Développement : Chemin optique et calcul des variations

Détails/Enoncé :

Soient $A,B \in \mathbb{R}^2$ et $E = \{ u \in C^1 ( [0,1], \mathbb{R}^2 ) , u(0) = A, u(1) = B \}$. Soit $n : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}_+^*$ de classe $C^2$. On munit $\mathbb{R}^2$ du produit scalaire usuel.

Si $u \in E$, on pose $F(u) = \int_{[0,1]} n(u) ||u''||^2 $ et on suppose qu'il existe $u_0 \in E$ tel que $F(x_0) = \min_E F$. Alors $u_0$ est $C^2$ et vérifie $2 n(u_0) u_0'' - ||u_0'||^2 \nabla n(y) + 2 \langle \nabla n(u_0) , u_0' \rangle u_0' = 0$.

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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Oraux X-ENS Analyse 4 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 42 versions au total)