Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Plan proposé :
I. Généralités sur les espaces complets
1) Suites de Cauchy
Définition, Convergent => Cauchy, Cauchy => borné, Cauchy + VA => convergent
2) Espaces complets : définition et exemples
Exemple de R et C, contre exemple de R muni de d(x,y) = |arctan x – arctan y|
Un fermé d’un complet est complet, un complet est fermé, un compact est complet, un produit de complets est complet
3) Quelques conséquences de la complétude
Prolongement des applications uniformément continues, suite de fermés emboîtés, image réciproque d’un complet par un homéomorphisme uniformément continu, Point fixe de Picard (Dev), Contre-exemples si l’on ne suppose plus l’application contractante ou si l’on ne suppose plus l’espace complet
II. Espaces de Banach
1) Définition et exemples
Exemples des expaces de dim finie, B(X,R) muni de la norme du sup, les espaces Lp, K[X] n’est jamais complet
2) Séries dans un espace de Banach
Critère de cauchy pour la convergence des séries
Contre exemple dans K[X] d’une série qui converge normalement mais ne converge pas dans l’espace
3) Applications aux séries de Fourier
Définition des coeffs de Fourier, de la série de Fourier d’une fonction cpm 2pi-périodique
Formule de Parseval
L’espace des fonctions continues 2pi-périodiques dont la série des coeffs de Fourier converge absolument est un espace de Banach (Dev)
III. Espaces de Hilbert
Définition, exemples : les espaces euclidiens/hermitiens, L²
C^0([0,1]) n’est pas un espace de Hilbert
Projection sur un convexe fermé, sur un sev de dim finie, conséquences
Je fais ma présentation de plan où je prends un peu trop de temps pour introduire l’intérêt des suites de Cauchy comme moyen de montrer qu’une suite converge sans connaître au préalable sa limite, je finis donc à la bourre et ai à peine le temps d’évoquer mon III.
Je fais mon développement sans problème, bien que je fais certaines choses à l’oral sur la fin pour le terminer en 15min.
Questions sur le développement :
- Vous affirmez sur la fin que |c_n(f_k) – c_n(f_l)| \leq || f_k – f_l||. Pourquoi ?
J’explique que c’est parce que d’une part |c_n(f_k – f_l)| \leq || f_k – f_l|| et que comme c_n est stable par combinaison linéaire, on a bien |c_n(f_k – f_l)| = |c_n(f_k) – c_n(f_l)|.
- Auriez-vous un exemple de fonction appartenant à cet espace ? Autre que la fonction nulle, bien sur !
Là je panique un peu, j’avais vraiment peur qu’ils commencent à partir sur des questions autour des séries de Fourier alors que je ne suis pas très bon dans ce domaine. Je finis par dire « euh les fonctions trigonométriques ? »
- C’est à dire ?
Moi : Euh, les fonctions sinus et cosinus.
- D’accord. En renvanche, ces fonctions sont C-infini. Auriez-vous un exemple de fonction avec des hypothèses de régularité moins fortes ?
Je suis un peu perdu et n’ose pas balancer une connerie au hasard.
Un autre jury finit par me dire : peut-être pour commencer, pouvez vous me dire pourquoi une fonction C-infini aura forcément la somme de ses coeffs de Fourier absolument convergente ?
Je propose de procéder par IPP, ils m’invitent à détailler la preuve, je le fais et termine la preuve.
- Bien, donc dans ce cas, pouvez-vous nous dire une classe de fonctions plus large pour lesquelles cela fonctionne ?
Moi : j’ai dû faire deux IPP, donc déjà c’est vrai pour les fonctions C²
Je me demandais s’ils voulaient que je continue à étudier des hypothèses plus faibles mais ils se sont arrêtés là sur le développement.
Questions sur le plan :
- Vous proposez comme exemple d’espace non complet R muni de la distance avec arctan.
Sauriez-vous le justifier ?
Je donne l’exemple de la suite (n) qui est de Cauchy mais ne peut pas converger, en me bloquant tout seul comme un benêt à cause du stress au milieu de la preuve mais j’arrive à conclure.
- Euh… pourquoi arctan(p) – arctan(q) = pi/2 – arctan(q) - ( pi/2 – arctan(p) ) dans votre preuve ?
Moi : je fais une appartition-disparition de pi/2.
- Ok. Question un peu en dehors de ça mais, vous savez ce que ça vaut pi/2 – arctan(p) ?
Je panique à l’idée de dire une bêtise donc je commence par dire « alors il me semble que arctan(x) + arctan(1/x) = pi/2 donc dans ce cas, pi/2 – arctan(x) = arctan(1/x) »
- Ok.
- Est-ce que toutes les suites sont bornées dans cette espace ?
Là je commence à paniquer un peu : comment définir une suite bornée dans un espace métrique, qui n’est pas un evn ? Je réfléchis un peu puis demande « on est bien d’accord qu’une suite est bornée dans un espace métrique lorsqu’il existe M tel que pour tout p,q d(u_p,u_q) < M ? »
- Oui si vous voulez, mais vous pouvez prendre + simple : regardez la distance à u₀.
Moi : « ah oui donc dans ce cas, oui les suites sont bornées car la fonction arctan est bornée par pi/2 donc en majorant grossièrement, la distance entre deux termes de la suite vaudra au + pi »
- D’accord, donc cet espace est compact ?
Moi : non, car sinon il serait complet !
- D’accord.
- Dans votre plan, vous énoncez le théorème du point fixe de picard puis plusieurs contre exemples lorsque l’on affaiblit les hypothèses. Vous dites que l’hypothèse d(f(x),f(y)) < d(x,y) ne suffit pas mais fonctionne lorsque l’on suppose que l’espace est compact. Avez-vous une idée de la preuve ?
Moi : le point clé qui sert dans la preuve est le fait que la distance à un compact est toujours atteinte. Voulez-vous que je détaille ?
Là ils se sont regardés et on hésité mais finalement m’ont dit qu’on allait passer à la suite.
On passe ensuite à un exercice : Soit E un evn et (u_n) à valeurs dans E. Les deux propriétés suivantes sont-elles équivalentes ?
i) \sum ||u_{n+1} – u_n|| est convergente
ii) (u_n) est de Cauchy
Je propose différentes idées, commence à dire que dans R ça a l’air de marcher via le lien suite-série.
J’essaie de montrer i) => ii), j’arrive à montrer que alors (u_n) est bornée puis bloque ensuite.
J’essaie ii) => i) mais ne trouve rien de très concluant.
- Revenez à i) => ii). Vous avez montré que (u_n) est bornée mais vous n’avez pas essayé d’aller au bout de la preuve pour mq la suite est de Cauchy.
J’essaie de finir et y arrive finalement.
- Pour la réciproque, vous pensez vraiment qu’elle sera vraie ? Reprenez ce que vous disiez tout à l’heure sur le cas de R.
Moi : alors dans le cas réel, si (u_n) est de cauchy alors elle converge et donc \sum (u_n+1 – u_n) converge : c’est le lien suite-série. Sauf qu’ici on veut une convergence absolue. On devrait alors réussir à trouver une suite tq u_n+1 – u_n est le terme général d’une série semi-convergente, par exemple (-1)^n/n.
Et l’échange s’est arrêté là.
