Retours d'oraux

Des retours d'expériences des années précédentes.

Liste des retours de l'année 2018 :

  • Leçon choisie :

    153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    103 : Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition de Dunford (version algorithmique)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    D'abord des questions pour éclaircir des points du développement
    Questions :
    1. Dimension de K[u] (degré du polynome minimal) et preuve (j'ai déterminé K [u]~K [X]/($\pi_u$)}, mais plus simplement à l'aide du polynôme minimal, les puissances supérieures au degré du polynôme minimal s'écrivent avec un degré plus petit)
    2. Donner la décomposition de Dunford de $\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}$
    3. Preuve de la propriété : en dimension finie il existe toujours un polynôme annulateur (avec l'aide du jury)
    4. Question sur la division euclidienne de deux polynômes (j'ai écrit A=BQ+R mais ils attendaient le nom?? L'écriture de la division avec les conditions sur le degré du reste a semblé satisfaire le jury)
    5. Exemples de polynôme annulateur (avant de repondre ils ont conseillé de prendre des exemples issues de la géométrie). J'ai donné la symétrie axiale dans l'espace en donnant la matrice diagonale dans une base adaptée (ils ont demandé pourquoi u est diagonalisable évident avec la matrice donnée)
    6. Connaissez vous ce qu'est un projecteur ? Oui! pop=p donc $x^2-x$ est annulateur
    7. Exercice : G sous groupe fini de $GL_2(\mathbb{C})$. Que peut on dire de G? (Astuce : les valeurs propres sont les racines de l'unité)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, le jury a donné plusieurs indications pour répondre aux questions qui m'ont posé problème.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Déroulement de la préparation
    Le temps de préparation commence à l'ouverture des sujets dans la "salle de tirage".
    Il faut écrire les intitulés des sujets sur une feuille A5
    Il faut ensuite se déplacer jusqu'à la salle de préparation avec ses affaires personnelles dans une caisse en plastique.
    Les plans sont ramassés 10 minutes avant la fin des 3h pour les photocopies.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    235 : Problèmes d’interversion de limites et d’intégrales.

  • Autre leçon :

    245 : Fonctions holomorphes sur un ouvert de C . Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Equation de la chaleur sur un anneau

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Nombreuses questions autour des séries de Fourier (j'avais mis peu de théorème sur ma feuille et j'étais allé un peu vite sur le développement). Rien de totalement hors des clous.

    On m'a demandé ce que j'aurais ajouté comme applications en plus (j'avais dit dans ma présentation que je n'avais pas pu tous les citer car la leçon est très dense et que je n'avais pas forcément eu la place d'être exhaustive dans cette partie) : j'ai répondu que l'on pouvait parlé de prolongement de fonctions, comme la fonction Gamma ou encore montrer que les polygones orthogonaux forment une base de L^2. C'était deux autres développements que j'avais préparé.

    J'ai eu des questions sur une de mes applications (dénombrement des solutions d'une équation diophantienne) qui utilisait juste un produit de Cauchy, notamment sur sa pertinence dans le plan.

    Pour finir, le jury qui avait l'air de beaucoup aimé les séries de Fourier m'a demandé de montré l'unicité de la solution de l'équation de la chaleur en utilisant la fonction énergie.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Deux jurys fort sympathique et un troisième qui m'a posé l'essentiel des questions autour des séries de Fourier pas forcément toujours en douceur.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Les plans sont ramassée 10 minutes avant la fin, soit presque 20 minutes avant le passage devant le jury.

  • Note obtenue :

    9.25

  • Leçon choisie :

    228 : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    222 : Exemples d’équations aux dérivées partielles linéaires.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Densité des fonctions continues nulles part dérivables

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Q : A quoi appliquez-vous le théorème de Baire, pour conclure votre développement ? (j'ai du m'interrompre après avoir montré U dense)
    R : A l'espace complet (C([0,1]) ||.||infinie ). Et la famille d'ouverts est celle des U(n, 1/n).

    Q : On appelle X cette intersection d'ouverts dense. Prenez une fonction f dans C([0,1]), que pouvez vous dire de l'ensemble (f+X) inter X ?
    R : Il est dense, comme intersection d'ouverts denses. (mais j'ai galéré comme pas possible avant de répondre ça...)
    Il y avait visiblement pas mal d'autres choses à en dire, mais ils ont voulu passer à une autre question.

    Q : Quelle est la structure de l'espace des fonctions bornées sur R muni de la norme infinie ? Et celui des fonctions continues et bornées ?
    R : Banach, et encore Banach.

    Q : On prend une suite fn qui cvu vers f sur [0,1], quelle est la limite de fn(1/n) ?
    R : C'est un cas particulier d'une propriété du plan (et du développement), c'est f(0). Pour démontrer cette propriété, je fais...blablabla.

    Q : Vous avez un exemple de suite qui cvs sur [0,1] mais pour laquelle cette propriété n'est pas vraie ?
    R : L'idée ça va être de s'inspirer du contre exemple classique de la suite fn(x)=x^n, pour laquelle on a cvs mais pas cvu en 1. Seulement là on veut que le problème soit en 0, donc on prend... 1-x^n. (Ici le jury me traite de crétin et me dit de rajouter des parenthèses) (1-x)^n, donc. Et là...c'est bon c'est un contre exemple.

    Q : On va revenir au théorème de Weierstrass, que pouvez vous dire sur la vitesse de convergence des polynômes de Bernstein ?
    R : Il me semble qu'elle est optimale, mais sinon ça dépend du module de convergence de notre fonction. (Merci Zuily Queffelec, pour une fois
    que tu me sers à quelque chose...)

    Q : Toujours lié Weierstrass : Soit f(x)=|x-1/2| (sur [0,1]), Xn iid suivant des bernoulli 1/2, Sn leur somme, et (un) la suite définie par racine(n)*somme de [je sais plus quoi]. Pouvez vous expliciter un peu mieux le terme général de (un) ?
    R : (encore une fois j'ai bien pataugé, c'est bien pour ça que je ne me souviens pas de l'énoncé !) "on peut exprimer un comme racine(n) fois l'espérance d'une certaine variable aléatoire, grâce au théorème de transfert." Ensuite on utilise le théorème central limite à un moment où un autre, pour faire je ne sais pas trop quoi car l'exercice (et l'oral) s'est interrompu au moment où j'écrivait le TCL.
    (Désolé de ne pas être plus précis sur cet exercice...mais la morale de l'histoire c'est : si vous présentez Weierstrass, ayez bien en tête vos formule de proba de base, moi j'avoue que j'ai eu peur d'écrire le mauvais TCL au tableau...)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Il y avait deux hommes et une femme, l'un d'entre eux essayait visiblement de détendre au maximum l'atmosphère en faisant de l'humour dès que possible. C'est aussi lui qui a posé la majorité des questions et qui semblait gérer le déroulement de l'oral La femme n'a pas parlé de tout l'oral, mais elle avait l'air d'écouter ce que je disais et de surveiller mon plan.
    Enfin il y avait un deuxième homme, il m'a posé quelques questions mais sinon il n'intervenait pas trop.

    Donc : une muette, un blagueur et un neutre. Ils aidaient pas mal sur les questions.
    Ils étaient aussi très tatillon sur le temps, pour mon développement à 15 minutes piles j'ai du terminer sans écrire. Pour le plan à 5 minutes ils m'ont dit de me dépêcher de conclure.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pour la préparation :
    Pas de grande surprise, ça se passe exactement comme c'est décrit dans les nombreux retours d'oraux (notamment le fait qu'on n'a pas 3 heures de préparation...). La seule chose qui m'ait un peu étonné car je n'y avais pas réfléchi, c'est que lors de la préparation on n'est pas du tout seul, il y a une dizaine de candidats qui se préparent dans la même salle que nous.

    Pour l'oral :
    Naïvement j'ai cru que tout allait bien se passer, car la veille au soir j'avais vu un candidat passer sur exactement la même leçon (avec un autre jury que le mien) et donc j'avais pu entendre plein de questions qu'il a eu :
    Démontrer Darboux, Rolle, Heine, donner des exemples de fonction C^infini non holomorphe, ...
    De ce que j'avais vu, les candidats sont longtemps interrogés sur leur plan/développement, ou sur les questions présentes dans le rapport du jury. Si bien qu'il n'y a presque aucun exercice "sorti de nulle part".

    Pour mon oral c'est tout l'inverse : aucune question sur le plan, aucune question pour détailler le développement (malgré une légère coquille présente au tableau, qu'ils n'ont jamais mentionné), mais directement des exercices...bref, j'ai beau avoir vu un oral sur cette leçon juste avant de passer, contre toute attente ça ne m'a servi strictement à rien..

  • Note obtenue :

    11.25

  • Leçon choisie :

    215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Lemme de Morse

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -Questions sur le développement : imprécision dans les notations du lemme présent dans le développement (application du théorème d'inversion locale), précision sur la somme directe (matrices symétriques/antisymétriques)

    -Concernant le théorème sur les extrema locaux (notations de Monge) : connaissez vous un autre théorème qui concerne les extrema. J'ai nommé le théorème des extrema liés (sans pouvoir le citer)

    -Application du théorème des fonctions implicites pour montrer que $AB-I_n$ (avec A matrice inversible) avait comme solution $B=A^{-1}$

    -Si t appartient à l'intervalle $\left]\frac{-1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}}\right[$ : montrer qu'il existe une unique solution à l'équation cos(tx)+sin(tx)=x. Le jury m'a fait remarqué que l'on peut l'écrire f(x)=x. J'ai pensé au théorème du point fixe, donné les hypothèses. Il fallait faire une majoration sur le signe de la dérivée pour voir que f était strictement contractante.
    Ensuite, montrer que l'on peut écrire t en fonction de x (application du théorème des fonctions implicites)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury peu aidant pour les questions

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

  • Autre leçon :

    155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Automorphismes de Sn

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Le jury a commencé par revenir sur le développement. Ils m'ont demandé de justifier que $\mathfrak S_n$ était engendré par les $(1\, i)$, je n'attendais pas cette question et j'ai eu un peu de mal à le faire (j'ai pris le cas de $\mathfrak S_3$ pour ensuite faire le cas général). Puis le jury m'a demandé de réexpliquer un point du développement sur lequel je suis passé un peu rapidement. Ils m'ont ensuite demandé qu'elle était la plus petite partie génératrice de $\mathfrak S_n$ (la réponse était dans mon plan) puis quelle était le nombre minimal de transpositions nécessaires pour engendrer $\mathfrak S_n$ (j'ai eu l'intuition du résultat, le jury a confirmé que c'était une bonne idée et j'ai trouvé la preuve rapidement).

    Ensuite, ils sont passés aux questions sur le plan. Ils m'ont demandé comment je faisais pour prouver que le groupe multiplicatif d'un corps fini était cyclique, à partir de la formule $n=\sum_{d\mid n} \varphi(d)$. Je me souvenais du plan de la preuve, mais je ne me souvenais plus vraiment d'un point, le jury m'a donné une indication et ça m'est revenu. Puis ils m'ont demandé si le caractère fini du corps était nécessaire (non). Ils m'ont demandé quelle topologie je mettais sur les espaces de matrices et ils m'ont demandé quelles étaient les propriétés topologiques de $\mathrm{SO}_n(\mathbb R)$ (j'avais mis dans le plan qu'il était connexe par arcs, mais je n'avais pas dit qu'il était compact). Ils m'ont demandé de prouver que $\mathrm{GL}_n(K)$ était engendré par les transvections et les dilatations (à partir du fait que $\mathrm{SL}_n(K)$ est engendré par les transvections). J'ai mentionné l'algorithme du pivot de Gauss lors de la présentation du plan, le jury m'a donc demandé à quoi servait cet algorithme et quelle était son efficacité.

    Comme je parlais de la fonction indicatrice d'Euler dans le plan, ils m'ont demandé si je connaissais une formule pour $\varphi(n)$. J'ai dit que oui, en utilisant la multiplicativité de la fonction. Ils m'ont alors demandé de prouver la multiplicativité. J'ai répondu qu'on pouvais le prouver avec le théorème chinois, ils m'ont alors demandé comment je construisais le morphisme de $\mathbb Z/pq\mathbb Z$ dans $\mathbb Z/p\mathbb Z \times \mathbb Z/q\mathbb Z$. J'ai posé l'application dans le bon sens, donc ça a été. J'ai dit une petite bêtise : je me suis fait la réflexion que ce que je faisais jusque là fonctionnerait sans supposer $p$ et $q$ premiers entre eux. Le jury m'a demandé si j'étais sûr de ça, j'ai dit que j'allais vérifier et je me suis rendu compte de mon erreur. Ils m'ont alors demandé ce qui se passait dans le cas où $p$ et $q$ ne sont pas premiers entre eux. J'ai répondu qu'il fallait alors considérer $\mathrm{PPCM}(p,q)$. Ils m'ont ensuite demandé comment inverser ce morphisme, j'ai répondu par l'algorithme d'Euclide étendu et le jury est passé à la suite.

    Le jury m'a demandé si je connaissais un système de générateurs de $\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$. J'ai tenté une première réponse (fausse). Comme je ne connaissais pas la réponse, le jury m'a donnée deux matrices puis m'a demandé de montrer que les deux matrices étaient génératrices. J'ai essayé d'adapter la preuve du cas $\mathrm{SL}_n(K)$, mais ce n'était pas vraiment ça. Le jury m'a beaucoup guidé et après plusieurs minutes, j'ai fini par réussir. J'avais parlé du groupe dérivé de $\mathfrak S_n$ dans le plan, le jury m'a demandé de définir ce que c'était en général et quelles étaient ses propriétés. Enfin le jury m'a demandé comment faire pour déterminer un générateur de $(\mathbb Z/p\mathbb Z)^*$. J'ai répondu que je ne connaissais pas de méthodes autres que d'essayer. Le jury m'a demandé alors de le faire pour $p=17$, j'ai commencé à essayer avec 2. Le jury m'a alors fait différentes remarques, j'ai senti qu'ils essayaient de me faire comprendre quelque chose mais il n'y avait plus de temps et ça s'est arrêté là.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    La préparation.
    Je suis passé sur une leçon que j'aimais bien et connaissais bien, je savais quoi mettre dans mon plan, je connaissais plutôt bien mes développements et je savais quelles références utiliser et malgré tout, je n'avais que très peu d'avance. J'ai fini d'écrire le plan 10 minutes avant qu'il ne soit ramassé pour photocopie. Il ne faut pas trainer lors de la préparation ! (et ne pas faire des plans à 40 items...)

    L'oral.
    J'ai été surpris par les questions : le jury a posé beaucoup de questions sur le plan, comment je faisais pour démontrer tel résultat, etc, mais presque pas d'exercices.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    202 : Exemples de parties denses et applications.

  • Autre leçon :

    260 : Espérance, variance et moments d’une variable aléatoire.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Densité des fonctions continues nulles part dérivables

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Sur le développement, le jury n'avait pas beaucoup de questions. Ils m'ont demandé des précisions sur un point du développement. Puis ils m'ont demandé si je connaissais un exemple explicite de fonction continue mais pas dérivable. J'en connaissais une, j'ai donné l'expression (sous forme d'une série de fonctions) puis le jury m'a demandé si je pouvais la dessiner. Je ne savais pas, le jury m'a donc dit de dessiner la fonction en ne considérant que les trois premiers termes de la série. Puis, on est passé aux questions sur le plan.

    Le jury m'a demandé d'étudier la densité de la suite $u_n = \mathrm e^{\mathrm i n \alpha}$. J'avais le résultat sur la densité des sous-groupes $a\mathbb Z + b\mathbb Z$ dans mon plan, j'ai pu répondre rapidement. Le jury m'a ensuite demandé ce que j'avais à dire sur les fermés d'intérieur vide et les fermés de mesure nulle : y a-t-il une implication ? une équivalence ? J'ai donné l'implication et j'ai dit que la réciproque était fausse. Le jury m'a alors demandé si je connaissais un exemple de fermé d'intérieur vide qui ne serait pas de mesure nulle. J'ai tenté une réponse avec un Cantor gras, mais je me suis un peu embourbé dans l'explication. Le jury m'a demandé de trouver un exemple plus simple, en considérant le complémentaire. L'idée m'est venue d'un coup et j'ai donné l'exemple qu'ils attendaient.

    Dans mon plan, je parlais du critère de densité dans les espaces de Hilbert (orthogonal réduit à $\{0\}$). Le jury m'a demandé si je connaissais une généralisation de ce critère dans d'autres espaces. Après une première réponse confuse, j'ai répondu "Hahn-Banach". Le jury m'a demandé de préciser les hypothèses sur l'espace. J'ai répondu que ça fonctionnait en dimension finie. Le jury m'a alors demandé ce qu'il fallait en dimension infini. j'ai répondu qu'il fallait que l'espace soit complet mais que je ne connaissais pas bien le théorème en dimension infini et le jury est passé à autre chose.

    J'avais mis le théorème d'approximation de Weierstrass dans mon plan (par les polynômes de Bernstein). Le jury m'a demandé ce que je pouvais dire de l'ensemble des polynômes de degré $\leqslant n$. J'ai répondu qu'il n'était pas dense. Le jury m'a demandé pourquoi. J'ai répondu qu'en prenant une fonction qui oscille beaucoup, on ne pourrait pas l'approcher convenablement par des polynômes de petit degré. Le jury n'a pas été convaincu par cette réponse (peu convaincante, je le reconnais). Le jury m'a demandé de prendre un exemple. J'ai répondu qu'on pouvait considérer un polynôme de degré $n+1$, puis j'ai eu l'idée de la réponse et on est passé à la question suivante.

    Le jury m'a demandé de montrer que dans un espace de Banach de dimension infinie, un s.e.v. de dimension finie était toujours d'intérieur vide. Ils m'ont ensuite demandé de prouver qu'un espace de Banach de dimension infinie n'admettait pas de base dénombrable. Je connaissais la réponse (Baire !).

    Le jury m'a demandé une précision sur un item de mon plan. Je parlais de $\mathrm{SL}_n(\mathbb R)$ comme hypersurface de $\mathcal M_n(\mathbb R)$, le jury se demandait quel était le rapport avec la leçon. J'ai répondu que c'était une application du calcul de la différentielle du déterminant, que je faisais par densité de $\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$. Le jury m'a demandé de le faire, j'ai expliqué comment j'allais faire, ça leur a suffit.

    Pour revenir sur Baire, le jury m'a demandé de démontrer un résultat plus élémentaire : si $U$ et $V$ sont deux ouverts denses, montrer que $U\cap V$ est dense (sans utiliser Baire bien sûr). J'ai retrouvé rapidement la démonstration, le jury est passé à la question suivante.

    La dernière question du jury était un exercice d'analyse réelle : soit $(u_n)$ une suite de réels strictement positifs, croissante et telle que $\frac{u_{n+1}}{u_n} \to 1$ ; montrer que $\{ \frac{u_m}{u_n} : m>n \}$ est dense dans ${[1,+\infty[}$. Je n'avais pas vraiment d'idées, j'ai tenté des choses qui n'allaient nulle part. Le jury m'a laissé mariner plusieurs minutes, puis voyant que je ne m'en sortais pas, a commencé à me guider. J'ai eu pas mal de difficultés à suivre leurs indications (j'avançais par micro-étapes, sans voir où ça allait) et après plusieurs minutes (et beaucoup d'indications), j'ai fini par y arriver. Le temps était alors écoulé, l'entretient s'est terminé sur cet exercice.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    183 : Utilisation des groupes en géométrie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Gauss (polygones constructibles)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Suite au développement sur Gauss, que je pensais bien maîtriser, il y a eu deux questions :

    -A un moment du développement, vous dites que pour k dans (Z/pZ)*, g_k qui à (somme de 1 à p-1 des x_i w^i) associe (somme de 1 à p-1 des x_i w^(ik) ) est un morphisme de corps, vous pourriez le montrer ?
    (Pour ceux qui sont hors contexte : on se place sur l'espace vectoriel Q(w), de base {w, ... w^(p-1)} )

    "Oui alors on va commencer par montrer que c'est un morphisme de groupe (là on me dit que c'est pas la peine), puis pour le côté morphisme de corps on va calculer g_k( x * y) et g_k(x) * g_k(y) séparément et constater qu'ils sont égaux."
    J'avais déjà réfléchi vaguement à cette question donc je pensais que ça allait être facile, je développe et je dis "bon voilà c'est égal", sauf que le jury me fait remarquer que j'ai "mal" développé ma somme double ou du moins affirmé quelque chose d'a priori faux.
    A partir de là ils ont passé pas mal de temps à m'aider à essayer de montrer que c'était bien un morphisme, mais je n'y suis pas parvenu...je ne sais pas si c'est vraiment dur à montrer ou si c'est juste la panique au tableau qui m'a fait louper cette question qui n'avait pas l'air si méchante...

    -A un autre moment du développement, vous dites que l'espace vectoriel associé à la valeur propre -1, s'il n'est pas égal à {0}, est de dimension 1 sur K_i, vous pourriez expliquer ?

    Donc là je réexplique ce que j'ai dit pendant mon développement, en stressant un peu car si on me demande de réexpliquer, je m'attends à avoir encore fait une erreur de raisonnement. Mais non, cette fois-ci c'est bon, mon explication est correcte. J'avais du expliquer un peu trop rapidement la première fois. "On prend deux éléments x et y associés à la vp -1, alors g(x/y)=-x/-y=x/y donc x/y est dans K_i et donc x=ly où l € K_i donc E-1 est bien de dimension 1 sur K_i. "

    Ensuite fin des questions sur le développement, et premier exercice :
    -Soit K une extension de degré 2 de Q, montrez que K = Q(racine(d)) avec d un entier relatif.
    Aucune idée de comment faire, mais bon je dis que je vais prendre un élément x de K\Q, considérer son polynome minimal, et puisque c'est un polynome de degré 2, exprimer x en fonction des coefficients. Je commence à dire "peut-être qu'on pourrait montrer K=Q(racine(delta))" mais on me fait remarquer que delta n'est pas un entier. Donc je fais la réflexion qu'on pourrait multiplier les coefficients par les ppcm de leur dénominateurs pour se ramener au cas entier. On me dit que c'est pas une mauvaise idée, et avant ça on me fait remarquer que delta ne peut pas être le carré d'un rationnel.
    L'exercice s'est arrêté plus ou moins à ce moment là, car je bloquais et qu'on avait passé pas mal de temps dessus (car j'avais déjà du réfléchir pas mal + être aidé avant d'en arriver à ce stade...)

    -Vous dites que la somme et le produit d'algébriques est algébrique, montrez-le.
    Question de cours, donc. Bon ça j'ai su faire, l'idée est de se servir de la formule des degrés :
    si a et b sont algébriques sur K, alors on va mq K(a,b) est de degré fini sur K, ça permettra de conclure car il contient a+b et ab
    Or K(a,b)=K(a)(b) donc [K(a,b) : K]=[K(a)(b) : K(a)] [K(a) : K]. a est algébrique sur K donc le crochet de droite est fini
    b est algébrique sur K et donc sur K(a) aussi (puisque K(a) contient K), donc le crochet de gauche est fini.
    Donc on a bien l'extension K(a,b) qui est finie, donc algébrique.

    L'oral s'est terminé là dessus.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Sur les 3 membres, l'un n'a pas dit grand chose, un autre s'est comporté normalement disons, et le dernier je l'ai trouvé assez sec.
    Ils aidaient un peu lorsque je bloquais à une question, mais pouvaient aussi me laisser patauger plusieurs minutes par moments.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral s'est mal passé, mais dans la mesure où je suis tombé sur deux leçons que je n'appréciais pas du tout, ça ne m'a pas tant surpris que ça...
    La surprise s'est faite sur les questions du jury, j'espérais avoir majoritairement des leçons de cours et en fait pas vraiment...

    Dommage, j'avais profité de la préparation pour lire à peu près toutes les démonstrations des théorèmes de mon plan + celles de thm cités dans le rapport du jury (genre "montrer que la cloture algébrique de Q est algébriquement close" dans je ne sais plus quel rapport de leçon.)
    Ben du coup je n'ai eu qu'une question de ce type là, sûrement car j'ai galéré beaucoup trop longtemps sur les autres...

  • Note obtenue :

    7.25

  • Leçon choisie :

    123 : Corps finis. Applications.

  • Autre leçon :

    101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Dirichlet faible

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Le jury m'a aidé à compléter mon développement qui avait deux trous (ce développement est assez long, pour pouvoir conclure j'ai passé vite).
    J'ai eu du mal. Notamment comment le quotient des polynomes reste à coefficients entiers.

    Dernier jour de mes oraux j'étais très fatigué avec une table de prof qui empêchait de se reculer du tableau pour voir plus large.

    Q : construire le corps à 4 éléments. Table de multiplication. J'ai su faire.
    Q : plonger le corps dans une extension (réponse : la dimension de l'e.v était fractionnaire donc pas possible de plonger le corps, toutes les puissances supérieures des nombres entiers ne conviennent pas). J'ai su faire
    Q : différence entre irréductible et admettre des racines (sur des exemples velus). Critère d'irréductibilité dans une extension de corps.
    Q : Sur le plan expliquer le lien avec les codes de Hamming (corps fini et décodage)
    Q : Sur les corps de décomposition. Pas su répondre. en travaillant sur F27


  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, mais parfois j'avais un peu le sentiment d'avoir des rames...

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'aurais du proposer en dev la classification des formes quadratiques sur Fp, plus simple, que je maîtrisais bcp mieux. Il faut prendre un développement de niveau pas élémentaire mais qu'on maîtrise suffisamment. Le premier jour ce serait passé mais avec la fatigue, le dernier jour des oraux c'est dur....

    Pronostic de note (casse gueule) : 11

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    202 : Exemples de parties denses et applications.

  • Autre leçon :

    228 : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Base hilbertienne des polynômes orthogonaux

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Le jury m'a fait préciser des éléments dans le développement. pas de difficultés particulières.

    Q : Redémontrer le th de Weierstrass : j'ai donné les idées
    Q : Comment on démontrer la CNS de densité dans les espaces de Hilbert avec la nullité de l'orthogonal (réponse : grâce au th de projection) ?
    Q : Densité des fct C infini dans C1 et C0 : j'ai un peu patazouillé mais ils ont vu que j'avais compris.
    Q : Calculer une ou deux séries de Fourier : calcul arrêté avant la fin car il y avait une triple intégratio par parties chronophage au tableau.
    Q : Démontrer la densité des matrices diagonalisables dans M_n(C). Fait
    Q : Densité via la convolution : la on était en mode pas à pas car je ne connaissais pas les résultats associés (la régularité qu'on gagne...).
    J'ai donné les idées avec les approximations de l'unité qu'on peut choisir C inifni.
    Q : comment on démontre Hilbert séparable ssi .... : j'ai réussi on l'a fait ensemble.

    Fin de l'oral.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Plutôt bienveillant mais qui a enchainé les questions à un rythme rapide...

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Mieux que prévu. c'était le premier jour j'étais frais et dispo, j'ai fait mon plan en 3H et mes deux développements étaient de bons niveau et maîtrisés.
    J'ai globalement su répondre aux questions, avec des trous et en étant un peu guidé quand même...

    Pronostic de note (un peu casse gueule mais il faut essayer d'estimer son travail) : 14

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Sujet du texte choisi :

    "Le balai renversé", B10.
    les mots clés : EDO, algèbre linéaire et optimisation

  • Sujet de l'autre texte :

    Je ne me souviens plus car j'ai vite, ça parlait de cellules et d'adn. Dans les mots clés c'était EDO et étude du problème de Cauchy.
    Texte B28

  • Un petit résumé du texte :

    On tient un balai en équilibre en position verticale sur notre main, on essaie de voir comment bouger notre main pour maintenir cet équilibre.
    On se retrouve avec une équation différentielle x'(t)= f(t,x(t)) (où la fonction f dépend aussi d'une fonction u, connue à l'avance, correspondant au déplacement de notre main au cours du temps.)
    On étudie rapidement cette équation différentielle dans le cas où u est la fonction nulle, puis on passe à l'étude du linéarisé du système. Il n'est pas explicitement cité dans le texte, mais je pense que cette étude du cas linéarisé se justifie grâce au thm de Lyapounov.
    Le texte se termine avec une étude sur un cas où u est une fonction constante par morceaux, puis après en dernier paragraphe ça part sur de l'optimisation mais je ne suis pas arrivé jusque là.

  • Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...)

    J'ai produit 3 codes, les 3 étaient presque identiques et modélisaient l'angle entre le manche de notre balai et la verticale au cours du temps :
    d'abord si on ne bougeait pas notre main, ensuite touujours si on ne bouge pas notre main, la dérivée de la fonction angle en fonction du temps, puis enfin si on bougeait suivant une certaine fonction constante par morceaux, la variation de l'angle.
    Tous ces codes étaient suggérés dans le texte, ils conseillaient la méthode d'Euler explicite (que j'ai aussi utilisé) et je suis bien tombé sur les mêmes dessins que dans le texte.

    Au niveau des théorèmes, il y en avait un gros à démontrer et sa preuve se passait en deux étapes :
    d'abord redémontrer que les solutions d'une équation diff affine du premier ordre s'expriment selon la formule [blablabla], c'est démontré dans le Demailly par exemple donc là il suffisait juste de lire le livre pour savoir comment faire.
    Ensuite un second lemme dont la démonstration reposait sur des résultats d'algèbre linéaire (Cayley Hamilton et le fait que l'expo de matrice est un polynome en la matrice), mais dont la démonstration était très guidée.
    J'ai démontré les deux durant la préparatoin, mais à l'oral je n'ai fait que le second lemme par manque de temps.

    Pour le plan : Il était en 3 parties :
    I - Présentation du problème, exemple du cas où on ne bouge pas la main (présentation des deux premiers codes)
    II - Etude du système différentiel linéarisé (comme suggéré dans le texte) (on y démontre le thm)
    III - Exemple sur un cas moins simple (présentation du troisième code)

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    On est revenu sur ma preuve du théorème, notamment pourquoi l'exponentielle est un polynôme en la matrice.
    J'avais cité Cauchy Lipschitz local mais dans le cas d'une fonction C^1, il m'ont demandé le "vrai" théorème.
    Je n'avais pas très bien appliqué ce théorème donc on est revenu sur ce que j'avais fait dans l'oral, ils m'ont fait corriger une erreur au tableau.
    Puis on en est venu au code, ils m'ont posé quelques questions sur la méthode d'Euler :
    Quelles sont ses propriétés ? (sous-entendu : Stabilité, Consistance, Convergente ?)
    J'ai dit qu'elle était convergente, ils m'ont demandé d'écrire la définition de convergente au tableau.
    Ils m'ont demandé des critères pour la consistance/stabilité, l'ordre de consistance d'Euler, des trucs de ce genre (en gros tout ce qu'on peut lire dans le chapitre du Demailly "méthode d'approximation à un pas")
    On m'a aussi demandé si Euler pouvait s'appliquer sur R et non pas sur [0,T]. J'ai dit (en moins bien formulé que ça) que puisque de toutes façons puisqu'on considère des approximations en un nombre fini de points, l'étude se fait forcément sur un intervalle [a,b] qu'on le veuille ou non. Ça les a convaincu visiblement.

  • Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...)

    Mon oral s'est bien mieux passé que prévu car j'ai été interrogé sur des notions que j'avais revu peu de temps avant. Parmi les choses que j'aurais pu améliorer, c'est sans doute ma présentation de 35 minutes. J'avais un tableau assez vieux sur lequel il était difficile d'écrire lisiblement (la craie ne "glissait" pas sur le tableau...), du coup j'ai perdu beaucoup de temps à écrire et j'ai du sélectionner ce que je démontrais. Plutôt que de démontrer le lemme fait dans le Demailly, qui figurait dans le texte mais sans indication sur comment le démontrer, j'ai démontré l'autre lemme sur lequel il y avait beaucoup d'indications dans le texte. Stratégiquement c'était pas optimal je pense. Mais ça n'est pas si grave...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ?

    Le jury était très sympathique, et me mettait bien en confiance. Ils m'ont aidé à corriger une erreur sur Cauchy Lipschitz au tableau.
    Je trouve que c'est l'oral où le jury est le plus agréable, on sent que la discussion est vraiment une discussion justement, et pas une séance d'exercices où on te laisse patauger plusieurs minutes quand tu ne comprends pas ce qu'on te dit.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral et la préparation se sont bien mieux passés que prévu, j'avais vraiment peur de la modélisation mais puisque le jury m'a posé les questions auxquelles on m'avait conseillé de me préparer, j'ai pu m'en sortir.
    La seule mauvaise surprise c'est le tableau tout pourri où il était vraiment difficile d'écrire de façon rapide et lisible.

  • Note

    12.75

  • Leçon choisie :

    157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Autre leçon :

    102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition de Dunford (version algorithmique)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Beaucoup de questions concernant le développement (donner la décomposition de Dunford d'une matrice donnée) puis sur l'exponentielle matricielle (les classiques décomposition de Dunford de l'exponentielle de u en fonction de celle de u, et montrer que l'exponentielle de u est dans K[u]. )

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Très sympathique et bienveillant. Si je bloquais, il me guidait et grâce à cela, j'ai toujours pu aboutir au résultats espérés.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral en général ne m'a pas surpris, ni sa préparation. Ce qui m'a surpris c'est l'organisation qu'il y a tout autour et qui peut donner le vertige pour le premier jour.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    161 : Isométries d’un espace affine euclidien de dimension finie. Applications en dimensions 2 et 3.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Lie-Kolchin

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Dans Lie-Kolchin, où vous servez vous de l'hypothèse "G non abélien"?
    -A la fin on écrit D^(l-1)(G)=D(D^(l-2)(G)), ce qui n'est possible que parce que l>=2, car G non abélien.
    Montrez le théorème de trigonalisation simultanée dans le cas abélien?
    -On a plus besoins d'aucune hypothèse sur la partie si ce n'est qu'elle est abélienne. La récurrence ce passera exactement comme dans Lie-Kolchin. Le cas trivial est le cas où tous les éléments sont des homotéthies. Sinon il existe un élément qui a un sous-espace propre non triviale et non tout l'espace, c'est ce sous espace qui permet de conclure par récurrence sur la dimension.
    Connaissez-vous un exemple de sous groupe résoluble connexe de GLn(C)?
    -Le sous groupe des matrices triangulaires supérieures inversibles.
    Plusieurs définitions équivalentes de groupe résoluble?
    -Définition par le groupe dérivée et par la suite de sous groupes distingués.
    Décrire les classes de conjugaison de Sn?
    -Une classe est déterminée par une partition de n.
    Les donner et les dénombrer pour n=5.
    Quels sont les éléments du groupe symétrique qui peuvent s'écrire comme des carrées?
    -On regarde d'abord ce qui ce passe sur les cycles et on voit que les carrées sont les éléments qui n'ont dans leur décomposition en cycles à supports disjoints que des cycles impairs et des paires de cycles pairs. (Il m'a fallut pas mal d'aide pour celle là)
    Si l'on choisit uniformément deux éléments dans un groupe fini G peut on estmer la proba qu'ils commutent l'un avec l'autre?
    -Je n'ai pas réussi à conclure. Si G est abélien la prob est 1 sinon: on écrit ce que l'on cherche à calculer comme un quotient, puis on développe ça comme une somme sur les éléments de G, comme G est abélien #(G/Z(G))>=4, c'est cette inégalité qui pourra nous aider.
    Pouvez vous montrer que le centre d'un p-groupe est non trivial?
    -Démonstration classique.
    Quels sont le groupe d'ordre 49?
    -Selon le thm de structure des GAF, il n'y a que deux groupes abéliens non isomorphes, tous les groupes d'ordre p^2 sont abéliens.
    Les groupes d'ordre p^2?
    -Même réponse il suffit de changer 7 par p.
    On a une représentation du groupe symétrique via les matrices de permutations, pouvez vous donner toutes les sous-représentations irréductibles de cette représentation?
    -Soit (ei)_i une base de R^n S_n agit sur R^n par f.ei=ef(i). La droite engendrée par la somme des vecteurs de la base est invariante. L'hyperplan d'équation f(somm(liei))=somme(li)=0 en est un supplémentaire stable. A isomorphisme près la théorie des représentation donne l'unicité.
    Oui mais pouvez vous montrez que ce sont bien les seules, pas à isomorphismes près?
    -On finit par y arriver par le calcul.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury aidait beaucoup et était sympathique.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    17.25

  • Sujet du texte choisi :

    Arithmétique et traitement du signal

  • Sujet de l'autre texte :

    Un truc sur les codes correcteurs

  • Un petit résumé du texte :

    On étudie une onde x(t)=sum_{j=1}^m A_j.exp(2i*pi*f_j*t) où A_j désigne l'amplitude de la j-ème composante et f_j la j-ème fréquence associée.
    Le but est, en effectuant des mesures de x au cours du temps (typiquement tous les t=k/N avec un pas de 1/N) de reconstruire les A_j et f_j, autrement dit de retrouver x.
    Rq : C'est anecdotique, mais dans le texte original, la somme va de 1 à rho (bordel c'est qui le sagouin qui utilise ça comme indice ??)

    ------------------Menu------------------
    0 - Présentation
    1 - Cas d'une fréquence
    2 - Erreurs de mesure
    3 - Complexité
    4 - Cas de plusieurs fréquences
    5 - Fréquences rationnelles

  • Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...)

    0 - Présentation

    Bon bah j'ai raconté le pitch juste avant. On suppose les f_j entiers (bah déjà parce que c'est plus simple). On a directement un premier théorème qui permet de retrouver les amplitudes, ça ressemble à une espèce de formule d'inversion mais je l'ai pas prouvé je commençais à me foirer dans les indices donc j'ai laissé tomber et j'ai pas pu y revenir pendant les 4 heures mais balec. Pour obtenir les fréquences, un truc naïf c'est de prendre N mesures de x (les x(k/N) par exemple) mais on va voir qu'on peut trouver moins cher.

    1 - Cas d'une fréquence

    On a x(t)=A.exp(2i*pi*f*t) : on évalue en k points N1,N2,..,Nk et on obtient un système de congruences modulo les Ni. C'est donc judicieux de les prendre deux à deux premiers entre eux pour les remonter par les restes chinois dans Z/(N1N2..Nk)Z, et c'est encore plus judicieux de les prendre tels que N1N2..Nk > f car comme ça on relève directement f dans Z (même N) qui aura même valeur.
    On suppose qu'on connait une borne M supérieure à f (sinon on peux tester pour un exemple donné et constater que ça stationne, donc légitime de penser qu'on a trouvé f). Je vais me répéter mais du coup on prend les Ni premiers entre eux et tels que leur produit dépasse M (donc f) : la question c'est de savoir combien prendre de Ni (le moins possible ça serait cool). Bon déjà pour pas se faire chier on pourrait prendre pour les Ni les k premiers nombres premiers (comme ça pas besoin de vérifier qu'ils soient premiers entre eux). Et là miracle, qu'est ce que je vois t'y pas, le théorème des nombres premiers ! Oh putain bon c'est pas le coeur du sujet, il est admis mais je cours à la bibliothèque chercher le Tenenbaum pour écrire dans un petit coin les formules de Perron et le terme d'erreur de pi(x) dans le TNP au cas où. Alors sur le coup j'ai une petite érection, je gratte des justifications genre que zeta s'annule pas sur la droite réelle 1, même sur un domaine plus large en sigma>1-c/log(2+|t|), puis l'intégrale sur le petit rectangle qui déborde et les résidus blablabla, en espérant qu'ils m'en demandent un peu.
    Après fallait montrer que sum_{p inférieurs à m, p premier} log(p) équivalent à m : c'est juste une sommation d'Abel et le théorème de sommation des équivalents.
    Avec ça on en déduisait que m=O(log(M)), donc ça coûte moins cher que naïvement où on prenait M mesures.

    2 - Erreurs de mesure

    Quelques résultats pour voir si il y en a, et si oui la détecter pour l'éliminer et reconstruire f. Un exemple sur ordi pour détecter + éliminer.

    3 - Complexité

    Vous savez, moi je ne crois pas qu’il y ait de bonne ou de mauvaise situation. Moi, si je devais résumer ma vie aujourd’hui avec vous, je dirais que c’est d’abord des rencontres. Des gens qui m’ont tendu la main, peut-être à un moment où je ne pouvais pas, où j’étais seul chez moi. Et c’est assez curieux de se dire que les hasards, les rencontres forgent une destinée... Parce que quand on a le goût de la chose, quand on a le goût de la chose bien faite, le beau geste, parfois on ne trouve pas l’interlocuteur en face je dirais, le miroir qui vous aide à avancer. Alors ça n’est pas mon cas, comme je disais là, puisque moi au contraire, j’ai pu : et je dis merci à la vie, je lui dis merci, je chante la vie, je danse la vie... je ne suis qu’amour ! Et finalement, quand beaucoup de gens aujourd’hui me disent « Mais comment fais-tu pour avoir cette humanité ? », et bien je leur réponds très simplement, je leur dis que c’est ce goût de l’amour ce goût donc qui m’a poussé aujourd’hui à entreprendre une construction mécanique, mais demain qui sait ? Peut-être simplement à me mettre au service de la communauté, à faire le don, le don de soi.

    4 - Cas de plusieurs fréquences

    Deux fréquences : bon y'a des cas où on peut pas retrouver f1 et f2 (genre A1=-A2, je sais plus pourquoi) mais surtout contrairement au premier cas on ne sait pas qui est qui modulo les Ni, y'a deux possibilités. Alors là tu te dis "c'est pas grave, y'a qu'à tester toutes les combinaisons !" mais bien sûr et pour se ramasser une question de complexité après ? Que nenni ! Bref, une petite pirouette fait que si tu calcules f1+f2 et f1f2 modulo le produit des Ni, alors tu peux retrouver f1 et f2 : ils sont solutions de X^2-(f1+f2)X+f1f2=0, TADAAA !
    Plus de fréquences : alors y'a une espèce de généralisation avec les fonctions symétriques élémentaires mais quand j'ai vu ça j'ai fui. Y'avait aussi un résultat de bornitude sur je sais plus quoi autour de ces fonctions.

    5 - Fréquences rationnelles

    Pas eu le temps de tripoter la bête, mais ça devait pas être insurmontable, y'avait du Euclide (étendu ? je sais plus)

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Le membre du jury qui avait l'air content à pointé le doigt sur la partie droite du tableau qu'ils m'avaient demandé de laisser, le TNP + dessin zone d'annulation zeta, et là dans ma tête je me dit héhé tu viens d'activer ma carte piège ! Il me demande "c'est quoi ce dessin c'est quoi zeta blabla elle est définie sur C entier ?" Non non mais on peut la prolonger méromorphiquement avec un seul pôle simple en 1 voilà et.. "ok mickey mais c'est quoi le rapport avec les nb premiers ?" Euh bah genre on conjecture que les seuls point d'annulation de zeta sont sur la droite 1/2 et.. "Nan mais je m'en tape arrête de faire le malin ! C'est quoi le lien de zeta avec les premiers petit con ???" Euh ah oui bah y'a la formule du produit eulé... "Okok t'as gagné cette fois mais que je t'y reprenne pas". Après des questions sur la justification de l'équivalent de la somme, à un moment y'a un o(m) que j'avais justifié en mode "boooooh on prend le log !" donc ils ont voulu un peu plus de détails. Après ils sont revenu sur le théorème chinois j'avais mis comme hypothèse premiers entre eux.. "ça veux dire quoi ?" euh, euh.. premiers dans leur ensemble aller ! "vous êtes sûr ? donc là par exemple Z/8Z=Z/2ZxZ/4Z" ah oui non effectivement.. "pourquoi ?" wesh y'a un élément d'ordre 8 dans le premier et pas dans le deuxième tu m'auras pas sur ce coup là.. "et alors les hypothèses ?" premiers deux à deux "putain c'est pas trop tôt mon café commençait à refroidir". Ensuite ils me testent sur le morphisme "crt" chinois inverse, comment reconstruire.. je bégaye et avec une suggestion c'est du Bézout. "Alors on fait pas POM POM POM ? Ptdr t'es vraiment une merde. Bon et comment on les calcule de manière effective ?" Euclide étendu maggle, complexité O(N^2). "Ok revenons au tout début là le premier théorème matriciellement ça donne quoi ?" *j'écris* Ah ok et donc il suffirait d'inverser la matrice et.. "Comment on fait ?" Naïvement la formule avec la transposée de la comatrice mais ça coûte cher on pourrait plutôt.."ça coûte combien ?" bah le déterminant ça serait exponentiel comme ça "et si la matrice est sous une autre forme ?" genre trigonale ? "oui oui" bah le produit des coeff diagonaux ah oui pas cher pas cher "ouais mais avant faut la trigonaliser sans changer le det, vous connaissez une méthode" hmmmm... "ah merde c'est l'heure on a dépassé, j'ai mon fils à aller chercher à l'aquaponey aller casse toi"

  • Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...)

    Les 4h sont passées tranquillou, j'avais 8 pages je savais que c'était un peu trop mais je me suis dit que je sauterais des bouts si il me reste pas trop de temps.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ?

    Vigoureux.. Impartial.. Exigeant ! Sinon totalement muet pendant la présentation (sauf quand je demandais à effacer, ils voulaient que je laissent quelques trucs). Assez aidant pendant les questions (genre "hé trouduc' t'as utilisé la sommation des équivalents juste avant tu crois pas que là ça te serait utile ?"). Assez neutre dans l'ensemble, à part un qui était souriant et qui hochait la tête pour le TNP.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Agréablement surpris, ça remonte le moral après la leçon pourrie de la veille.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    250 : Transformation de Fourier. Applications.

  • Autre leçon :

    208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Fourier-Plancherel

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Beaucoup de questions sur la théorie de la mesure suite à mon développement et de justifications concernant l'appartenance de certaine fonctions à certains espaces.

    On m'a demandé d'énoncé le théorème de Fubini.

    Puis le probabiliste du jury s'est réveillé pour me poser des questions concernant les transformées de Fourier des lois de probabilités, puis il s'est rendormi.

    On m'a aussi demander si je pouvais donner une méthode de calcul pour la transformée de la fonction x--> (1+x^4)^{-1}. J'ai énoncé la méthode des résidus, mais ils ne m'ont pas demandé de faire le calcul par manque de temps.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury a été plutôt sympathique avec moi venant (trop ?) souvent à mon aide.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Surpris d'avoir un spectateur à cet oral, je ne m'y attendais pas. Aussi surpris d'avoir réussi à apprendre un développement en peu de temps et avoir pu le restituer (plus ou moins bien) lors de l'épreuve. (Heureusement que je connaissais mon deuxième développement sur le bout des doigts.)

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Endomorphismes semi-simples

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    (Autre dvlpt: Résolution d'une équa diff ordinaire/ suite récurrente sachant factoriser le polynôme caractéristique. Exemple tiré du livre MP, Dunod j'intègre, Warusfel, Ramis, Ruaud, Moulin...)

    L'échange a commencé par des éclaircissements sur le dvlpt lui même. Bien justifier que la décomposition donné par le lemme des noyau est valable pour un sous-espace stable car les projecteurs sont donnés par des polynômes en l'endomorphisme. Ensuite, ils m'ont interrogé sur la
    - dimension de k[u], donner un majorant;
    - polynôme minimal d'un projecteur p, reconnaître que c'est semi-simple, sous-espaces stables de p
    - décomposition de Dunford d'un matrice 2 x 2, le même que "PAYEUR" ou bien avec un 2 à la place du 0. Diagonalisable puisqu'elle admet 2 valeurs propres, partie nilpotente nulle donc c'est directement sa décomposition de Dunford.
    - indice de nilpotence maximal pour un endomorphisme nilpotent, considérer un élément x dans E\ker(u^(r-1)) et la famille libre (x, u(x), u²(x)...). Appliquer u à différente puissance.
    - G sous groupe de GL_n(C), tq tout élément soit de carré l'identité. G Abélien, c'est donc un groupe de matrices qui diagonalise dans une même base, avec valeurs propres \pm 1. Considérer un isomorphisme de groupe Gl_n =Gl_m et conclure que m=n.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury m'a aidé quand j'en avais besoin et laissé réfléchir lorsque je le décidais. Il est rester assez neutre mais plutôt bienveillant.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    C'était un peu plus cool que ce que j'imaginais, le jury n'a pas pinaillé sur des détails de mon plan ni posé de question piège.

    Les oraux blancs organisé dans ma préparation m'ont donné une idée fidèle du déroulement le jour j.

    En revanche dans les dernières minutes de la préparation, je trouve que les messages des surveillants (pensez à prendre votre fiche ou ranger les livres dans le bac ou aller aux toilettes ou que sais-je) sont franchement gênant, ce sont des moments important de révision des développement.

    On doit rendre nos brouillons (où on est sensé écrire nos dvlpt). Je ne sais pas si cela compte pour l'évaluation.

  • Note obtenue :

    13.25

  • Sujet du texte choisi :

    A41-Théorie de l'évolution simplifiée.

    Mots clefs : Chaines de Markov et mesures invariantes.

  • Sujet de l'autre texte :

    A96- des statistiques, donc je ne l'ai pas pris.

    Mots clefs : Modèle linéaire et estimateurs.

  • Un petit résumé du texte :

    Le texte proposait l'étude d'un modèle d'apparition et de disparition d'espèce via un processus de Markov que l'on comparait dans un premier cas à une marche aléatoire symétrique sur Z, ce qui nous permettait d'extraire des propriétés de notre processus.

    Une fois ces propriétés extraites (elle changeait suivant la valeur d'un paramètre $p\in ]0,1[$ ) on étudiait un cas critiques afin d'étudier l'apparition et la disparition d'espèce avec une viabilité donnée.

  • Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...)

    Durant ma préparation j'ai été amené a produire un plan en deux grandes partie illustré d'un certain nombre de simulation de chaînes de Markov (environs 4 différentes) qui me permettaient d'appuyer mes propos et mes conjectures.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    On m'a posé certaines questions concernant une chaine de Markov s'échappant à l'infini (son comportement asymptotique en particulier) puis on m'a posé un certain nombre de question sur la loi forte des grands nombres que j'appliquais un certain nombre de fois dans mes raisonnement.

    Pour finir, on m'a posé des questions sur la pertinence du modèle étudié. Ma chaine démarrait toujours de 0 et donc la question naturelle était :
    "Comment se comporterait votre chaîne si on la faisait démarré à 10 par exemple ?" La réponse étant que le point de départ n'importait pas puisqu'elle était irréductible.

  • Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...)

    J'aurai clairement pu améliorer ma gestion du temps.
    -1ère partie : 25 min
    -2ème partie : 7 min
    (L'introduction me prenant déjà quelques minutes.)

    Ma locution aussi. Beaucoup de "hmmm..."

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ?

    Le jury était très bienveillant. Certains étaient moins loquaces, mais toujours souriant et sans jamais me rabaisser.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral c'est passé comme imaginé, j'avais eu l'occasion d'en faire un lors de ma préparation au cours de cette année.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    205 : Espaces complets. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    221 : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Dual de Lp

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    (On ne peut pas ajouter un nv dvlpt, celui que j'ai fait c'est pour les suites lq dual de lp, dans le Adam Bowers and Nigel Kalton)

    Pour commencer je n'étais pas prêt sur ce développement. J'ai défini une application de lp vers lq et vice-versa mais je n'ai pas su montrer que c'était bien une isométrie.

    - Ils m'ont ensuite demandé une suite de Cauchy tendant vers racine de 2, itérer $x \longmapsto 1/2(x+2/x)$
    - la construction d'un complété;
    - lp complet et à défaut $l_{\infty}$ complet que j'ai fait avec un peu d'aide;
    - comme j'ai mentionné $W^{k,p}$ dans le plan ils m'ont demandé la définition et montrer que c'était complet, j'ai évoqué avec hésitation l'inégalité de Poincaré et l'idée générale du fermé ds un complet (L^p), mais j'ai fini par sauter la question;
    - inclusion des différents $L^p ( X,\mu)$ les uns dans les autres, ils m'ont laisser ajouter $\mu(X)$ fini;
    - densité de $L_1 \cap L_2 \subseteq L_2$ pour le prolongement de la transformée de Fourier, malheureusement j'ai pas su le faire alors que le matin même j'avais révisé $C_c \subseteq L_1$ et dans le même genre, le prolongement de l'intégrale de Riemann. J'ai tout de suite dit que c'était défini pour les fonctions en escalier puis étendu aux fonctions réglées ou continue, mais j'ai été déstabilisé quand ils m'ont dit que les fonctions en escalier ne sont pas dans les fonctions continues...
    -J'ai eu un dernier exo convergence simple de $f_n$ vers $f$ ainsi que $||f_n||_p \longrightarrow ||f||_p$. Montrer la convergence dans $L_p$. J'ai dit convergence dominée. Pas de réaction, ils m'ont fait commencer par le cas p=2. Je me suis rappelé qu'ils fallait considérer norme de qqch au carré et utiliser le produit scalaire et cela a tout de suite marché. J'ai eu une inégalité à montrer, $|a-b|^p < 2^{p-1}(|a|^p+|b|^p)$. J'ai fait un dessin de $x \mapsto x^p$ convexe et cela leur a suffit, le temps était écoulé.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Comme en en algèbre plutôt bienveillant, sympathique. Ils ont quand même eu l'air surpris quand j'ai dit que je n'étais pas prêt sur mon dvlpt!!!

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Comme en algèbre, un oral blanc dans une prépa agreg donne une idée juste de ce que l'on aura le temps de faire.

    J'ai passé du temps à vérifier certains points de mon plan lors de la préparation, mais finalement le jury ne s'est pas arrêté sur ceux que je redoutais mes sur d'autres.

    Les 15 dernières minutes les surveillant vont rappeler des consignes (mettre telle fiche sur le coté, n'oublier pas votre carte d'identité...) et cela m'a bcp dérangé car je n'étais pas prêt sur mon dvlpt.

    Il faut rendre ses brouillons après l'oral. J'ai bien résumé le thm d'inversion local avec les notations du Gourdon, mais si le jury regarde vraiment ces brouillons, ils verront qu'il n'y a que le tout début du dvlp présenté... pour cause je n'avais pas terminé de le lire!!!

  • Note obtenue :

    10.25

  • Sujet du texte choisi :

    B31 - Equations différentielles

  • Sujet de l'autre texte :

    B33 - Analyse matricielle

  • Un petit résumé du texte :

    On décrit l'évolution du volume d'air dans un poumon étant donné la variation de pression exercée par le corps/les parois sur l'intérieur du poumon.

  • Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...)

    Plan dont on dit qu'il marche à tous les coups: I-Modélisation du problème, II- Etude théorique III- Etude numérique.

    Comme j'ai passé du temps à comprendre les équations et que j'étais relativement l'aise, j'ai justifié de manière assez détaillé l'établissement des équations.
    Dans la partie théorique, j'ai justifié plus ou moins rapidement deux propositions suggérée et j'ai montré une résolution par la méthode d'Euler explicite et une tentative d'Euler implicite.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    J'avais révisé pour l'occasion les notions de consistance, stabilité et convergence sur lesquels ils n'ont pas manqué de m'interroger. Ils m'ont demander pourquoi Euler implicite était meilleur et je n'ai pas su répondre, cependant pour la recherche du zéro d'une fonction j'ai parlé de la méthode de la sécante, de Newton et j'ai même mentionné le thm de Kantorovich qui donne la vitesse de convergence sous conditions. Ils m'ont demander de justifier qu'une certaine fonction avait des zéros d'une manière plus simple (Thm des valeurs intermédiaires, unicité par monotonie stricte), vérifier qu'avec la fonction Arctan, loin du zéro Newton ne marche pas. Et ils m'ont aussi demandé de parler d'autres méthodes de résolution d'équations différentielles, j'ai schématiquement dit que dans Runge-Kutta on écrivait le problème différentiel sous forme intégrale et que cette dernière était approximée.

  • Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...)

    Penser à une conclusion.

    De manière générale j'ai l'habitude de faire des présentation assez improvisées. J'ai eu le temps de faire mes trois parties, avec une partie numérique relativement courte. Cela correspond à ce que j'avais à apporter.

    Lors de la prépa, on m'a reproché de ne pas écrire d'énoncé mathématique du type def, propriété, thm. Dans l'absolu, il faudrait effectivement le faire, mais finalement le fait de dire bcp de choses à l'oral m'a permis d'en dire plus, plus vite.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ?

    Heureusement le jury semblait connaître un minimum le texte, ce qui m'a permis de dire un certain nombre de choses à l'oral. Plutôt sympa.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai très peu utilisé mes notes et j'ai d'ailleurs dit des choses différentes, oublié d'en dire d'autres.

    C'est la seule épreuve où j'ai terminé dans les temps.

    Le jury récupère le brouillon, le mien était assez désordonné sur cette épreuve.

    Notez qu'on a pas le droit de surligner le texte, c'est ce que je fais en générale. Et contrairement à ce que j'avais l'habitude de faire pendant l'année, j'ai choisi assez rapidement ce que j'allais présenter et je n'ai pas vraiment lu la fin du texte.

    Note décevante...

  • Note

    9

  • Leçon choisie :

    207 : Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    263 : Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Formule d'inversion de Fourier dans S(Rd) ou L(Rd)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le développement : 1) Définissez l'espace de Schwarz
    2) Montrez que f dans S(R) implique que la transformée de Fourier est dans L1
    + quelques précisions

    Questions sur le plan : 1) Preuve qu'une série entière a toujours un point singulier sur son disque de convergence
    2) Peut-on prolonger des fonctions sur des espaces non métrique ? (Réponse : oui)
    3) Dessinez la fonction sinus cardinal. Quelle est sa régularité ? Peut-on la prolonger sur C ?
    4) Les identités trigonométriques sont elles prolongeables sur C ?
    5) Lorsqu'on intègre 1/(1-z) on obtient quelle fonction ? (le logarithme) Comment définir le logarithme complexe ?

    Exercice : Soit a dans ]-1,1[, pour i dans N* on pose la suite Ui=(a^(in))
    1) Montrez que ui est dans l2(R)
    2) Montrer que la famille des ui est totale dans l2(R) (Rep : Il faut prendre u dans l'othogonal et poser f(x) = somme(Un*x^n) et puisque f(a^i) = 0 pour tout i, on peut utiliser le principe de prolongement analytique)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Il y avait 3 personnes dans le jury. Aucun des membres n'est resté muet et ils posaient des questions chacun leur tour. Ils étaient très gentils dans l'ensemble et n'hésitaient pas à donner des indications en cas d'hésitation.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Sujet du texte choisi :

    D80 : Codes correcteurs linéaires (algorithmique, complexité, matrices)

  • Sujet de l'autre texte :

    D67 : Séquençage ADN (programmation dynamique, arbres, grammaires)

  • Un petit résumé du texte :

    Le texte traitait des codes correcteurs linéaires pour communiquer sur un canal bruité. L'idée est d'utiliser une matrice G de $M_{k,n}(F_2)$ pour envoyer un message m de $F_2^k$ dans $F_2^n$ en introduisant de la redondance. À partir de là, le texte donnait des propriétés sur ces codes, proposait deux algorithmes pour le décodage (exhaustif, par syndrome), et s'intéressait aux propriétés du code pour G choisie aléatoirement.

  • Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...)

    Code :
    Ce qui était demandé par le sujet, à savoir l'algorithme de décodage par syndrome dans un cas particulier, en python
    Plan :
    I. Codage de Hamming (Exemple plus code)
    II. Cadre théorique (Propriétés des codes correcteurs linéaires)
    III. Code correcteur aléatoire (Probabilité que le taux de bruit admissible soit plus faible qu'un certain seuil)
    Preuve :
    J'ai prouvé quelques propriétés proposées par le texte sur la distance minimale d'un code correcteur, la possibilité d'un décodage unique s'il y a peu d'erreur, et le fait que la probabilité que la distance minimale d'un code aléatoire soit inférieure à un certain seuil tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Le jury a commencé par revenir sur mon code avec des questions sur la complexité de mes algorithmes et la pertinence de mes choix en terme de structure de données (je représentais les mots binaires par des tableaux de 0 et de 1, ils m'ont demandé pourquoi cette représentation, le coût de l'allocation, etc...).
    Ensuite, j'ai eu une série de question sur les aspects théoriques, avec notamment un petit moment pour me faire corriger les tailles des vecteurs et matrices que je multipliais (je les avais écrit dans le mauvais sens) puis sur la complexité de l'inversion d'une matrice par le pivot de Gauss. Ils m'ont aussi posé des questions sur la complexité temporelle et spatiale des autres algorithmes proposés dans le texte, en fonction de la représentation des mots sur $F_2^n$.

  • Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...)

    Pendant la présentation, j'ai eu l'impression de ne pas être très clair dés le début même si ça s'est amélioré ensuite. Il faut garder en tête que le jury ne connaît pas forcément le détail du texte et faire attention à introduire tout ce dont on parle. Au niveau de la gestion du temps, je n'ai pas pu présenter tout ce que je voulais, donc j'aurais sans doute pu aller plus vite sur la première partie qui est conceptuellement simple.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ?

    Jury très sympathique pendant les questions, ils avaient le sourire (ça détend l'atmosphère). Ils ne m'ont pas forcément beaucoup aidé, plutôt encouragé à poser les choses proprement au tableau à certains moments.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral en lui même m'a surpris positivement, l'ambiance était beaucoup plus détendue que ce à quoi je m'attendais. Peut-être même plus que pendant les oraux blancs :) Au niveau de la préparation, j'ai fini de préparer ce que je voulais présenter avec 30mn d'avance (et je n'ai pas eu le temps de tout présenter), j'ai essayer de coder un peu plus que demandé dans le texte, mais je n'ai pas eu le temps d'aboutir à quelque chose d'intéressant.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

  • Autre leçon :

    229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Brauer

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :
  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Sur le développement :
    - Est-ce que deux matrices de permutation conjuguées sur $M_n(C)$ le sont forcément sur $M_n(R)$ ?
    - Pourquoi introduire les polynômes cyclotomiques pour étudier la multiplicité des racines du polynôme caractéristique $\prod_{i=1}^k X^{l_i} -1$ au lieu de simplement considérer chaque racine $n^{ème}$ de l'unité ? (J'ai répondu que décomposer $X^{l_i} -1$ en produit de polynômes cyclotomiques revenait à faire ça).
    - Pourquoi le fait que pour tout d, #{i / d | $l_i$} = #{j / d | $k_j$} implique-t-il que pour tout n, #{i / n = $l_i$} = #{j / n = $k_j$} ?

    Sur le plan:
    - Est-ce que les matrices de transposition sont nécessaires pour engendrer $GL_n(R)$ ? Est-ce qu'elles appartiennent à $SL_n(R)$ (j'avais dit que oui dans mon plan alors que non, j'ai corrigé quand ils m'ont demandé quel était le déterminant de ces matrices). Lien entre ces matrices et les transposition, quel sous-groupe de $GL_n(R)$ engendrent-elles ?

    - Quels sont les morphismes possibles du groupe symétrique dans ($C^*$, *) ? (L'objectif est de montrer qu'on a uniquement le morphisme trivial et la signature, en considérant l'image des transpositions). Je me suis rappelé de la preuve en court de route, donc j'ai pu finir rapidement.

    - Quels sont les inversibles de Z/7Z ? Que peut-on dire du groupe des inversibles (isomorphe à Z/6Z) ? Quels sont ses générateurs ? (on en trouve un à la main, puis on utilise le Frobenius pour les trouver tous). C'était assez facile, donc je suis allé vite et ils ont semblé satisfaits.

    - Retour sur les permutations : on a des familles de transposition à n-1 éléments qui engendrent le groupe symétrique, est-il possible d'en trouver des plus petites ? (Non, on le prouve en montrant qu'une famille F plus petite n'engendre pas toutes les permutations. En effet, si on a une famille plus petite, on peut la décomposer en au moins deux sous-familles non-vides ayant des supports disjoints. Ça se prouve en considérant le graphe dont les sommets sont les éléments de [1,n] et les arêtes (i,j) sont les transposition de F : on a n sommets et n-2 arêtes au maximum, donc forcément deux composantes connexes au moins.) Celui qui m'avait posé la question m'a un peu guidé, mais dans l'ensemble je m'en suis sorti seul. Question bonus : existe-t-il d'autre familles génératrices, avec moins d'éléments ? (Oui, une transposition et un n-cycle)

    - Sur le groupe des bijections de C dans C, on considère la conjugaison complexe et la multiplication par $e^{2i\pi / n}$, quels groupe engendrent-elles ? (Le groupe diédral)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Ils me laissaient développer mes idées, tout en me guidant quand je prenais une mauvaise direction. Dans l'ensemble, leurs indications m'ont souvent permis de rebondir et d'avancer, donc il n'y a pas trop eu de blanc.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Des questions faciles par rapport à ce à quoi je m'attendais, j'aurais peut-être du mettre plus de choses dans mon plan.
    (I. Généralités sur les générateurs, II. Groupes monogènes (Z et Z/nZ), III. Groupes symétriques et diédraux, IV. Groupe linéaire)

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    914 : Décidabilité et indécidabilité. Exemples.

  • Autre leçon :

    903 : Exemples d’algorithmes de tri. Correction et complexité.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Rice

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :
  • Liste des références utilisées pour le plan :
  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Question sur le développement :
    - J'avais commencé par montrer l'indécidabilité du problème de l'acceptation en l'appelant problème de l'arrêt. Un jury m'a demandé si c'était vraiment ça le problème de l'arrêt, j'ai répondu que non, et il m'a demandé le lien entre problème de l'arrêt et problème de l'acceptation (ils sont équivalents). Ils m'ont demandé de prouver que tout langage reconnaissable se réduit au problème de l'acceptation et m'ont fait remarqué que le résultat que je prouvais montre en fait la complétude du problème de l'acceptation pour la reconnaissabilité.

    Question sur le plan :
    - J'avais mis une remarque sur l'impossibilité pour un compilateur de déterminer si un while termine en règle générale, ils m'ont demandé le rapport exact avec les problèmes décrits.
    - Le théorème de Rice est-il un résultat sur les machines de turing ou sur les langages ? Exemple d'applications ? (Langage du vide)

    Autres :
    - Langages de polynomes : le langage des polynomes à une variable à coefficients entiers admettant une racine entière est-il reconnaissable (oui), décidable (oui, j'ai mit longtemps à montrer qu'on peut borner l'espace sur lequel chercher les racines en fonction des coefficients). Que ce passe-t-il si on prend deux variables ? (C'est toujours reconnaissable, mais plus décidable).
    - Langages récursivement énumérable et reconnaissable est-ce la même chose ? Pourquoi ? Y-a-t il des langages non reconnaissables ? (oui, le complémentaire du langage de l'acceptation) ? Des langages non reconnaissable et non co-reconnaissables ? (Oui, par dénombrabilité, mais un exhiber un est compliqué) ? Un langage récursivement énumérable par ordre lexicographique est-il décidable, et réciproquement (oui, dans les deux sens).
    - existence de fonction non-calculable : est-ce qu'on a besoin d'exhiber le castor affairé ? (Non, par un argument de dénombrabilité) Exemple de fonction totale calculable non récursive primitive ? (Ackerman) Y-a-t il des fonctions récursives dont le graphe n'est pas décidable ? (Les fonctions partielles) Si on considère la réciproque du castor affairé, qu'est-ce qu'on calcule ? (Je n'ai pas su répondre, en fait c'est la compression optimale, i.e. la complexité de Komogorov, dont on prouve ainsi qu'elle n'est pas calculable).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury souriant, mais fatigué. Ils m'ont aidé quand c'était nécessaire, mais ils ont surtout cherché à m'empêcher de partir dans des impasses. Par contre quand je rebondissais sur les questions pour chercher à aller plus loin ils me laissaient chercher un peu.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    209 : Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    250 : Transformation de Fourier. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Fejer

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Juste après mon développement, j'ai eu droit aux questions suivantes :

    -Pourquoi t --> ||tau_{t}f - f|| est continue ? Réponse : par densité de C_2pi dans L1_2pi
    -Que pouvez-vous dire de deux fonctions qui ont les mêmes coefficients de Fourier ? Réponse : Elles sont égales presque partout par injectivité du Fourier
    -Montrez l'injectivité du Fourier. Réponse : On utilise Féjer.

    Ensuite un exercice : Soit f dans C2pi, on considère I= { f convolée avec g, g dans C2pi}. Montrez que I est dense dans C2pi.
    Réponse : Il faut utiliser les coefficients de Fourier, et on trouve qu'une condition pour que ce soit dense c'est que les coefficients de Fourier de f ne soit jamais nuls.
    Ils m'ont demandé un exemple de fonction dont les coefficients ne sont jamais nuls mais je n'ai pas trouvé.

    Ensuite un autre exercice: On prend la somme de n=1...N de f(x+n\alpha). Avec \alpha irrationnel et f dans C2pi. Montrez que ca converge vers l'intégrale de f quand N tend vers l'infini. Il faut prendre une suite de polynômes trigonométriques qui converge uniformément vers f et montrer l'hypothèse avec un polynome trigo. Ensuite, il faut passer à la limite.

    Et ça c'est terminé sur ça.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Très désagréable, cassant et agressifs. Il y avait deux monsieurs qui me posaient des questions sans arrêt et ne me laissaient jamais réfléchir et une femme muette

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    14

  • Leçon choisie :

    150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

  • Autre leçon :

    181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Topologie des classes de similitude

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Au départ quelques questions pour préciser mon développement; il y avait deux notions de continuité avec le polynôme caractéristique et le polynôme minimal, ils voulaient que je précise à nouveau alors que je l'avais dit oralement. De même une précision sur le fait qu'au tableau j'avais écrit que les deux matrices avaient les mêmes valeurs propres et je n'avais pas noté "avec même multiplicité" mais je l'avais dit oralement.
    Des précisions sur la matrice de passage qui est diagonale dans le cas du développement.

    Ensuite, des questions en rapport avec le développement. Je ne me rappelle plus de tout mais on m'a demandé si c'était possible de créer une norme qui vérifiait N(A) = N(Ap) pour toutes suites de matrices Ap semblable à A. La réponse était non en utilisant la deuxième partie du développement on arrivait au fait que la norme de toute matrice nilpotente est nulle ce qui est bien évidemment impossible (j'ai eu un bug sur la fin).

    On m'a demandé: Est ce qu'on a la même continuité qu'avec le polynôme caractéristique avec le polynôme minimal? Je n'avais pas tout de suite bien compris la question. On a alors précisé la question: si j'ai une suite Ap semblable à A, alors est ce que le polynôme minimal de A va être le même que celui de la limite de Ap. J'ai dit que ça semblait faux puis j'ai trouvé un contre exemple.

    Après on m'a donné comme exercice: Soit A,B deux matrices, est ce que AB et BA sont semblables?
    C'est assez facile de voir que c'est vrai si elles sont inversibles.
    Ensuite si on suppose que AB est nulle est ce que c'est tout le temps vrai?
    On regarde les valeurs propres donc si on trouve BA non nulle avec AB nulle c'est faux. Un contre exemple en dimension 2 n'est pas trop dur à trouver. Pour m'aider on a essayé de m'indiquer le fait que l'image de B est incluse dans le noyau de A mais j'avais pas de suite compris et j'ai un peu galéré du coup.
    (j'ai aussi dit une grossière erreur en voulant aller vite, j'ai dit que si AB=0 alors A=0 ou B=0 et donc BA=0 mais je me suis repris assez vite)

    Après on m'a parlé un peu de mon plan. J'avais mis la relation par congruence, ils voulaient savoir ce que ça donnait quand on se restreint au groupe orthogonal. Il fallait parler du théorème spectral.
    Ensuite on me demande combien de matrices diagonales il y a dans l'orbite. J'ai instinctivement répondu une seule en disant que les valeurs propres restaient les mêmes dans l'orbite avant de me reprendre en précisant qu'il n'y avait qu'une seule matrice diagonale à permutations près des éléments de la diagonale.

    Enfin on revient encore sur mon plan, j'avais écrit que deux matrices semblables sur C le sont aussi sur R. C'est vrai mais je n'avais pas préciser que les matrices étaient réelles (ça paraissait obvious). Du coup ils m'ont demandé de l'écrire avant les quantificateurs et je me suis loupés en écrivant que les matrices étaient dans C... Donc après on me donne un contre exemple (en plus je fais une erreur de calcul dans le polynôme caractéristique...), et là je capte enfin où est l'erreur!
    Puis on me demande une idée de la démonstration (je connaissais mais j'ai buggé à nouveau et j'ai pas réussi à conclure juste à l'oral).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était assez neutre. Il y avait deux hommes et une femme. Seul la femme souriait un peu quand je répondais correctement, c'est elle qui me posait le plus de questions. Un des homme ne m'a posé qu'une seule question mais voulait impérativement que je fasse le développement des classes de similitudes. Le dernier était très neutre, mais me donnait beaucoup de pistes pour m'aider.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Le début de la préparation est déroutant, c'était ma première épreuve et je n'avais pas de suite réalisé que ça avait réellement commencé. J'ai été aussi surpris du fait que l'on se balade librement dans le couloir pour chercher ses livres.
    Enfin j'étais surpris du fait que l'on ne me pose aucune question ni sur le théorème de Lie-Kolchin, ni sur le lemme de Morse qui figuraient tous deux dans mon plan.

  • Note obtenue :

    13

  • Leçon choisie :

    155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

  • Autre leçon :

    104 : Groupes finis. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    6 minutes: Je n'avais pas eu le temps de les préparer donc elles n'étaient pas terribles, je pense avoir dit des choses intéressantes mais pas au bon moment.

    Développement: Je le connaissais bien je l'ai fait dans les temps et je pense l'avoir fait proprement. Je me suis juste trompée dans l'injectivité j'ai pas pris le bon polynôme interpolateur mais ils ne m'en ont pas voulu.

    Questions développement:
    Jury: Quelle norme vous utilisez?
    Moi: La norme 2 c'est à dire la norme subordonnée à la norme euclidienne qui est égale à la racine du rayon rayon spectral de ...
    J: Vous avez une idée de comment ça se démontre?
    M: Décomposition polaire
    J: Pour la surjectivité où est ce que l'on se sert de l’hypothèse de défini positivité?
    M: Pour définir le logarithme des valeurs propres.

    Questions Plan:
    J: Est ce que que vous avez un critère de diagonalisation sur F_p?
    La réponse était une matrice A à coeff dans F_p est dzable ssi A^p=A. Je ne l'ai pas trouvé mais j'ai su le démontrer.

    J: Dans mon plan vous avez défini la semi-simplicité par la diagonalisation dans une extension dans K (c'est juste mais c'est pas la définition usuelle), est ce que vous avez une autre caractérisation de la semi simplicité avec les polynômes?
    M (avec de l'aide): A est semi simple ssi son polynôme minimal est sans facteur carrés.
    J: Montrez le.
    Là j'ai pas mal galérer, il fallait passer par une caractérisation avec des sous espaces stables, mais avec beaucoup d'aide j'ai fini par m'en sortir.
    J: Vous avez mis dans votre plan que Dn(C) est dense dans Mn(C), est ce que Dn(R) est dense dans Mn(R)?
    M: Je sais qu'on utilise le fait que C soit algébriquement clos dans la preuve...
    J: Oui donc la preuve sur C ne marche pas sur R. Trouvons un ct-ex en dimension 2.
    J'ai ressorti une matrice que j'avais mise dans mon plan qui avais pour valeurs propres +/-i, j'ai calculé le polynôme caractéristique car ils n'avaient pas l'air convaincus.
    J: Ok et pourquoi on ne peut pas approcher cette matrice par une suite de D_n(R)?
    M (avec de l'aide): Si A_k est une suite de matrices de D_n(R) alors pour tout k le polynôme caractéristique de A_k est à racines réelles or l'application qui a une matrice associe son polynôme caractéristique est continue
    J: Et qu'est ce que vous utilisez pour savoir si un polynôme de degré 2 a des racines réelles ?
    M: Ah oui! Le discriminant qui lui aussi est continue donc la limite d'une suite de matrice de D_n(R) ne peut pas être ...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Plutôt sympathique, ils savaient quand aider et quand laisser réfléchir.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai eu un très bon tirage, cette leçon était l'une des leçons que je connaissais le mieux! Et je maitrisais les 2 développements. Malgré ça écrire le plan et réviser les 2 développements m'ont pris les 3h de la préparation, je n'ai donc ni eu le temps de réviser les preuves ni de préparer les 6 minutes. L'en-tête de la première page du plan prends de la place on ne peut donc pas écrire autant que ce que je pensais. Sinon pas de surprises.

  • Note obtenue :

    13

  • Leçon choisie :

    154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    182 : Applications des nombres complexes à la géométrie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    À la fin du développement beaucoup de question sur celui-ci, le jury semblait ne pas comprendre certains points. Ensuite on m'a demandé de déterminer les sous-espaces stables par l'endomorphisme représenté dans la base canonique de $K^4$ par la matrice
    \[\left(
    \begin{array}{cccc}
    1 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 2 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 2
    \end{array}
    \right).\]
    Ensuite un exercice en rapport avec le développement : on pose $F_x=\ker (\pi_{f,x}(f))$, montrer que $E=\cup_{x\in E} F_x$, que peut-on dire de $\pi_{f,x}$ et $\pi_f$ ? ($\pi_{f,x}\mid \pi_f$), que dire des diviseurs de $\pi_f$ : il y en a un nombre fini à coefficient multiplicatif près. Quelle condition est suffisante pour que $\pi_{f,x}= \pi_f$ ?

    Enfin sur le plan : preuve du critère de diagonalisation sur les corps finis, préciser l'énoncé de la décomposition de Dunford de l'exponentielle de $f$ ($k=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, il faut que $f$ admette une décomposition de Dunford), puis de montrer l'équivalence $f$ diagonalisable ssi $exp(f)$ l'est. En toute fin on m'a demandé la preuve du théorème de Maschke, et pourquoi quand on moyennise le produit scalaire cela reste un produit scalaire.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était plutôt neutre, l'un avait l'air agacé parfois.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai été surpris des questions sur mon développement qui était classique et pas compliqué.

  • Note obtenue :

    17.25

  • Leçon choisie :

    263 : Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Convergence vers la loi de Gumbel

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    6 minutes: Cette fois je les avais préparées donc je pense avoir fait un truc correct, j'ai un peu débordé mais ils ne m'ont rien dit.

    Développement: C'est un développement que j'avais appris en fin d'année donc je n'avais pas suffisamment de recul. Je n'ai pas eu le temps de le finir mais j'ai su donné les points clef à l'oral. On m'a demandé de repréciser certains points que j'avais pas bien expliqué (notamment le passage de liminf d'une suite d’évènements à la liminf d'une suite numérique).

    Questions:
    Jury: Quelle propriété de la loi exponentielle connaissez vous ?
    M: Elle est sans mémoire.
    J:Montrez le.
    J'ai fait les calculs
    J: Est ce qu'il y a d'autre va à densité sans mémoire?
    M: Non c'est la seule.
    J: Montrez le.
    J'ai posé une va X de densité f en posant g=1-F (où F est la fct de répartition) j'ai trouvé que g(x+y)=g(x)g(y) mais je savais pas quoi faire de ça donc on est passé à autre chose.
    J: Quelle est la loi de la somme de 2 exp indépendantes?
    M: Je dirais une loi exp de paramètre lambda1+lambda2. J'ai fait les calculs et c'était pas ça.
    J: Calculez la loi de exp(X) où X suit une exponentielle de paramètre lambda.
    J'ai fait les calculs (théorème de transfert et changement de variable)
    J: Calculez la loi de X - partie entière inférieure de X où X suit une exponentielle de paramètre lambda.
    Toujours des calculs avec le thm de transfert et quelques astuces.
    J: Si X est une va à densité alors P(X=x)=0 pour tout x dans R, mais de manière générale si X est va quelconque dont la fct de répartition admet un saut en x, que peut on dire de P(X=x)?
    M: C'est la hauteur du saut.
    J: Est qu'est ce qu'on peut dire du nbre de points comme ça?
    M: Au plus dénombrable.
    J: Pourquoi?
    M:Sinon la somme des probas divergerait.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Très sympathique, ils savaient exactement quand laisser réfléchir et quand donner un indice.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Les 3h sont encore passées très vite, heureusement j'avais un bon tirage avec une leçon que j'aimais bien. Sinon pas de surprises.

  • Note obtenue :

    13

  • Leçon choisie :

    207 : Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Densité des polynômes orthogonaux

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    D'abord des question sur le développement : dessiner le domaine de prolongement de la fonction considérée, j'avais fait une erreur il fallait considérer une bande et non un demi plan, j'ai pu la corriger. Puis comment on montre l'injectivité de la transformée de Fourier, et trouver une constante $a$ qui convient pour appliquer le théorème pour plusieurs fonctions poids.

    Sur le plan, on m'a demandé de montrer le théorème de la limite de la dérivée, avec indications. Ensuite justifier la présence de la proposition qui dit que l'opérateur de translation $x \mapsto \tau_x f$ est uniformément continu pour $f$ dans $L^p$, la réponse n'a pas eu l'air de convaincre. Ensuite j'avais marqué "il n'existe pas de solution globales à l'équation $y'=y^2$", ils m'ont demandé de corriger : "il existe des solutions qui ne sont pas globales" : les donner.

    Dans le même thème on considère $y'=y(1-y)$ avec donnée initiale dans $]0,1[$, que peut-on en dire ? Déjà il existe une unique solution maximale. Ensuite je l'ai résolue avec la méthode des équations autonomes. Ils m'ont demandé de retrouver le fait que la solution est globale et tend vers 1 en l'infini sans résoudre : appliquer le théorème de sortie de tout compact, la dérivée est positive donc la fonction est croissante..

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury assez neutre, l'un avait souvent l'air peu convaincu de mes réponses.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    16

  • Leçon choisie :

    107 : Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel. Exemples.

  • Autre leçon :

    171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Sous-groupes distingués et tables de caractères

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Aucune question sur le plan ou le développement. On m'a par contre demandé de mettre en application le théorème pour déterminer les sous-groupe distingués de S4. Puis le jury est parti assez loin dans les questions, on a dérivé sur les transvections...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Un des jurés a presque monopolisé la parole en posant quasiment toutes les questions (la seule femme du jury n'en a posé aucune). Le jury m'alimentait en permanence de questions, de sorte que je ne reste pas sans rien faire au tableau même quand je ne trouvais pas les réponses. L'expérience était vraiment positive, même si la note n'était pas très bonne à l'arrivée.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Un peu surpris qu'il n'y ait pas de questions sur le plan ou le développement. J'avais à disposition un tableau blanc (velleda).

  • Note obtenue :

    8

  • Leçon choisie :

    214 : Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

  • Autre leçon :

    236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de D'Alembert-Gauss par connexité

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quelques petites questions sur le développement (on m'a demandé des précisions sur certains points). Ensuite, un juré a repris point par point chaque application du théorème des fonctions implicites se trouvant dans mon plan (que j'avais honteusement pompé du Madère), j'ai eu beaucoup de mal à répondre...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le juré qui a repris mes applications avait un ton légèrement cassant et ne m'aidait pas beaucoup lorsque je bloquais... Les deux autres étaient visiblement intéressés par ce que j'avais à raconter et m'ont posé beaucoup de questions et ne me laissaient pas sans rien faire au tableau. Globalement, l'expérience était positive.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'avais à disposition un tableau blanc (velleda). Sinon, rien à signaler.

  • Note obtenue :

    9

  • Leçon choisie :

    205 : Espaces complets. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    214 : Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Baire et applications

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Beaucoup de questions sur le plan, notamment des demandes de précisions et de démonstration de résultats simples :

    Question : Est-ce que R[X] est complet ? L'idée est de montrer que les Rn[x] sont tous des fermés et d'utiliser la contraposée de Baire
    Question : Pour la caractéristisation des complets par les fermés emboîtés, l'hypothèse du diamètre tendant vers 0 est-elle nécessaire ?
    Question : Autour des théorèmes de point fixe, analyse des cas particuliers avec exemples
    Question : Inclusion des Lp dans le cas d'une mesure finie.
    Question : Est-ce que L2(Rn) inclus dans L1(Rn) ?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury s'est révélé être plutôt sympathique, bienveillant tout au long de l'oral même si mes performances étaient plus que moyennes. L'objectif du jury est essentiellement de vérifier que notre plan a été réfléchi et non seulement recopié.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Durée de préparation inférieure aux trois heures annoncée (environ 2h50). beaucoup de bruits dans les couloir et salle de préparation très remplie.

  • Note obtenue :

    10

  • Leçon choisie :

    208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

  • Autre leçon :

    230 : Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Espace de Bergman du disque unité

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    - Beaucoup de questions sur le développement (rappel de la formule de Cauchy, développer l'argument de convergence uniforme sur tout compact...)

    - Le résultat reste-t-il vrai pour d'autres ouverts que le disque ?

    - Comment calculer la norme de f à l'aide de son développement en série entière ? (utiliser Parseval et les calculs du développement)

    - Comment montrer l'implication de ( si (f | en) = 0 pour tout n alors f = 0) vers ( (en) est une suite totale). Il faut utiliser une conséquence du théorème de projection de Riesz.

    -Rappel de la définition d'une fonction holomorphe, lien avec la différentielle, interprétation géométrique ? Il voulait que je parle de similitude et des équations de Cauchy-Riemann, il a dû beaucoup me pousser pour avancer.

    - Un exercice sur des normes. On se place sur l'espace des polynômes, et l'on considère les normes : sup(coeff de P), sup(P) sur [0,1], et intégrale de P^2 sur [0,1]. Rappeler rapidement pourquoi ce sont des normes. L'application P -> P(0) est elle continue pour ces normes ? C'est clair pour les 2 premières, faux pour la dernière (il faut bidouiller une suite de polynômes, je n'ai pas eu le temps de finir).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Très bienveillant, ils me guidaient toujours en cas de blocage.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je m'attendais à plus de questions sur le plan ou des exercices, finalement plus de questions autour du développement.

  • Note obtenue :

    14.75

  • Sujet du texte choisi :

    Algorithmes permettant de déterminer le nombre d'isomères de n-alcoos. Arithmétique des polynômes, équations différentielles.

  • Sujet de l'autre texte :

    Un sujet de crypto basique avec du résultant.

  • Un petit résumé du texte :

    On présente dans un premier temps des notions de chimie organique liée à la représentation d'alcools. On s'intéresse ensuite à la détermination du nombre d'isomères pour les différentes valeurs de n avant de généraliser le problème à celui des arbres 1,2,3,4.

  • Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...)

    L'essentiel du travail informatique a été réalisé sous xcas. J'ai produit divers programme liés à des problématiques explicités dans le texte.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Echange très riche qui ressemblait plus à une discussion. Beaucoup de questions afin de préciser quelques erreurs dans mes démonstrations puis beaucoup de questions de complexité de mes algorithmes (une chance dans mon cas, il faut y être préparé). Dans un dernier temps, nous avons discutés de prolongements aux cas d'autres arbres particuliers tels que les arbres binaires par exemple.

  • Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...)

    La structure du plan probablement afin de mieux mettre en jeu les articulations entre les différentes parties. Egalement approfondir davantage la partie compliquée du document que j'ai simplement survolée et qui m'a probablement coûtée quelques points.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ?

    Jury très bienveillant, sympathique et attentif (bravo !) durant l'intégralité de ma présentation.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    35 minutes c'est long, je n'avais rien préparé par rapport au temps, il faut donc être capable d'allonger ou raccourcir son discours pour s'adapter au cours de la présentation.

  • Note obtenue :

    15

  • Leçon choisie :

    120 : Anneaux $Z/nZ$. Applications.

  • Autre leçon :

    152 : Déterminant. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Dirichlet faible

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Beaucoup de questions sur le plan. Le niveau des questions était assez bas à mon sens, mais il fallait être capable d'y répondre rapidement et sans erreur.

    Question : Calculer le 6-ème polynôme cyclothymique.
    Question : Questions sur l'indicatrice d'Euler, lien avec le théorème chinois
    Question : Théorème de Wilson, démonstration
    Question : Démonstration de RSA
    Question : Autre application du théorème chinois ? Equations diophantiennes. Exemple ?
    Question : Nombre d'automorphismes de Z/nZ ?

    ...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très sympathique qui ne m'a pas tenu rigueur d'avoir posé la division euclidienne de X^8-1 par X^4+1.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Aucune surprise particulière, si ce n'est la préparation qui se fait dans un milieu assez bruyant et dense.

  • Note obtenue :

    13

  • Leçon choisie :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    La défense de plan, ainsi que la présentation du développement se sont bien passés. Mais j'ai fait une erreur dans la présentation qu'ils m'ont fait corriger après et cela a bien duré 5 bonnes minutes. J'enchainais petites erreurs sur petites erreurs. La partie Questions commençait mal. J'ai pu me rattraper par la suite avec les autres questions et exercices. Voici ceux dont je me rappelle :
    -Donner la signature de la forme quadratique $A \rightarrow Tr(A^2)$ ( Résultat qui était dans mon plan et que j'ai signalé. On est donc passés à un autre exercice.)
    -Soit q une forme quadratique sur E un K-ev et u un vecteur de E. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que u puisse être compléter en une base orthogonale pour q. ( Ils m'ont laissé le temps de la réflexion au tableau, ce qui m'a permis de proposer des pistes et finalement résoudre l'exercice sans aide)
    -Il s'agissait dans cet autre exercice de montrer qu'un espace quadratique se décompose comme somme d'espaces hyperboliques et d'un espace sans vecteur isotrope. Ils m'ont dit de raisonner par récurrence, ce qui m'a permis de faire l'exercice.
    Des questions sur le plan étaient posées entre les exercices, notamment "Comment définissez-vous le discriminant d'une forme quadratique dégénérée ? " (La définition était pourtant dans le plan) ou encore des questions sur les carrés dans Fp.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était plutôt sec voire agacé lorsque je faisais mes petites erreurs après la présentation de mon développement. Ils étaient nettement plus sympas lors de la partie exercices et le plus agacé des trois a même fini par sourire ! L'un des trois jurys ne parlait pas du tout et se contentait d'écrire des trucs.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Aucune surprise durant l'oral.

  • Note obtenue :

    18

  • Leçon choisie :

    215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    224 : Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Extrema liés

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    La défense du plan et la présentation du développement se sont passés sans problème. Ils m'ont posé quelques questions sur le développement et sur les sous-variétés de $\mathbb{R}^n $ (Je présentais les Extrema liés sans mentionné les sous-variétés).Ils m'ont posé quelques questions sur mon plan et se sont plus particulièrement concentrés sur la partie Optimisation. je me souviens de deux questions : "Pourquoi une fonction convexe qui admet un minimum local admet un minimum global", "pourquoi $ x \longmapsto Ax \cdot x $ est convexe lorsque A est une matrice symétrique positive". Ces petites questions venaient principalement d'un des trois membres du jury. Il m'a également demandé un contre-exemple au théorème des extrema liés dans la cas où les gradients ne forment pas une famille libre. Je lui ai fait remarqué que j'en avais mis un dans le plan et il m'a demandé de le traiter. Un des deux autres membres du jury me posait des exercices tels que :
    - A quelle condition sur une matrice M, on peut inverser localement l'application $A \longmapsto A^2$ dans Mn(R) ?
    -Appliquer le théorème des extrema liés sur une fonction qui admet un extremum local sur la sphère euclidienne.
    -Soient f et g deux applications de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}^n$ à valeurs réelles. Il y avait des conditions sur f et g et il fallait montrer que f/g se prolonge en une fonction $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}^n$.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était très sympathique et a cherché à me mettre en confiance dès que je suis entré dans la salle.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Aucune surprise.

  • Note obtenue :

    18

  • Sujet du texte choisi :

    Débruitage d'un signal et optimisation.

  • Sujet de l'autre texte :

    Une équation aux dérivées partielles et de l'optimisation.

  • Un petit résumé du texte :

    Il s'agissait d'éliminer le bruit d'un signal capté dans le but de trouver le signal d'origine. Pour cela, on se ramenait à un problème d'optimisation dans $\mathbb{R}^n$ ( Le signal était une fonction connue en $n$ points). Le texte s'articulait ainsi :
    -Présentation du problème d'optimisation
    -Cas particulier d'un signal avec bruit pour lequel on montre que la solution du problème d'optimisation est le signal attendu
    -On se ramène à un problème d'optimisation régularisé
    -on montre que la solution du problème régularisé approche la solution du problème d'origine
    -Présentation de la méthode de gradient à pas fixe

  • Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...)

    Voici le plan que j'ai présenté:
    I- Débruitage d'un signal
    1. Le problème du bruit ( Dans cette partie, je faisais la modélisation et je présentais une simulation numérique pour expliquer quel était le but de l'exposé)
    2. Un problème d'optimisation ( Je présentais le problème d'optimisation et je montre l'existence et l'unicité de la solution du problème)
    II- Problème régularisé
    1. Régularisation du problème (Je présentais le problème régularisé et je montrais l'existence et l'unicité)
    2. La méthode de gradient à pas fixe (Ici, je présentais la méthode de gradient et je montrais sa convergence. Je finissais la partie sur la présentation de simulation numérique pour illustrer la méthode et je montrais numériquement que la méthode est d'ordre 1)
    III- Approximation ( Dans cette dernière partie, je montrais que le problème régularisé approche le problème d'origine et j'illustrais ce fait par des simulations numériques)

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Le jury a commencé à me questionner sur l'équivalent continu du problème d'optimisation. Ils m'ont alors testé sur les espaces de Sobolev et le théorème de Lax Milgram. Ils m'ont ensuite testé sur mes connaissances du programme :
    Question : Connaissez-vous d'autres méthodes pour approcher la solution d'un problème d'optimisation ?
    Réponse : Méthode de gradient à pas optimal
    Question : Pouvez-vous montrez que les directions de descente sont orthogonales
    Je montre ce résultat.
    Ils m'ont ensuite emmené sur le terrain des équations différentielles et m'ont demandé d'interpréter la méthode de gradient à pas fixe comme un schéma numérique. Je leur ai répondu qu'il s'agissait du schéma d'Euler explicite. Ils m'ont demandé d'écrire le schéma d'Euler implicite et m'ont fait démontrer des propriétés propres à l'équation considérée.

  • Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...)

    Alors qu'il me restait 2 minutes, j'ai décidé d'improviser une conclusion car je n'avais pas pris le temps d'y réfléchir. Je pense que ça aurait été mieux si j'avais pris 5 ou 10 minutes pour réfléchir à une bonne conclusion.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ?

    Le jury m'a tout de suite mis en confiance et a été très agréable tout au long de l'oral. Celui-ci ressemblait plus à une discussion et je m'y sentais presque bien (C'est quand même un oral). J'ai senti qu'à chaque question, il cherchait à aller jusqu'au bout pour tester mes limites et tirer le meilleur de moi.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    il n'y a pas eu de surprise mis à part le tableau sur lequel il était très difficile d'écrire. La craie adhérait trop bien

  • Note

    20

  • Leçon choisie :

    190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

  • Autre leçon :

    154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Nombres de Bell

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):
  • Liste des références utilisées pour le plan :
  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    — Dans le développement, il apparaît un produit de Cauchy, alors le jury m'a un peu questionné dessus, car c'est un point sur lequel je suis passé rapidement. Ensuite, il s'est passé un truc étrange, toujours en rapport avec le développement : une partie du développement fait appel à une récurrence. Après le dév, un membre du jury me dit qu'il sait qu'il existe une preuve purement combinatoire, mais qu'il ne la connaît pas ; alors il m'a demandé si je la connaissais, mais non, donc ils sont passés à autre chose.
    — Après ça, ils m'ont donné en exercice le problème des chapeaux : n personnes ont un chapeau, qu'elles retirent en arrivant dans une salle et en partant, elles reprennent un chapeau au hasard. La question était de savoir quelle est la proba que personne ne reparte avec son chapeau, en faisant appel à des séries génératrices. J'ai transformé la question en un problème de permutation sans points fixes, et le jury m'a guidé pour les calculs, puis lorsque je suis presque arrivé au bout, ils sont passés à autre chose.
    — Ensuite, on est passé aux corps finis, mais mes souvenirs sont un peu flous. Si je me souviens bien, ils m'ont demandé de compter les sous-espaces de dimension k\le n dans F_p^n. J'ai introduit une action de groupe et bêtement, je me suis foiré sur le nombre de matrices de taille donnée à coefficients dans F_p.

    Après ça, c'était terminé.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Ils ont eu l'air contents que je choisisse la leçon 190. Ils ont été accueillants et courtois, mais peut-être un peu froids. L'un des membres du jury a passé tout l'oral à faire des blagues…

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    RAS

  • Note obtenue :

    10

  • Leçon choisie :

    243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    Pas de réponse fournie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Hardy

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    — Un membre du jury m'a posé une question sur développement, relative à un théorème d'interversion limite simple/série, il y avait des histoires de convergences uniformes.
    — Ensuite, ils sont passés aux questions. On a parlé de rayon de convergence de la somme de deux séries entières, et ils m'ont fait examiner la valeur de la somme de deux séries sur la couronne où l'une converge mais pas l'autre.
    — Enfin, on a travaillé sur une série particulière : j'ai calculé le rayon de convergence puis la somme de la série en certain point du cercle limite.

    Le couplage que j'ai pioché était loin d'être très favorable pour moi, donc j'ai utilisé principalement le Gourdon pour mon plan, et ça a abouti à un plan modeste, et donc des questions de niveau modeste également.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Très apaisant et bienveillant, même si j'ai été très laborieux à de nombreuses reprises. Ils sont peu intervenus dans mes phases de recherche, mais m'ont pas mal guidé lorsque je faisais des calculs — et ils m'ont un peu moqué quand j'ai dit que le sin(0) = 1…

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    RAS

  • Note obtenue :

    7.25

  • Sujet du texte choisi :

    Équations différentielles ordinaires, schéma d'Euler explicite

  • Sujet de l'autre texte :

    Je ne sais plus…

  • Un petit résumé du texte :

    Un joueur veut faire tenir un balai en équilibre sur son doigt, et il s'autorise pour cela des mouvements suivant une droite horizontale, modélisés par une fonction u dépendant du temps. Une étude montre que le mouvement angulaire du balai obéit à une équation différentielle du type y' = sin(y)*u. La question est donc de trouver une fonction u qui permette d'emmener le balai à la position verticale avec vitesse nulle, pour atteindre l'équilibre.
    L'originalité du texte est que l'on veut à la fois résoudre l'équation différentielle et trouver des fonctions y convenables, puis de résoudre les EDo obtenues pour certaines fonctions y particulières. Il y avait une assez grosse partie d'algèbre linéaire, mais je ne l'ai pas examinée.

  • Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...)

    — J'ai programmé deux schémas d'Euler explicite pour reproduire des courbes du texte.
    — J'ai fait la mise en équation du texte et expliqué la spécificité de l'équation obtenue puisque la fonction u intervient comme un paramètre. Je n'ai donc pas appliqué Cauchy-Lipschitz, n'ayant pas une équation de la forme y' = F(t, y), mais plutôt du type y' = f(t, y, u). La subtilité est que u ne dépend que du temps (ce qui fait que Cauchy-Lipschitz s'applique en fait), point sur lequel le jury est revenu.
    — J'ai démontré un énoncé du texte.

    C'est assez peu, mais comme j'ai eu des jolies courbes, j'ai préféré en rester là et essayer d'anticiper les questions de jury, et ça a été une bonne stratégie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    — Ils sont revenus sur le théorème de Cauchy-Lipschitz et m'ont aidé à l'appliquant en me faisant choisir une fonction u particulière pour me donner l'intuition… Je m'en suis un peu voulu de ne pas avoir eu cette idée tout seul, mais bon j'ai bien réagi à leurs suggestions. Ensuite, ils m'ont demandé d'énoncer le théorème de Cauchy-Lipschitz et de l'appliquer. Je l'ai fait, j'ai brièvement évoqué la notion de solution globale/solution maximale, et ils sont passés à autre chose. J'avais anticipé la question, donc j'avais pris un peu de temps pour relire tout ça dans le Demailly.
    — Ensuite, ils sont revenus sur le schéma d'Euler explicite, m'ont demandé d'écrire la définition d'un schéma convergent, chose que j'avais également anticipée donc je m'étais rafraîchi les idées pendant la préparation. Ils m'ont demandé d'autre schémas, j'ai cité Runge-Kutta et ils n'ont pas insisté.
    — Enfin, ils sont revenus sur l'équation y = sin(y), j'ai dit que c'était le pendule simple et après ils m'ont demandé de démontrer que l'énergie est constante ; j'ai pas trop compris la question car je n'ai pas les idées très claires sur la physique sous-jacente, mais ça a duré 2-3 minutes, ils m'ont donné un indice et j'ai répondu, puis le temps était écoulé.

  • Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...)

    J'aime bien écrire beaucoup de choses au tableau, mais c'est une question de goût : on y gagne en clarté, mais on fait moins de choses…
    J'aurais pu être plus clairvoyant sur comment appliquer Cauchy-Lipschitz dans ce contexte.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ?

    Attitude très positive et agréable : ils m'ont laissé cherché lorsque j'en avais besoin, et m'ont aidé quand je bloquais.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    On ne peut pas écrire sur le texte.
    Attention, 35 minutes c'est assez court, donc il faut soit écrire peu de choses, soit ne pas prévoir trop. Les questions de jury sont assez classiques et il y a des immanquables (et en fait, le rapport décrit très bien les attendus).

  • Note

    13

  • Leçon choisie :

    226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

  • Autre leçon :

    207 : Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Algorithme du gradient à pas optimal

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Presque aucune question sur le développement.

    Comment justifier la présence dans le plan de suites récurrentes linéaires d'ordre h vu le titre de la leçon?
    Une telle suite peut être vu comme une suite récurrente linéaire vectorielle d'ordre 1, de la même manière que quand on ce ramène à des équations différentielles du type X'=f(t,X).

    J'avais mis dans le plan un algorithme pour la décomposition de DUNFORD tiré de NH2G2 tome 2. Questions: comment justifier la présence de cet algo dans le plan? C'est bien une suite définie par récurrence. Puis on m'a posé une question très précise sur la preuve du fait que cet algorithme converge (plus que ça: stationne), qui je pense visait plus à savoir si je conaissais en gros la preuve ou si j'avais mis cet algo au pif.

    Comment résoudre une suite récurrente linéaire d'ordre 2?
    L'ensemble des tels suites est un ev de dimension 2. A partir de là j'ai séché un peu. Puis j'ai résolu le problème avec pas mal d'aide.

    Que peut on dire de l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite?
    Fermé. Ensuite ils m'ont cuisiné un peu mais je n'avais pas la réponse. Je pense que le théorème attendu était "L'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite d'un espace métrique compact est connexe".

    Étudier la suite xn=e^2ipian? Que peut on dire de ces valeurs d'adhérence?
    C'est bien une suite définie par récurrence. Si a est rationnelle elle prendra un nombre fini de valeurs et les valeurs d'adhérence correspondront à un certain polygone régulier. Si a est irrationnelle on intuite que l'ensemble des valeurs d'adhérence sera dense dans le cercle. Pas réussi à aller au bout de la question mais j'ai put dire: celà ce ramènera à l'étude d'un certain sous groupe additif de R, de tels sous groupes sont denses ou monogènes, il est monogène si et seulement sir l'inf de ses éléments positifs est strictement positif.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était moyen sympathique, mais globalement ça allait. Par contre ils aidaient beaucoup, et cet oral était un vrai dialogue.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    16.75

  • Leçon choisie :

    226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

  • Autre leçon :

    207 : Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Algorithme du gradient à pas optimal

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Presque aucune question sur le développement.

    Comment justifier la présence dans le plan de suites récurrentes linéaires d'ordre h vu le titre de la leçon?
    Une telle suite peut être vu comme une suite récurrente linéaire vectorielle d'ordre 1, de la même manière que quand on ce ramène à des équations différentielles du type X'=f(t,X).

    J'avais mis dans le plan un algorithme pour la décomposition de DUNFORD tiré de NH2G2 tome 2. Questions: comment justifier la présence de cet algo dans le plan? C'est bien une suite définie par récurrence. Puis on m'a posé une question très précise sur la preuve du fait que cet algorithme converge (plus que ça: stationne), qui je pense visait plus à savoir si je conaissais en gros la preuve ou si j'avais mis cet algo au pif.

    Comment résoudre une suite récurrente linéaire d'ordre 2?
    L'ensemble des tels suites est un ev de dimension 2. A partir de là j'ai séché un peu. Puis j'ai résolu le problème avec pas mal d'aide.

    Que peut on dire de l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite?
    Fermé. Ensuite ils m'ont cuisiné un peu mais je n'avais pas la réponse. Je pense que le théorème attendu était "L'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite d'un espace métrique compact est connexe".

    Étudier la suite xn=e^2ipian? Que peut on dire de ces valeurs d'adhérence?
    C'est bien une suite définie par récurrence. Si a est rationnelle elle prendra un nombre fini de valeurs et les valeurs d'adhérence correspondront à un certain polygone régulier. Si a est irrationnelle on intuite que l'ensemble des valeurs d'adhérence sera dense dans le cercle. Pas réussi à aller au bout de la question mais j'ai put dire: celà ce ramènera à l'étude d'un certain sous groupe additif de R, de tels sous groupes sont denses ou monogènes, il est monogène si et seulement sir l'inf de ses éléments positifs est strictement positif.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était moyen sympathique, mais globalement ça allait. Par contre ils aidaient beaucoup, et cet oral était un vrai dialogue.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    16.75