Leçon 254 : Espaces de Schwartz $S(R^d)$ et distributions tempérées. Transformation de Fourier dans $S(R^d)$ et $S'(R^d)$.

(2013) 254
(2015) 254

Dernier rapport du Jury :

(2014 : 254 - Espaces de Schwartz $S(R^d)$ et distributions tempérées. Transformation de Fourier dans $S(R^d)$ et $S'(R^d)$.) Rappelons une fois de plus que les attentes du jury sur ces leçons restent modestes, et se placent au niveau de ce qu'un cours de M1 standard sur le sujet peut contenir. Aucune subtilité topologique portant sur l'espace des distributions tempérées n'est attendue. Par contre, on attend du candidat qu'il sache faire le lien entre décroissance de la transformée de Fourier et régularité de la fonction. Le fait que la transformée de Fourier envoie $S(R^d)$ dans lui même avec de bonnes estimations des semi normes doit être compris et la formule d'inversion de Fourier maîtrisée dans ce cadre. Le passage à $S'(R^d)$ repose sur l'idée dualité qui est le coeur de cette leçon. Des exemples de calcul de transformée de Fourier peuvent être données, classiques comme la gaussienne ou $(1+x^2)^{-1}$ et d'autres liées à la théorie des distributions comme la détermination de la transformée de Fourier d'une constante. Les candidats ayant une bonne connaissance du sujet peuvent par exemple déterminer la transformée de Fourier de la valeur principale, la solution fondamentale du laplacien, voire résoudre l'équation de la chaleur ou de Schrödinger.

(2013 : 254 - Espaces de Schwartz $S(R^d)$ et distributions tempérées. Transformation de Fourier dans $S(R^d)$ et $S'(R^d)$.) Les leçons 254 et 255 qui portent sur la théorie des distributions et son utilisation ont été choisies par quelques candidats, qui étaient souvent bien préparés et dont la présentation s’est avérée satisfaisante. Rappelons une fois de plus que les attentes du jury sur ces leçons restent modestes, et se placent au niveau de ce qu’un cours de M1 standard sur le sujet peut contenir. Aucune subtilité topologique portant sur l’espace des distributions tempérées n’est attendue. Les candidats sont invités à présenter des situations simples où les distributions sont effectivement utilisées, et à avoir les idées claires sur ce qu’est le support d’une distribution ou son ordre. Les thèmes de développement possibles incluent les formules de saut, les solutions élémentaires (pour le Laplacien par exemple), les conditions sous lesquelles le produit de convolution de deux distributions peut être défini, ou son associativité dans certains cas. La dérivation au sens des distributions des fonctions d’une seule variable réelle fournit déjà une problématique intéressante. Des applications simples aux équations aux dérivées partielles linéaires sont également les bienvenues.

Développements :

Plans/remarques :

Pas de plans pour cette leçon.

Retours d'oraux :

Pas de retours pour cette leçon.

Références utilisées dans les versions de cette leçon :