Leçon 219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Dernier rapport du Jury :

(2014 : 219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.) Cette leçon a changé de titre. Il faut bien faire la distinction entre propriétés locales (caractérisation d'un extremum) et globales (existence par compacité, par exemple). Dans le cas important des fonctions convexes, un minimum local est également global. Les applications de la minimisation des fonctions convexes sont nombreuses et elles peuvent illustrer cette leçon. L'étude des algorithmes de recherche d'extremas y a maintenant toute sa place : méthode de gradient, preuve de la convergence de la méthode de gradient à pas optimal, etc. Le cas particulier des fonctionnelles sur $R^n$ de la forme $\frac{1}{2} (Ax|x) - (b|x)$, où $A$ est une matrice symétrique définie positive, devrait être totalement maîtrisé. Les candidats devraient aussi être amenés à évoquer les problèmes de type moindres carrés et les équations normales qui y sont attachés. Enfin, les problèmes de minimisation sous contrainte amènent à faire le lien avec les extrema liés, la notion de multiplicateur de Lagrange et, là encore des algorithmes peuvent être présentés et analysés.

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Développements :

• Chemin optique et calcul des variations
• Optimisation dans un Hilbert
• Billard convexe
• Ellipsoïde de John Loewner
• Théorème d'uniformisation de Riemann (ou théorème de représentation conforme)
• Inégalité isopérimétrique
• Géodésiques du demi plan de Poincarré

Plans/remarques :

Retours d'oraux :

Références utilisées dans les versions de cette leçon :