... Ce n'était vraiment pas mon développement préféré...

Espaces complets. Exemples et applications.

J'adore cette leçon et je suis tombé dessus le jour J ! (voir mon témoignage)
Je ne l'ai pas faite tout à fait comme ça le jour J : J'ai raccourci la partie I-2) en enlevant les espaces produits (parce que j'aimais pas trop ça...) Dans la partie II-1), j'ai rajouté des choses sur les espaces vectoriels normés de dimension finie (comme quoi ils sont tous complets parce qu'on a l'équivalence des normes...). Comme exemple d'application du théorème du point fixe, j'ai mis le théorème d'inversion locale (que je faisais en dev) plutôt que Cauchy-Lipschitz. Enfin, j'ai regroupé les parties III-1) et III-2), tout ça pour avoir un peu plus de place pour parler de la théorie de Baire que j'aime bien.
Je vous laisse aller voir mon témoignage, ils m'ont surtout interrogé sur les espaces $L^p$ parce que je suis passé sur Riesz-Fischer en dev. Je pense qu'il faut bien connaître des exemples d'espaces complets, mais aussi d'espaces non complets et savoir justifier pourquoi ils ne le sont pas. La théorie de Baire n'est pas obligatoire (mais me semble quand même être un bon investissement à faire pendant l'année), si on en parle il faut l'avoir vraiment travaillée : les démos (je faisais Banach-Steinhaus en DEV avec un exemple de fonction continue dont la série de Fourier diverge en 0), mais aussi des exemples d'utilisation, faire quelques exercices sur le sujet. Personnellement, j'en ai parlé parce que j'avais vu tout ça en M1.

Exemples d'utilisation de la notion de dimension finie en analyse.

C'est une leçon qui n'est pas très facile à faire, je conseillerais de la faire plutôt vers la fin de l'année pour avoir du recul sur plusieurs choses.
Il faut évidemment parler des résultats topologiques (normes équivalentes et toutes les conséquences) et après on a le choix entre plein de choses. Les opérateurs compacts ne sont pas obligatoires évidemment mais la dimension finie donne un beau résultat de théorie spectrale sur ces opérateurs.
J'ai peut-être un peu trop forcé sur les résultats hilbertiens parce qu'ils ne sont pas vraiment propres à la dimension finie mais aux Hilbert en général... Le fait de placer ça ici peut être motivé par plusieurs choses : en 2e année quand on n'a pas encore les Hilbert, on présente ces résultats dans le cadre euclidien et on a la projection, la décomposition de l'espace en somme d'un sous-espace et de son orthogonal, et surtout la dimension finie rend le calcul de l'adjoint trivial : il suffit de prendre la transposée de la matrice ! Alors qu'en général, l'adjoint d'un opérateur n'est pas facile à déterminer...
On peut développer plus la partie interpolation et polynôme de meilleure approximation mais n'étant pas ultra à l'aise là dessus je me suis contenté de cela.
Après la partie calcul diff me semble indispensable... Et les équa diff c'est si on veut...

Illustrer par des exemples la théorie des équations différentielles ordinaires.

Si cette leçon était tombée dans mon tirage, je ne l'aurais très certainement pas prise, je ne l'aime pas beaucoup... En même temps c'est la partie difficile des équa diff... Pour que le DEV1 fasse 15 minutes, je rajoute Cauchy-Lipschitz linéaire en corollaire. Je conseille vraiment de (re)faire des exercices d'application du théorème des bouts (sortie de tout compact, explosion en temps fini) pour justifier qu'une solution maximale n'est pas globale par exemple...
Il faut aussi travailler les portraits de phase pour comprendre comment on les obtient etc...
Je n'ai pas trouvé de livre qui fait vraiment bien le pendule et Lotka-Volterra... Et de manière générale, j'espère pour les prochains agrégatifs désireux de préparer cette leçon qu'iels auront eu un bon cours d'équa diff (ce qui a été mon cas) car les livres ne sont franchement pas dingues sur le sujet... Il y a Berthelin qui fait assez bien le taf mais il faut quand même avoir eu un bon cours sur le sujet. Bref, bonne chance pour cette leçon !!

Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Cette leçon, bien qu'elle porte sur les équa diff, est beaucoup plus commode que la précédente. On trouve quasiment tout dans le Berthelin ! Cependant, attention avec ce livre, il prend parfois des chemins compliqués en voulant éviter certaines choses : par exemple, pour obtenir les résultats de la partie I-3), il suffit de faire Dunford sur la matrice compagnon obtenue !
Je l'ai présentée devant la classe, et après discussion avec le prof et la classe, j'ai changé mon second développement au profit d'équation de Bessel (voir la 220). On peut cependant laisser l'équation de la chaleur dans le plan car le rapport du jury précise qu'on peut traiter "certaines EDP linéaires".
Mon plan n'est peut-être pas optimal, j'ai choisi de le faire comme ça pour suivre celui du cours que j'avais eu en M1.
Il faut savoir résoudre des systèmes différentiels homogènes à coeff constants (exponentielle de matrices), non homogènes (méthode de variation des constantes) et savoir comment on obtient les portraits de phase en dimension 2. La partie localisation des zéros et théorie de Sturm (III-2)) n'est pas obligatoire du tout, j'ai juste trouvé ça joli en parcourant le Berthelin.
Concernant le Wronskien et la résolvante, j'en ai peu parlé car je n'ai jamais été très à l'aise sur ces notions mais je pense que ça suffit. En effet, il ne faut pas leur faire dire plus qu'ils ne disent, c'est-à-dire des résultats purement théoriques. En effet, la résolvante résout mais est en général impossible à trouver ! Le Wronskien sert pour des exercices théoriques, et pour étudier qualitativement les solutions d'une équa diff qu'on ne sait pas résoudre (savoir si elles peuvent être toutes bornées etc...)

Illustrer par des exemples la théorie des équations différentielles ordinaires.

Voici un plan possible pour la leçon 220.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Voici un plan possible pour la leçon 221.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.

Voici un plan possible pour la leçon 226.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et applications.

Cette leçon repose sur des notions de première année, donc on peut s'attendre à des questions assez poussées du jury : étude de fonctions spéciales, et surtout exemples et contre-exemples (fonction continue nulle part dérivable, fonction discontinue partout sauf en un point, fonction dérivable de dérivée non continue, etc.).

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

Il faut savoir trouver le rayon de convergence d'une série entière et il faut également savoir comment on obtient l'existence et l'unicité de ce rayon de convergence (lemme d'Abel). Il faut aussi savoir démontrer qu'une série entière converge normalement sur tout compact du disque ouvert de convergence, savoir étudier ce qui se passe sur le cercle d'incertitude dans certains cas... Enfin, il faut aussi faire attention à ne pas dire de bêtises sur les séries entières car cette leçon est surtout d'un niveau de deuxième année donc le jury peut être exigeant.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Illustrer par des exemples la théorie des équations différentielles ordinaires.

Cette leçon est assez difficile car elle demande d'être à l'aise avec les équations différentielles ordinaires. Pour bien l'aborder on peut faire des exercices sur le théorème de Cauchy-Lipschitz, les équations autonomes, le théorème de sortie de tout compact et d'explosion en temps fini ainsi que travailler les portraits de phase pour comprendre comment on les obtient.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Cette leçon est plus facile à faire que la 220 et on peut (quasiment) la faire entièrement avec le Berthelin. Il faut savoir résoudre des systèmes différentiels homogènes à coefficients constants, non homogènes (méthode de variation des constantes) et savoir comment on obtient les portraits de phase en dimension 2. De plus, les résultats sur le wronskien et la résolvante peuvent être minimes car on n'en demande pas une étude très poussée.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Exponentielle de matrices. Applications.

J'aime pas.

Exemples d'utilisation de la notion de dimension finie en analyse.

J'aime pas.

Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Je déteste.