Algèbre

Gourdon

Utilisée dans les 58 développements suivants :

Décomposition de Dunford (version non algorithmique)
Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)
Endomorphismes semi-simples
Invariants de similitude (réduction de Frobenius)
Théorème de Sylow (par récurrence sur le cardinal)
Réduction de Jordan d'un endomorphisme nilpotent
Structure des polynômes symétriques
Théorème d'Abel angulaire
Irréductibilité des polyômes cyclotomiques sur Q
Théorème de Wedderburn
Nombres de Carmichael et théorème de Korselt
Réduction des endomorphismes normaux
Théorème de Dirichlet faible
Théorème de Kronecker
Polynômes irréductibles sur Fq
Extrema liés
Générateurs de GL_n(K) et de SL_n(K)
Endomorphisme autoadjoint, réduction simultanée
Diagonalisation des endomorphismes autoadjoints
Suite de polygones
Matrices diagonalisables sur un corps fini, critère de diagonalisibilité et dénombrement des matrices diagonalisables
Critère d'Eisenstein
Théorème de Weierstrass (par la convolution)
Algorithme de Faddeev
Décomposition de Dunford (version algorithmique) #effectif #méthodeEuler
Théorèmes d'Abel angulaire et taubérien faible
Etude des polynômes cyclotomiques
Lemme des noyaux
Théorème spectral
Lemme chinois et lemme des noyaux
Dunford et l'exponentielle de matrice
Critère de Sylvester et applications
Trigonalisation simultanée
Matrice diagonale et polynôme annulateur sur un corps fini
Critère d'Eisenstein + application à l'irréductibilité de $\Phi_p$
Orthogonalisation simultanée de matrices
Déterminant de Gram, projection sur un sev et inégalité d'Hadamard
Deux matrices semblables dans C le sont dans R. Plus généralement : semblable dans L extension de K corps infini implique semblable dans K
Co-trigonalisation d'une famille finie d'endomorphismes
Déterminant circulant
Minimum d'une fonction de n variables à l'aide du déterminant
Sous-espaces totalement isotropes maximals
Corps des nombres algébriques
Diagonalisation des endomorphismes normaux
Réduction des isométries
Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien
Fonction zeta et nombres premiers
Théorème fondamental de l’algèbre
Théorème de Cauchy et de Sylow(récurrence)
Matrices et déterminants de Gram
Nombre de dérangements
Décomposition Polaire sous la forme A=exp(iΘ)R
Décomposition de Dunford
Déterminant circulant et suite de polygones
Étude du processus de Galton-Watson
Lemme des noyaux et Décomposition de Dunford par le Théorème des restes chinois
Construire un simplexe avec Cayley-Menger
Lemme des noyaux - Projecteurs spectraux

Utilisée dans les 47 leçons suivantes :

123 (2025) Corps finis. Applications.
148 (2025) Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
150 (2025) Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
157 (2025) Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
159 (2025) Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
171 (2025) Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
151 (2025) Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
101 (2025) Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
202 (2019) Exemples de parties denses et applications.
102 (2025) Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.
158 (2025) Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
121 (2025) Nombres premiers. Applications.
150 (2022) Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
149 (2025) Déterminant. Exemples et applications.
103 (2025) Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
106 (2025) Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
108 (2025) Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
120 (2025) Anneaux Z/nZ. Applications.
122 (2025) Anneaux principaux. Exemples et applications.
144 (2025) Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
152 (2025) Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
156 (2025) Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
162 (2025) Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
155 (2025) Exponentielle de matrices. Applications.
126 (2023) Exemples d’équations en arithmétique.
190 (2025) Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
170 (2025) Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.
142 (2025) PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
141 (2025) Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
105 (2025) Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
104 (2025) Groupes finis. Exemples et applications.
125 (2025) Extensions de corps. Exemples et applications
213 (2025) Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.
153 (2025) Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
191 (2025) Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.
203 (2025) Utilisation de la notion de compacité.
154 (2024) Exemples de décompositions de matrices. Applications.
206 (2025) Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.
161 (2025) Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.
215 (2025) Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.
219 (2025) Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
236 (2025) Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
208 (2025) Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
127 (2025) Exemples de nombres remarquables. Exemples d’anneaux de nombres remarquables. Applications.
262 (2025) Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.
264 (2025) Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.
266 (2025) Utilisation de la notion d’indépendance en probabilités.

Utilisée dans les 113 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 201, 203, 209 et 228.

    La dernière partie avec les changements de variable est à mon sens extrêmement pénible.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Ce développement est un peu long donc il ne faut pas hésiter mais il se fait sans trop de problème en 15 minutes.
    Pour le recaser dans les leçons 122 et 142, il faut insister sur les utilisations implicites de la principalité de $K[X]$ dans la démonstration (identité de Bézout, décomposition en facteurs premiers d'un polynôme).
    (p224)
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Développement très classique, assez long et de niveau correct.
    On démontre que dans la décompostion de Dunford f = d+n, d et n sont des polynomes en f.
    On utilise l'identité de Bezout, le théorème de diagonalisation simultanée et le fait que si deux endomorphismes nilpotents n et n' commutent alors n'-n est nilpotent.
    Si on veut, on peut omettre la polynomialitée de d et n en f (c'est également fait dans Gourdon) et rajouter (pour bien tenir 15 minutes) la décomposition de Dunford de exp(A), mais dans ce cas on ne peut plus présenter ce développement dans la 153 et ça me parait trop peu pour le recaser dans la 156.

    NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi.
    NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.
    NB3 : ATTENTION : si P et Q sont deux polynomes et f un endomorphisme, on a (P*Q)(f) = P(f)°Q(f) et non pas: (P*Q)(f) = P°(Q(f)).
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :

    /!\ Attention /!\


    Coquille non négligeable dans la version d'Aurélie Bigot ! (Désolé Aurélie, je n'ai rien contre vous, vous l'avez pourtant bien écrit dans votre leçon !)

    • - Le théorème est faux: sachant que tout élément de $K$ est algébrique sur $K$, on a $K \subseteq A$, donc si $K$ n'est pas dénombrable, $A$ ne pourra jamais l'être. (L'erreur vient, dans la démonstration de (ii), du fait que $A = \bigcup\limits_{k \geq 0} \bigcup\limits_{n \geq 1} \bigcup\limits_{P \in E_{k,n}} Z(P)$, et qu'en n'écrivant pas cette troisième union, on oublie le fait que $E_{k,n}$ n'est pas dénombrable si $K$ ne l'est pas.)

    • - Bien évidemment, il ne faut pas oublier la condition $P \neq 0$ dans la définition de $A$



    C'est bien trop court pour faire un développement: en prenant vraiment son temps, on ne peut pas tenir plus de 10 min. Je recommande d'ajouter ceci à la double caractérisation de l'algébricité (avec $K[\alpha]$ et $K(\alpha)$).

    Côté recasages, mettre ce développement en dehors de la 125 me paraît quelque peu abusif.

    On trouvera cet exercice p94 de la 3e version du Gourdon algèbre, et ma suggestion d'ajout se trouvera en p66 du Perrin
  • Références :
  • Développement :
  • Remarque :
    Recasages : 153,154,141,122,151,125

    Faut surtout bien structurer ce dev de sorte à ce que ce soit bien clair dans sa tête.

    Lien direct vers le fichier : https://file.notion.so/f/s/c51fcaff-39ee-46d0-96c1-a7c96b867905/Endomorphismes_semi-simples.pdf?id=f92f2bef-1c20-4dc2-85a9-9bf5b05b195b&table=block&spaceId=687bfd0e-1fc2-4484-9a48-571d8d7ee864&expirationTimestamp=1689890400000&signature=k33wJAepwqpQilfYtn4rxg4ZeSZ6jmylskAxPSDDXgc&downloadName=Endomorphismes+semi-simples.pdf

    Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Développement facile et sympathique, notamment si on aime bien les séries entières.
    Commentaire oublié dans mon pdf : Au final, $d_n$ est l'arrondi à l'unité du nombre $\frac{n!}{e}$.

    Attention pour la référence : Le contenu du développement est absent dans les 1ère et 2ème éditions du livre.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    A la fin de mes devs je mets toujours une petite note sur les résultats annexes à savoir, c'est très subjectif et non exhaustif, il y a évidemment pleins d'autres choses à savoir sur chaque dev que ce que je mets.

    Pour me contacter si besoin : axel.carpentier2001@gmail.com
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Lorsque la leçon s'oriente vers l'analyse (228 - 229 - 253) il est préférable de démontrer le lemme et le théorème et dans les autres cas (226 - 264 - 266) il vaut mieux démontrer la proposition et le théorème.

    N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Gros document sur la réduction de Frobenius. En plus de la preuve du théorème, il y a des résultats sur le calcul pratique des invariants de similitudes mais aussi des applications de cette réduction pour l'étude du commutant et bicommutant.
    Lien pour le document:
    Voici une preuve du théorème des disques de Gershgorin topologiques. Elle utilise un résultat sur la continuité des racines d'un polynôme qui est aussi démontré sur le document. Pour que la preuve tienne en 15min pour en faire un développement il faut faire des choix sur ce qu'on démontre ou non.
    Voici le lien pour le document:
    https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Très joli développement, je recommande ! Je ne prends le Gourdon que pour l'implication directe et le cas général de l'implication réciproque. Par contre, pour le cas du polynôme minimal irréductible, je ne prends pas le Gourdon, parce que franchement sa méthode est horrible à écrire et sûrement à écouter... Je prends une méthode qui m'a été présentée par un de mes profs, mais du coup pas de référence, mais tant pis : cette méthode écourte grandement le développement, et fait qu'il peut être traité sans problème en 15 minutes. Apparemment, on peut montrer que A une matrice réelle est semi simple ssi sa classe de similitude est fermée dans Mn(R). Ce résultat fait écho à un résultat de topologie des classes de similitude, mais bien que fort intéressant je n'ai jamais trouvé la preuve de ce résultat, ni par moi-même ni dans des bouquins. Mais ça paraît être une jolie application, ça vaut le coup de chercher je pense :)
    Côté recasages à mon avis:

    - Polynômes d'endomorphismes
    - Sous espaces stables pas un/une famille d'endomorphismes
    - Pas déconnant dans anneaux principaux, étant donnée la place centrale de l'identité de Bézout.

    Je l'avais mis au départ dans Polynômes irréductibles à un indéterminée, vu que le cas où le polynôme minimal est irréductible constitue un pivot dans la preuve. Ceci dit, je l'ai enlevé parce qu'en lisant le rapport du jury pour cette leçon, j'ai vu qu'ils attendent une leçon très teintée sur les corps, et du coup ce développement paraît un peu à côté de la plaque...

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Référence :
  • Fichier :

Utilisée dans les 225 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    Références en fin de plan.

    C’est une leçon très vaste dans laquelle on peut mettre beaucoup de choses. J’ai choisi de me concentrer sur les espaces vectoriels normés, le calcul différentiel et les espaces préhilbertiens, avec les séries de Fourier. En partie IV, je donne d’autres applications possibles.

    Développements :
    1) Équivalence des normes et théorème de Riesz [je ne l’ai pas encore appris, si c’est trop court je rajouterai le contre-exemple 4]
    2) Lemme de Morse

    Plan :
    I. Espaces vectoriels normés
    1) Toplogie
    2) Applications linéaires
    3) Compacité
    II. Calcul différentiel
    1) Différentielle et dérivée partielle
    2) Théorème d’inversion locale et lemme de Morse
    III. Espaces préhilbertiens et séries de Fourier
    1) Projection orthogonale dans un espace préhilbertien
    2) Application aux séries de Fourier
    IV. Autres applications possibles
    1) Optimisation en dimension finie
    2) Équations différentielles

    On aurait aussi pu parler de la mesure de Lebesgue. Le Briane Pagès le fait très bien. De même, dans la partie Calcul Différentiel, on peut aussi évoquer les matrices jacobiennes (c’est fait dans le Gourdon) et les espaces tangents pour aller plus loin.

    On peut aussi taper dans des notions plus difficiles (notamment dans tout ce qui est lié aux opérateurs) mais mon niveau ne me le permet pas xD
  • Références :
  • Fichier :
  • Leçon :
  • Remarque :
    Je suis passé en avril en oral blanc dessus. Ce plan a donc été fait en temps limité (1h30 sur le plan, le reste sur le dev). Le jury m'a dit que la partie sur l'équirépartition était superflue. Je suis assez d'accord, si j'étais repassé dessus j'aurai mis plus de résultats sur les entiers algébriques, et j'aurai mis le théorème de Burnside (les groupes de cardinal p^aq^b sont résolubles) en développement. Globalement le plan est béton je pense; il m'a valu un 18. Je vais voir pour le taper en LaTeX pour une meilleure lisibilité, mais par rapport à mes autres plans je le trouve assez lisible!
    Si ça peut servir : voilà les questions que j'ai eu. Je saute celles sur le dev.
    On m'a fait étudier l'anneau des décimaux, qui est principal, et on m'a fait déterminer ses inversibles.
    On m'a demandé le lien entre Z[isqrt(2)] et Q[isqrt(2)] (anneau des entiers), et si c'était toujours comme ça (ça dépend de d mod 4)
    On m'a demandé pourquoi j'appelais mon stathme N dans mon développement : c'est la norme de l'extension Q[isqrt(2)] sur Q. On m'a demandé ce que je savais là dessus.
    On m'a demandé si culturellement je savais quels étaient les noms associés à la transcendance de e.
    On m'a demandé de prouver que les nombres algébriques formaient un corps algébriquement clos.
    On m'a fait déterminer les triplets pythagoriciens de la forme (n,n+1,m).
    Et peut être d'autres choses que j'ai oublié!
    N'hésitez pas à me contacter pour toute remarque ou question.

  • Références :
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