Utilisés dans les 79 versions de développements suivants :
Invariants de similitude (réduction de Frobenius)
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Décomposition de Dunford (version non algorithmique)
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Endomorphismes semi-simples
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Endomorphismes semi-simples
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Réduction de Jordan d'un endomorphisme nilpotent
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Structure des polynômes symétriques
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Irréductibilité des polyômes cyclotomiques sur Q
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Théorème de Wedderburn
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Nombres de Carmichael et théorème de Korselt
Réduction des endomorphismes normaux
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Irréductibilité des polyômes cyclotomiques sur Q
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Réduction des endomorphismes normaux
-
Développement :
-
Remarque :
Mis à jour le 23.04.17
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Référence :
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Fichier :
Décomposition de Dunford (version non algorithmique)
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Développement :
-
Remarque :
Mis à jour le 26.04.17
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Référence :
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Fichier :
Endomorphismes semi-simples
-
Développement :
-
Remarque :
Mis à jour 3.05.17
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Référence :
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Fichier :
Invariants de similitude (réduction de Frobenius)
-
Développement :
-
Remarque :
Mis à jour le 5.05.17
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Référence :
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Fichier :
Théorème d'Abel angulaire
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Développement :
-
Remarque :
Mis à jour le 3.06.17
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Référence :
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Fichier :
Diagonalisation des endomorphismes autoadjoints
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Développement :
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Références :
Extrema liés
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Décomposition de Dunford (version non algorithmique)
-
Développement :
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Références :
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Fichier :
Décomposition de Dunford (version algorithmique) #effectif #méthodeEuler
-
Développement :
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Références :
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Fichier :
Réduction des endomorphismes normaux
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Dunford et l'exponentielle de matrice
Endomorphismes semi-simples
Lemme des noyaux
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Suite de polygones
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)
Matrices diagonalisables sur un corps fini, critère de diagonalisibilité et dénombrement des matrices diagonalisables
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Développement :
-
Références :
Déterminant de Gram, projection sur un sev et inégalité d'Hadamard
Décomposition de Dunford (version non algorithmique)
Réduction des endomorphismes normaux
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Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Co-trigonalisation d'une famille finie d'endomorphismes
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Théorèmes d'Abel angulaire et taubérien faible
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Endomorphismes semi-simples
-
Développement :
-
Référence :
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Fichier :
Déterminant de Gram, projection sur un sev et inégalité d'Hadamard
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Dunford et l'exponentielle de matrice
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Suite de polygones
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Théorème de Kronecker
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Déterminant circulant
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Développement :
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Référence :
Minimum d'une fonction de n variables à l'aide du déterminant
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Développement :
-
Références :
Sous-espaces totalement isotropes maximals
Théorème de Weierstrass (par la convolution)
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Développement :
-
Remarque :
D'après moi pour les leçons : 201, 203, 209 et 228.
La dernière partie avec les changements de variable est à mon sens extrêmement pénible.
NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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Référence :
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Fichier :
Endomorphismes semi-simples
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Développement :
-
Remarque :
Ce développement est un peu long donc il ne faut pas hésiter mais il se fait sans trop de problème en 15 minutes.
Pour le recaser dans les leçons 122 et 142, il faut insister sur les utilisations implicites de la principalité de $K[X]$ dans la démonstration (identité de Bézout, décomposition en facteurs premiers d'un polynôme).
(p224)
-
Référence :
-
Fichier :
Suite de polygones
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Développement :
-
Remarque :
(p180)
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Référence :
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Fichier :
Décomposition de Dunford (version non algorithmique)
-
Développement :
-
Remarque :
Développement très classique, assez long et de niveau correct.
On démontre que dans la décompostion de Dunford f = d+n, d et n sont des polynomes en f.
On utilise l'identité de Bezout, le théorème de diagonalisation simultanée et le fait que si deux endomorphismes nilpotents n et n' commutent alors n'-n est nilpotent.
Si on veut, on peut omettre la polynomialitée de d et n en f (c'est également fait dans Gourdon) et rajouter (pour bien tenir 15 minutes) la décomposition de Dunford de exp(A), mais dans ce cas on ne peut plus présenter ce développement dans la 153 et ça me parait trop peu pour le recaser dans la 156.
NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi.
NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.
NB3 : ATTENTION : si P et Q sont deux polynomes et f un endomorphisme, on a (P*Q)(f) = P(f)°Q(f) et non pas: (P*Q)(f) = P°(Q(f)).
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Référence :
-
Fichier :
Dunford et l'exponentielle de matrice
-
Développement :
-
Remarque :
Leçons 153, 154, 155, 156, 157
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Références :
-
Fichier :
Générateurs de GL_n(K) et de SL_n(K)
Trigonalisation simultanée
-
Développement :
-
Remarque :
Leçons 154, 157, 159.
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Référence :
-
Fichier :
Corps des nombres algébriques
-
Développement :
-
Remarque :
Leçons 125, 144, 151.
-
Référence :
-
Fichier :
Réduction des isométries
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Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Trigonalisation simultanée
-
Développement :
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Référence :
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Fichier :
Théorème de Dirichlet faible
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Développement :
-
Références :
-
Fichier :
Théorème fondamental de l’algèbre
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Invariants de similitude (réduction de Frobenius)
Théorème de Sylow (par récurrence sur le cardinal)
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Développement :
-
Remarque :
Démonstration du théorème par récurrence, provient de Gourdon. Voir aussi ma deuxième version (basée sur la démo de Wielandt).
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
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Référence :
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Fichier :
Lemme des noyaux
-
Développement :
-
Remarque :
Dans cette version on montre le lemme des noyaux et on en donne deux applications (critère de diagonalisabilité, et le lemme montrant que les projections sont des polynômes), à choisir selon la leçon.
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
-
Références :
-
Fichier :
Réduction des endomorphismes normaux
Théorème spectral
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Critère de Sylvester et applications
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Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Deux matrices semblables dans C le sont dans R. Plus généralement : semblable dans L extension de K corps infini implique semblable dans K
-
Développement :
-
Référence :
Diagonalisation des endomorphismes normaux
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Développement :
-
Référence :
Matrice diagonale et polynôme annulateur sur un corps fini
Orthogonalisation simultanée de matrices
Décomposition de Dunford (version non algorithmique)
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Corps des nombres algébriques
-
Développement :
-
Remarque :
/!\ Attention /!\
Coquille non négligeable dans la version d'Aurélie Bigot ! (Désolé Aurélie, je n'ai rien contre vous, vous l'avez pourtant bien écrit dans votre leçon !)
- - Le théorème est faux: sachant que tout élément de $K$ est algébrique sur $K$, on a $K \subseteq A$, donc si $K$ n'est pas dénombrable, $A$ ne pourra jamais l'être. (L'erreur vient, dans la démonstration de (ii), du fait que $A = \bigcup\limits_{k \geq 0} \bigcup\limits_{n \geq 1} \bigcup\limits_{P \in E_{k,n}} Z(P)$, et qu'en n'écrivant pas cette troisième union, on oublie le fait que $E_{k,n}$ n'est pas dénombrable si $K$ ne l'est pas.)
- - Bien évidemment, il ne faut pas oublier la condition $P \neq 0$ dans la définition de $A$
C'est bien trop court pour faire un développement: en prenant vraiment son temps, on ne peut pas tenir plus de 10 min. Je recommande d'ajouter ceci à la double caractérisation de l'algébricité (avec $K[\alpha]$ et $K(\alpha)$).
Côté recasages, mettre ce développement en dehors de la 125 me paraît quelque peu abusif.
On trouvera cet exercice p94 de la 3e version du Gourdon algèbre, et ma suggestion d'ajout se trouvera en p66 du Perrin
-
Références :
Suite de polygones
-
Développement :
-
Références :
-
Fichier :
Théorème de Cauchy et de Sylow(récurrence)
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Développement :
-
Références :
Matrices et déterminants de Gram
Dunford et l'exponentielle de matrice
-
Développement :
-
Remarque :
Recasages: 148, 153, 155, 157
Gourdon (v3) p204 + Rombaldi p634
Voir mon retour d'oral.
(Inutile de formuler ce lemme, je réécrirai le développement dès que possible)
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
-
Références :
-
Fichier :
Déterminant de Gram, projection sur un sev et inégalité d'Hadamard
Fonction zeta et nombres premiers
Réduction des endomorphismes normaux
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Endomorphismes semi-simples
-
Développement :
-
Remarque :
Recasages : 153,154,141,122,151,125
Faut surtout bien structurer ce dev de sorte à ce que ce soit bien clair dans sa tête.
Lien direct vers le fichier : https://file.notion.so/f/s/c51fcaff-39ee-46d0-96c1-a7c96b867905/Endomorphismes_semi-simples.pdf?id=f92f2bef-1c20-4dc2-85a9-9bf5b05b195b&table=block&spaceId=687bfd0e-1fc2-4484-9a48-571d8d7ee864&expirationTimestamp=1689890400000&signature=k33wJAepwqpQilfYtn4rxg4ZeSZ6jmylskAxPSDDXgc&downloadName=Endomorphismes+semi-simples.pdf
Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
-
Référence :
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Fichier :
Nombre de dérangements
-
Développement :
-
Remarque :
Développement facile et sympathique, notamment si on aime bien les séries entières.
Commentaire oublié dans mon pdf : Au final, $d_n$ est l'arrondi à l'unité du nombre $\frac{n!}{e}$.
Attention pour la référence : Le contenu du développement est absent dans les 1ère et 2ème éditions du livre.
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Référence :
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Fichier :
Critère d'Eisenstein + application à l'irréductibilité de $\Phi_p$
Décomposition de Dunford (version non algorithmique)
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Développement :
-
Remarque :
Développement archi classique, peut être trop (le jury n'a pas l'air de trop l'apprécié). Même si on ne le présente pas c'est quand même important de connaître la preuve. Ca aide parfois aux écrits.
L'application à l'exponentielle est facultative, à faire en fonction du temps et de la leçon proposée
-
Référence :
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Fichier :
Endomorphismes semi-simples
Utilisés dans les 155 versions de leçons suivantes :
123 : Corps finis. Applications.
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Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
151 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
153 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Remarque :
Mis à jour le 8.05.17
-
Références :
-
Fichier :
202 : Exemples de parties denses et applications.
-
Leçon :
-
Remarque :
Mis à jour le 19.05.17
-
Références :
-
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
-
Analyse fonctionnelle - Théorie et applications, Brezis, Haim
-
Oraux X-ENS Analyse 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Algèbre
, Gourdon
-
Analyse
, Gourdon
-
Elements d'analyse fonctionnelle
, Hirsch
-
Cours d'analyse
, Pommelet
-
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
-
Petit guide de calcul différentiel
, Rouvière
-
Analyse réelle et complexe
, Rudin
-
Fichier :
102 : Groupe des nombres complexes de modules $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications
-
Leçon :
-
Remarque :
Mis à jour le 31.05.17
-
Références :
-
Fichier :
160 : Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.
-
Leçon :
-
Références :
-
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
-
Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné
-
Petit guide de calcul différentiel
, Rouvière
-
Oraux X-ENS Algèbre 3
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Algèbre
, Gourdon
-
Fichier :
153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
152 : Déterminant. Exemples et applications.
202 : Exemples de parties denses et applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Algèbre
, Gourdon
-
Analyse
, Gourdon
-
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
-
De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
-
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
-
Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès
-
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
-
Cours d'analyse
, Pommelet
-
Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li
-
Fichier :
103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Algèbre
, Gourdon
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
-
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
-
Théorie des Groupes, Félix Ulmer
-
Groupes de Lie classiques, Mneimné, Testard
-
Fichier :
108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Éléments de théorie des groupes, Calais
-
Algèbre
, Gourdon
-
Théorie des Groupes, Félix Ulmer
-
Oraux X-ENS Algèbre 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Oraux X-ENS Algèbre 3
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Géométrie, Audin
-
Fichier :
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
122 : Anneaux principaux. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Théorie de Galois, Gozard
-
Algèbre
, Gourdon
-
Elements de théorie des anneaux
, Calais
-
Cours de mathématiques, tome 1 : Algèbre, Ramis, Deschamps, Odoux
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
-
Fichier :
150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.
-
Leçon :
-
Références :
-
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
-
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
-
Algèbre
, Gourdon
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Groupes de Lie classiques, Mneimné, Testard
-
Petit guide de calcul différentiel
, Rouvière
-
Fichier :
151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
152 : Déterminant. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
-
Leçon :
-
Références :
-
Algèbre
, Gourdon
-
Analyse
, Gourdon
-
Algèbre linéaire
, Grifone
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Oraux X-ENS Algèbre 3
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Petit guide de calcul différentiel
, Rouvière
-
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation
, Ciarlet
-
Analyse numérique et optimisation : une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique, Allaire
-
Fichier :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Algèbre
, Gourdon
-
Analyse
, Gourdon
-
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Analyse fonctionelle
, Brézis
-
Petit guide de calcul différentiel
, Rouvière
-
Fichier :
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
-
Leçon :
-
Références :
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Fichier :
162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
126 : Exemples d’équations en arithmétique.
-
Leçon :
-
Remarque :
Session 2021.
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Références :
-
Fichier :
106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
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Leçon :
-
Remarque :
Plan qui ne va pas très loin sur les coniques, mais à mon avis ce n'est clairement pas le coeur de la leçon. Il faut juste au moins les mentionner, car c'est tout de même une application remarquable des formes quadratiques.
-
Références :
-
Fichier :
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
-
Leçon :
-
Références :
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Analyse numérique et optimisation : une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique, Allaire
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Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 2, Caldero, Germoni
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Oraux X-ENS Algèbre 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Algèbre
, Gourdon
-
Algèbre linéaire
, Grifone
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
-
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Fichier :
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
-
Références :
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Fichier :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Références :
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Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
-
Leçon :
-
Références :
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Fichier :
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
152 : Déterminant. Exemples et applications.
151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.
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Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
126 : Exemples d’équations en arithmétique.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
122 : Anneaux principaux. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
-
Leçon :
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Références :
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Fichier :
105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai changé les developpements en cours d'année : j'aurai finalement mis Dirichlet faible et le théorème de Sophie Germain (que j'aurai rajouté après les tests de primalité), les refs ne sont pas notées car c'est une version faite en oral blanc mais tout se trouve assez facilement : voir Gozard pour les polynomes cyclotomiques, Berhuy pour le théorème Chinois et les éléments remarquables, Gourdon pour les tests de primalité, Combes pour le théorème de structure et le reste se trouve facilement dans Perrin et Rombaldi
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Références :
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Fichier :
104 : Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
125 : Extensions de corps. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
152 : Déterminant. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
213 : Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
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Leçon :
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Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[GouAl]Algèbre : Gourdon
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
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Références :
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Fichier :
153 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
104 : Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
125 : Extensions de corps. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Pour la partie "corps différentiel", il y a une introduction à la fin du Gozard.. Sinon, voir dans Geddes (anglais).
Le deuxième développement est pas de ouf adapté... J'aurais pris un autre truc genre "automorphismes des F_q" par exemple.
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Références :
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Fichier :
141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
151 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
152 : Déterminant. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Cours de Mathématiques - 1 Algèbre, Arnaudiès - Fraysse
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Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
-
Algèbre linéaire
, Cognet
-
Oraux X-ENS Algèbre 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Oraux X-ENS Algèbre 3
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Algèbre
, Gourdon
-
Analyse
, Gourdon
-
Petit guide de calcul différentiel
, Rouvière
-
Algèbre
, Tauvel
-
Fichier :
153 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Dans mon plan du jour-J, j'ai ajouté une dernière partie contenant : résolution de systèmes linéaires (diagonaliser pour simplifier), théorème spectral, éléments de topologie.
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Références :
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Fichier :
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
191 : Exemples d'utilisation des techniques d'algèbre en géométrie.
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Leçon :
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Références :
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Cours de Mathématiques - 1 Algèbre, Arnaudiès - Fraysse
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Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
-
Algèbre
, Gourdon
-
Théorie de Galois, Gozard
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Cours de mathématiques, Tome 4 : Algèbre bilinéaire et géométrie, Arnaudiès, Fraysse
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Fichier :
203 : Utilisation de la notion de compacité.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Une ébauche de plan
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Références :
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Fichier :
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Références en fin de plan avec les notations, essentiellement le Rombaldi à part pour mes développements (Dunford et décompo. polaire).
La partie algorithmique mériterait d'être plus poussée (QR, Iwasawa entre autres) mais mon quotient intellectuel ne me le permettrait pas le jour J.
On peut remplacer le Isenmann par le Gourdon.
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Références :
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Fichier :
148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
206 : Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse
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Leçon :
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Remarque :
Références en fin de plan.
C’est une leçon très vaste dans laquelle on peut mettre beaucoup de choses. J’ai choisi de me concentrer sur les espaces vectoriels normés, le calcul différentiel et les espaces préhilbertiens, avec les séries de Fourier. En partie IV, je donne d’autres applications possibles.
Développements :
1) Équivalence des normes et théorème de Riesz [je ne l’ai pas encore appris, si c’est trop court je rajouterai le contre-exemple 4]
2) Lemme de Morse
Plan :
I. Espaces vectoriels normés
1) Toplogie
2) Applications linéaires
3) Compacité
II. Calcul différentiel
1) Différentielle et dérivée partielle
2) Théorème d’inversion locale et lemme de Morse
III. Espaces préhilbertiens et séries de Fourier
1) Projection orthogonale dans un espace préhilbertien
2) Application aux séries de Fourier
IV. Autres applications possibles
1) Optimisation en dimension finie
2) Équations différentielles
On aurait aussi pu parler de la mesure de Lebesgue. Le Briane Pagès le fait très bien. De même, dans la partie Calcul Différentiel, on peut aussi évoquer les matrices jacobiennes (c’est fait dans le Gourdon) et les espaces tangents pour aller plus loin.
On peut aussi taper dans des notions plus difficiles (notamment dans tout ce qui est lié aux opérateurs) mais mon niveau ne me le permet pas xD
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Références :
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Fichier :
106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
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Remarque :
Voici mon plan totalement improvisé de mon oral blanc de leçon d'algèbre au sein de ma prépa-agreg. Vous constaterez qu'il est loin d'être parfait et comporte quelles coquilles dues au stress et au manque de temps, mais je l'ai déposé pour que vous puissiez voir à quoi ressemble une production dans le temps imparti de l'épreuve officielle.
Je laisse en référence les livres que j'avais utilisés pendant le temps de préparation.
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Références :
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Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
152 : Déterminant. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis tombé sur cette leçon le jour J, je n'ai pas parlé d'endomorphismes semi-simples, de représentation, ni de Jordan. Que des questions sur les endo cycliques
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Références :
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Fichier :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
206 : Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse
102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.
152 : Déterminant. Exemples et applications.
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
161 : Distances dans un espace affine euclidien. Isoméries.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Leçon sur laquelle je suis passé en début d'année. Possibilité d'une annexe graphique contenant des graphes de caractères (cf. von zur Gathen, Gerhard, Modern Computer Algebra), et les isométries du cube.
Si j'étais passé sur cette leçon à l'oral, j'aurais parlé à la fin des isométries du cube, qui auraient constitué mon second développement (au lieu de $A_n$ simple pour $n \geq 5$).
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Références :
-
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
-
Algèbre
, Gourdon
-
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Algèbre discrète de la transformée de Fourier
, Peyré
-
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
-
Fourier Analysis, Stein, Shakarchi
-
Théorie des Groupes, Félix Ulmer
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Fichier :
105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
121 : Nombres premiers. Applications.
148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
…ça commence à en faire des plans pour cette nouvelle leçon !
Mon plan a été éprouvé par une présentation durant l'année. Je vous propose également une fiche synthétique autour de cette leçon.
Seules les quatre premières références sont nécessaires. Les autres sont plus pour la culture générale ou pour un item que vous aurez de toute façon oublié le jour J. En fin d'année, j'aurais plutôt remplacé la partie sur la décomposition QR et de Hermite par une partie sur la décomposition de Cholesky.
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Références :
-
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation
, Ciarlet
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Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
-
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
-
Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné
-
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
-
Calcul mathématique avec Sage
, Casamayou
-
A Course in Computational Algebraic Number Theory, H. Cohen
-
Algèbre
, Gourdon
-
Algorithmique algébrique, P. Naudin, C. Quitté
-
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Fichiers :
102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
125 : Extensions de corps. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
152 : Déterminant. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
161 : Distances dans un espace affine euclidien. Isoméries.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
191 : Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de R^n. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan de leçon réalisé en tout début d'année. Mes deux développements sont le calcul de la différentielle de l'exponentielle matrice, et la preuve du théorème d'inversion locale en dimension finie.
La référence au critère de Sylvester est plus pour le folklore et pour parler d'outils d'algèbre qui servent en analyse.
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Références :
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Fichier :
219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Ébauche de plan, que je publie car je trouvais la structure globale intéressante. Comme vous l'aurez constaté, je n'aime pas l'analyse numérique.
Mes deux développements sont le théorème de projection sur un convexe fermé, et l'inégalité isopérimétrique.
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Références :
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Analyse
, Gourdon
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Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
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Petit guide de calcul différentiel
, Rouvière
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Elements d'analyse fonctionnelle
, Hirsch
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Algèbre
, Gourdon
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Fourier Analysis, Stein, Shakarchi
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Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
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Fichier :
236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.