Leçon 219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

(2022) 219
(2024) 219

Dernier rapport du Jury :

(2022 : 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.) Cette leçon offre aux candidats une multitude d'approches possibles : utilisation de la topologie, du calcul différentiel, de la convexité (fonctions convexes, projection sur un convexe fermé et leurs multiples applications), de l'holomorphie. Les candidats pourront proposer des problèmes d'optimisation sous contraintes, si possible autres que la preuve de l'inégalité arithmético-géométrique. À ce sujet, une bonne compréhension de la méthode des multiplicateurs de Lagrange requiert celle de la notion d'espace tangent, qui en donne une justification beaucoup plus claire que certains raisonnements purement matriciels. Les algorithmes de recherche d'extremums ont également leur place dans cette leçon (méthode de Newton, du gradient à pas optimal, problème des moindres carrés, etc). Les candidats solides pourront s'intéresser aux diverses versions du principe du maximum (fonctions holomorphes ou harmoniques, équations aux dérivées partielles), au calcul des variations, ou réfléchir à l'unicité de la meilleure approximation dans divers espaces fonctionnels, à commencer par celle des fonctions continues sur un segment par des polynômes de degré au plus égal à d

(2019 : 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.) Comme souvent en analyse, il est tout à fait opportun d’illustrer dans cette leçon un exemple ou un raisonnement à l’aide d’un dessin. Il faut savoir faire la distinction entre propriétés locales (caractérisation d’un extremum local) et globales (existence par compacité, par exemple). Dans le cas important des fonctions convexes, un minimum local est également global. Les applications de la minimisation des fonctions convexes, qui peuvent être introduites par des problématiques motivées par les options de modélisation, sont nombreuses et sont tout à fait à propos pour illustrer cette leçon. $\\$ L’étude des algorithmes de recherche d’extremum y a toute sa place : méthode du gradient et analyse de sa convergence, méthode à pas optimal,... Le cas particulier des fonctionnelles sur $\textbf{R}^n$ de la forme $\frac{1}{2}(Ax|x)-(b|x)$, où $A$ est une matrice symétrique définie positive, ne devrait pas poser de difficultés (la coercivité de la fonctionnelle pose problème à de nombreux candidats). $\\$ Les problèmes de minimisation sous contrainte amènent à faire le lien avec les extrema liés et la notion de multiplicateur de Lagrange. Sur ce point, certains candidats ne font malheureusement pas la différence entre recherche d’extremum sur un ouvert ou sur un fermé. Une preuve géométrique des extrema liés sera fortement valorisée par rapport à une preuve algébrique, formelle et souvent mal maîtrisée. On peut ensuite mettre en œuvre ce théorème en justifiant une inégalité classique : arithmético-géométrique, Hölder, Carleman, etc... Enfin, la question de la résolution de l’équation d’Euler-Lagrange peut donner l’opportunité de mentionner la méthode de Newton. $\\$ Les candidats pourraient aussi être amenés à évoquer les problèmes de type moindres carrés (avec une discussion qui peut comprendre motivation, formalisation, rôle de la condition de rang maximal, jusqu’aux principes de la décomposition en valeurs singulières), ou, dans un autre registre,le principe du maximum avec des applications.
(2017 : 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.) Comme souvent en analyse, il est tout à fait opportun d’illustrer dans cette leçon un exemple ou un raisonnement à l’aide d’un dessin. Il faut savoir faire la distinction entre propriétés locales (caractérisation d’un extremum) et globales (existence par compacité, par exemple). Dans le cas important des fonctions convexes, un minimum local est également global. Les applications de la minimisation des fonctions convexes sont nombreuses et elles peuvent illustrer cette leçon. L’étude des algorithmes de recherche d’extremums y a toute sa place : méthode du gradient et analyse de sa convergence, méthode à pas optimal,... Le cas particulier des fonctionnelles sur $R^n$ de la forme $\frac{1}{2} (Ax|x) - (b|x)$ où $A$ est une matrice symétrique définie positive, ne devrait pas poser de difficultés (la coercivité de la fonctionnelle pose problème à de nombreux candidats). Les problèmes de minimisation sous contrainte amènent à faire le lien avec les extrema liés et la notion de multiplicateur de Lagrange. À ce sujet, une preuve géométrique des extrema liés sera fortement valorisée par rapport à une preuve algébrique, formelle et souvent mal maîtrisée. Enfin, la question de la résolution de l’équation d’Euler-Lagrange peut donner l’opportunité de mentionner la méthode de Newton. Les candidats pourraient aussi être amenés à évoquer les problèmes de type moindres carrés, ou, dans un autre registre, le principe du maximum et ses applications.
(2016 : 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications. ) Comme souvent en analyse, il peut être opportun d’illustrer dans cette leçon un exemple ou un raisonnement à l’aide d’un dessin. Il faut savoir faire la distinction entre propriétés locales (caractérisation d’un extremum) et globales (existence par compacité, par exemple). Dans le cas important des fonctions convexes, un minimum local est également global. Les applications de la minimisation des fonctions convexes sont nombreuses et elles peuvent illustrer cette leçon. L’étude des algorithmes de recherche d’extremums y a toute sa place : méthode de gradient, preuve de la convergence de la méthode de gradient à pas optimal, . . . Le cas particulier des fonctionnelles sur $R^n$ de la forme $\frac{1}{2} (Ax|x) - (b|x), où A est une matrice symétrique définie positive, ne devrait pas poser de difficultés. Les problèmes de minimisation sous contrainte amènent à faire le lien avec les extremums liés, la notion de multiplicateur de Lagrange et, là encore, des algorithmes peuvent être présentés et analysés. À ce sujet, une preuve géométrique des extrema liés sera fortement valorisée par rapport à une preuve algébrique, formelle et souvent mal maîtrisée. Les candidats pourraient aussi être amenés à évoquer les problèmes de type moindres carrés, ou, dans un autre registre, le principe du maximum et ses applications.
(2015 : 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.) Il faut bien faire la distinction entre propriétés locales (caractérisation d'un extremum) et globales (existence par compacité, par exemple). Dans le cas important des fonctions convexes, un minimum local est également global. Les applications de la minimisation des fonctions convexes sont nombreuses et elles peuvent illustrer cette leçon. L'étude des algorithmes de recherche d'extremums y a toute sa place : méthode de gradient, preuve de la convergence de la méthode de gradient à pas optimal, ... Le cas particulier des fonctionnelles sur $\mathbb{R}^n$ de la forme $\frac{1}{2} (Ax|x) - (b|x)$, où $A$ est une matrice symétrique définie positive, devrait être totalement maîtrisé. Les candidats devraient aussi être amenés à évoquer les problèmes de type moindres carrés et les équations normales qui y sont attachées. Enfin, les problèmes de minimisation sous contrainte amènent à faire le lien avec les extremums liés, la notion de multiplicateur de Lagrange et, là encore, des algorithmes peuvent être présentés et analysés.
(2014 : 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.) Cette leçon a changé de titre. Il faut bien faire la distinction entre propriétés locales (caractérisation d'un extremum) et globales (existence par compacité, par exemple). Dans le cas important des fonctions convexes, un minimum local est également global. Les applications de la minimisation des fonctions convexes sont nombreuses et elles peuvent illustrer cette leçon. L'étude des algorithmes de recherche d'extremas y a maintenant toute sa place : méthode de gradient, preuve de la convergence de la méthode de gradient à pas optimal, etc. Le cas particulier des fonctionnelles sur $R^n$ de la forme $\frac{1}{2} (Ax|x) - (b|x)$, où $A$ est une matrice symétrique définie positive, devrait être totalement maîtrisé. Les candidats devraient aussi être amenés à évoquer les problèmes de type moindres carrés et les équations normales qui y sont attachés. Enfin, les problèmes de minimisation sous contrainte amènent à faire le lien avec les extrema liés, la notion de multiplicateur de Lagrange et, là encore des algorithmes peuvent être présentés et analysés.

Plans/remarques :

2023 : Leçon 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet.
    Si cela peut aider des gens, avec plaisir !
    Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ).
    Les références sont à la fin.
    Attention aux éventuels coquilles.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.


2020 : Leçon 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.


2018 : Leçon 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.


2017 : Leçon 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.


2016 : Leçon 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2023 : Leçon 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    265 : Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Optimisation dans un Hilbert

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Mon développement portait sur le théorème d'existence d'un minimum pour une fonction coercive, continue, convexe dans un Hilbert. J'ai écrit dans mon plan qu'il y avait unicité et le jury m'a directement fait comprendre que mes hypothèses ne garantissaient pas l'unicité et m'a fait construire un contre-exemple. Sinon, le développement s'est bien passé.

    Questions sur le développement :
    Q : Un membre de jury m'a dit qu'on pouvait conclure avec un autre résultat que l'on va admettre : Si (un) CV faiblement vers alpha alors il existe une combinaison convexe des uk, k <= n qui converge fortement vers alpha. Comment conclure avec ce résultat ?
    R : Le premier énoncé que le jury m'a donné était faux et j'ai galéré à conclure. 10 minutes plus tard, pendant la séance de question, le membre de jury qui m'a donné ce résultat a corrigé l'énoncé du résultat qu'il m'avait donné et j'ai pu conclure proprement avec.

    Q : Justifier (à l'oral) qu'une suite est non bornée si et seulement il existe une sous-suite qui converge vers +-inf.
    Q : Justifier que l'application x -> lim est continue.

    Q : Au sujet de la convergence faible, montrer qu'une suite qui converge faiblement est bornée.
    R : Question bien réussie. Il faut utiliser le théorème de Banach-Steinhaus

    Il n'y a pas eu de questions sur le plan. On est passé directement à des exercices.

    Exercices :

    Q : Soit (y_1, ..., y_n) un vecteur de R^n et f : (x_1, ..., x_n) -> x_1 y_1 + ... + x_n y_n. Calculer le minimum de f sur la sphère de l^p.
    R : J'ai directement donné l'existence grâce à la compacité, pour le calculer il faut utiliser le théorème des extrema liés. J'ai donné la condition que vérifie le minimum et je me suis emmêlé dans les calculs. Le jury m'a donné des indications pour que je puisse avancer dans le calcul mais je n'ai pas réussi à totalement conclure. Le jury est passé à la question suivante.

    Q : Calculer (donner juste les idées) du minimum de phi : (a,b,c) -> intégrale de -1 à 1 de (t^3 - (at^2 + bt + c))^2 dt.
    R : J'ai directement donné l'argument de la projection orthogonal en explicitant les espaces vectoriels sur lesquels on travaillait. On m'a demandé de faire un dessin.

    Q : Soit f une fonction définie sur un compact K à valeurs dans R strictement convexe, montrer que f admet un maximum qui est atteint sur la frontière de K (et définir ce qu'est la frontière et la stricte convexité).
    R : J'ai bien posé le problème et j'ai fait un dessin (ce que le jury a semblé apprécier). Comme l'idée ne me venait pas, j'ai dit que je vais essayer en dimension 1. Je donne l'argument, puis je passe à la dimension supérieure, en donnant l'argument à l'oral mais j'ai pas eu le temps de tout formaliser. L'oral s'est terminée là dessus.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très bienveillant, qui met en confiance. Il donne de bonnes indications au bon moment.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, je n'ai pas eu de surprise à part que la salle était équipée d'un tableau velleda.
    Mon plan était assez court (27 items il me semble) mais je pensais avoir dit l'essentiel et donc ce n'était pas la peine d'écrire plus.

  • Note obtenue :

    20


2022 : Leçon 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    261 : Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Extrema liés

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Question : Soit u un Endomorphisme d'un espace vectoriel euclidien E symétrique, ie u*=u.
    Montrer qu'il existe un réel r et un vecteur x de E non nul tels que u(x)=rx. Déduire le théorème spectral.

    Réponse : L'idée est de prendre f(x)=u(x).x (où désigne le produit scalaire) et
    g(x)=||x||^2 -1, et d'appliquer le théorème d'exterma liés.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    222 : Exemples d'études d'équations différentielles linéaires et d'équations aux dérivées partielles linéaires.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Optimisation dans un Hilbert

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    - Pourquoi l’extractrice psi(k) est croissante ? (question sur le dev)
    - Pourquoi phi est une forme linéaire continue ? Pouvez-vous le montrer. (question sur le dev)
    - Vous avez montré un résultat d’existence. Est-ce qu’il y a unicité ? (question sur le dev)
    - Pouvez me tracer une fonction continue, coercive et convexe qui admet plusieurs minimiseurs ?
    - En changeant les hypothèses, est ce qu’on peut obtenir l’unicité ? démontrez-le.
    - On passe sur un exercice : Soit N un arc C1 paramétré fermé de [0,1] dans R². Montrer qu’il existence une sécante maximale dans cet arc et que les tangentes aux extrémités de cette sécante sont perpendiculaires à cette sécante.
    - Soit f la fonction qui a (x,y) associe x^4 + y^4 -4xy. Etudiez les extremums de f sur R²

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury bienveillant et souriant : il nous met en confiance !

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    15.75


2015 : Leçon 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    207 : Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Ellipsoïde de John Loewner

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Plutôt équilibré, il y avait des coquilles dans le plan du coup ils sont revenu dessus.
    Q : comment je montre D'Alembert-Gauss (qui était dans le plan)
    R : par l'absurde, le polynome atteint un min non nul et DL en ce min

    Q : Extrema de "somme des i*x_i" sur la sphère.
    R : Extrema liés, bla bla ...(en fait il y en a pas besoin, la fonction est une forme linéaire qu'on peut donc voir comme un produit scalaire et c'est torché mais dans le cadre de la leçon c'était ce qu'ils attendaient)

    Q : f holomorphe sur C ne s'annulant pas sur le disque unité fermé et qui stabilise le cercle unité, que peut on en dire ?
    R : Elle est constante en appliquant le principe du max à f et 1/f sur le disque unité (petite subtilité ici pour 1/f puisque il faut être défini sur un voisinage du disque fermé)

    Q : Connaissez-vous des problèmes d'extrema sur des espaces de fonction ?
    R : Lax-Milgram (dans le plan) et application a une fonctionnelle obtenue à partir d'un opérateur différentiel, le min est alors solution

    Q : Un truc plus élémentaire ?
    R : Des problèmes en rapport avec les courbes

    Q : Par exemple, le plus simple ?
    R : Le plus court chemin reliant 2 pts

    Q : Comment vous faite ?
    R : On prend A et B ...[début de formalisme coupé par ce que l'oral allait se terminer, du coup heuristique]... je parle d'intégrer le produit scalaire de la dérivée du chemin et d'un vecteur unitaire colinéaire à AB, le boss accepte.

    (je n'avais pas parlé de ce genre de problèmes dans le plan, je pense du coup que c'est attendu ou au moins le mentionner dans la défense)

    Là les deux autres couillons me demandent de refaire l'exo d'holomorphie parce qu'ils ne sont toujours pas convaincu (alors qu'ils m'ont fortement incité à considérer 1/f donc a priori ils ont la même solution que moi)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Questions faciles. En ce qui concerne le jury : un sympa, un raleur (les coquilles l'ont énervé), un neutre (en mode big boss qui posait de vrais questions)

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Surpris par le type qui a demandé a ses collègues "je suis pas entrain de me faire arnaqué là ?" après avoir entendu ma réponse à son exo (tjrs l'holomorphie). J'en conclut qu'il ne faut pas se mettre trop de pression sur notre niveau, mais simplement ne pas faire d'erreurs bêtes -_-' (On le savait déjà, certes)

  • Note obtenue :

    13.75