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Liste des leçons

Avec des suggestions de développements, des propositions de plans, des références, ...

Numéro	Type	Nom
101	1	Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
102	1	Groupe des nombres complexes de module $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.
103	1	Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
104	1	Groupes finis. Exemples et applications.
105	1	Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
106	1	Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications.
107	1	Représentations et caractères d'un groupe fini sur un $\mathbb{C}$-espace vectoriel.
108	1	Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
109	1	Exemples et représentations de groupes finis de petit cardinal.
110	1	Caractères d'un groupe abélien fini et transformée de Fourier discrète. Applications.
120	1	Anneaux $Z/nZ$. Applications.
121	1	Nombres premiers. Applications.
122	1	Anneaux principaux. Exemples et applications.
123	1	Corps finis. Applications.
124	1	Anneau des séries formelles. Applications.
125	1	Extensions de corps. Exemples et applications.
126	1	Exemples d'équations diophantiennes.
127	1	Droite projective et birapport.
140	1	Corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur un corps commutatif. Applications.
141	1	Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
142	1	Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.
143	1	Résultant. Applications.
144	1	Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
150	1	Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
151	1	Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
152	1	Déterminant. Exemples et applications.
153	1	Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie.
154	1	Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
155	1	Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
156	1	Exponentielle de matrices. Applications.
157	1	Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
158	1	Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
159	1	Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
160	1	Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
161	1	Isométries d'un espace affine euclidien de dimension finie. Applications en dimensions $2$ et $3$.
162	1	Systèmes d'équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
170	1	Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.
171	1	Formes quadratiques réelles. Exemples et applications.
180	1	Coniques. Applications.
181	1	Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
182	1	Applications des nombres complexes à la géométrie. Homographies.
183	1	Utilisation des groupes en géométrie.
190	1	Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
201	2	Espaces de fonctions : exemples et applications.
202	2	Exemples de parties denses et applications.
203	2	Utilisation de la notion de compacité.
204	2	Connexité. Exemples et applications.
205	2	Espaces complets. Exemples et applications.
206	2	Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.
207	2	Prolongement de fonctions. Exemples et applications.
208	2	Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues.Exemples.
209	2	Approximation d'une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.
213	2	Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.
214	2	Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.
215	2	Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.
217	2	Sous-variétés de $R^n$. Exemples.
218	2	Applications des formules de Taylor.
219	2	Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
220	2	Équations différentielles $X' = f(t,X)$. Exemples d'études des solutions en dimension $1$ et $2$.
221	2	Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
222	2	Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.
223	2	Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.
224	2	Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.
226	2	Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples et applications.
228	2	Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et contre-exemples.
229	2	Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
230	2	Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
232	2	Méthodes d'approximation des solutions d'une équation $F(X) = 0$. Exemples.
233	2	Analyse numérique matricielle : résolution approchée de systèmes linéaires, recherche de vecteurs propres, exemples.
234	2	Espaces $L^p$, $1 \le p \le + \infty$.
235	2	Problèmes d'interversion de limites et d'intégrales.
236	2	Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.
239	2	Fonctions définies par une inégrales dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.
240	2	Produit de convolution, transformation de Fourier. Applications.
241	2	Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
243	2	Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
244	2	Fonctions développables en série entière, fonctions analytiques. Exemples.
245	2	Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.
246	2	Séries de Fourier. Exemples et applications.
249	2	Suite de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes.
253	2	Utilisation de la notion de convexité en analyse.
254	2	Espaces de Schwartz $S(R^d)$ et distributions tempérées. Transformation de Fourier dans $S(R^d)$ et $S'(R^d)$.
255	2	Espaces de Scwartz. Distributions. Dérivation au sens des distributions.
260	2	Espérance, variance et moments d'une variable aléatoire.
261	2	Fonction caractéristique et transformée de Laplace d'une variable aléatoire. Exemples et applications.
262	2	Modes de convergence d'une suite de variables aléatoires. Exemples et applications.
263	2	Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.
264	2	Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.
901	3	Structure de données : exemples et applications.
902	3	Diviser pour régner : exemples et applications.
903	3	Exemples d'algorithmes de tri. Complexité.
906	3	Programmation dynamique : exemples et applications.
907	3	Algorithmique du texte : exemples et applications.
909	3	Langages rationnels. Exemples et applications.
910	3	Langages algébriques. Exemples et applications.
912	3	Fonctions récursives primitives et non primitives. Exemples.
913	3	Machines de Turing. Applications.
914	3	Décidabilité et indécidabilité. Exemples.
915	3	Classes de complexité : exemples.
916	3	Formules du calcul propositionnel : représentation, formes normales, satisfiabilité. Applications.
917	3	Logique du premier ordre : syntaxe et sémantique.
918	3	Systèmes formels de preuve en logique du premier ordre : exemples.
919	3	Unification : algorithmes et applications.
920	3	Réécriture et formes normales. Exemples.
921	3	Algorithmes de recherche et structures de données associées.
922	3	Ensembles récursifs, récursivement énumérables. Exemples.
923	3	Analyses lexicale et syntaxique : applications.
924	3	Théories et modèles en logique du premier ordre. Exemples.
925	3	Graphes : représentations et algorithmes.
926	3	Analyse des algorithmes : complexité. Exemples.
927	3	Exemples de preuve d'algorithme : correction, terminaison.
928	3	Problème NP-complets : exemples de réductions.