Leçon 254 : Espaces de Schwartz $S(R^d)$ et distributions tempérées. Transformation de Fourier dans $S(R^d)$ et $S'(R^d)$.

Dernier rapport du Jury :

(2014 : 254 - Espaces de Schwartz $S(R^d)$ et distributions tempérées. Transformation de Fourier dans $S(R^d)$ et $S'(R^d)$.) Rappelons une fois de plus que les attentes du jury sur ces leçons restent modestes, et se placent au niveau de ce qu'un cours de M1 standard sur le sujet peut contenir. Aucune subtilité topologique portant sur l'espace des distributions tempérées n'est attendue. Par contre, on attend du candidat qu'il sache faire le lien entre décroissance de la transformée de Fourier et régularité de la fonction. Le fait que la transformée de Fourier envoie $S(R^d)$ dans lui même avec de bonnes estimations des semi normes doit être compris et la formule d'inversion de Fourier maîtrisée dans ce cadre. Le passage à $S'(R^d)$ repose sur l'idée dualité qui est le coeur de cette leçon. Des exemples de calcul de transformée de Fourier peuvent être données, classiques comme la gaussienne ou $(1+x^2)^{-1}$ et d'autres liées à la théorie des distributions comme la détermination de la transformée de Fourier d'une constante. Les candidats ayant une bonne connaissance du sujet peuvent par exemple déterminer la transformée de Fourier de la valeur principale, la solution fondamentale du laplacien, voire résoudre l'équation de la chaleur ou de Schrödinger.

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Développements :

• Formule d'inversion de Fourier dans S(Rd) ou L(Rd)
• Théorème de Paley-Wiener
• Équation de Schrödinger
• Résolution de y'' - y = H dans S'(R) [ref]
• Équation de la chaleur et distributions
• Solution fondamentale de l'équation des ondes

Plans/remarques :

Retours d'oraux :

Références utilisées dans les versions de cette leçon :