Retours d'oraux

Des retours d'expériences des années précédentes.

Liste des retours de l'année 2024 :

  • Leçon choisie :

    151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Dunford et l'exponentielle de matrice

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions:
    Ils m'ont fait corriger des étourderies dans ce que j'avais écrit concernant mon développement

    Concernant la fin de mon développement, ils m'ont guidé pour obtenir des démonstrations différentes.




    Question plan :
    Questions sur la codiagonalisation de matrice. Je l'ai énoncé pour une famille finie, ils m'ont demandé si infini ça marchait. Je n'avais pas d'argument donc est partie sur la démonstration dans mon cas et l'extension à une famille pas forcément finie d'endomorphisme.

    J'avais mis trigonalisation avant diagonalisation. Ils m'ont demandé de justifier. Je sais que lorsque j'avais préparé les leçons de réductions j'avais fais ce choix pour une raison mais je ne me rappellais plus pourquoi. J'ai dit que c'était parce que le diagonalisation était un cas particulier de la trigonation. Après ils m'ont demandé si j'avais à l'enseigner si je le ferais comme ça. J'ai répondu que ça pouvait être pertinent également de faire la diagonalisation avant pour s'habituer à certaines manipulations et pour simplifier la venue de la trigonalisation.

    Ils m'ont demandé de justifier mon dev 2 : de base c'est pas lui que j'avais mis mais au moment de faire le plan j'ai eu un trou sur la structure de mon plan donc j'ai fait comme j'ai pu. J'ai dit que la preuve reposé sur le fait qu'un endomorphisme qui a n valeurs propres distinctes est diagonalisable, dont la preuve vient du fait que la dimension d'un sous espace propre est entre 1 et la multiplicité de la valeur propre qui elle même vient du fait que le polynôme caractéristique d'un endomoprhisme induit divise celui de l'endomorphisme (résumé brièvement).

    Ils m'ont aussi demandé de dénombrer le nombre de sous-espace propre d'un endomorphisme qui a n valeurs propres distinctes. Ils ont fait beaucoup de sous-questions pour me guider au résultat.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Aidant, souriant.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je pensais que les questions posés aller être plus difficile. Il y en avait bien sûre auxquelles je n'ai pas su répondre mais les jurys m'aidaient à obtenir les résultats.

  • Note obtenue :

    11

  • Leçon choisie :

    213 : Espaces de Hilbert. Exemples d'applications.

  • Autre leçon :

    215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Projection sur un convexe fermé

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    C'était un couplage sur une impasse et une leçon que je trouvais difficile donc je n'ai pas brillée. Concernant les questions suivantes, j'avais parfois des sous-questions mais je ne me rappelle pas très bien de tout donc j'ai mis les questions phares.


    Questions:

    Pourquoi y \mapsto d(x,y) est continue à x fixé.

    Si on prends un sev fermé est ce que le théorème s'applique?

    Projection dans R^n; sur le disque unité. C'était censé à nous amener un truc mais j'ai rien compris de ce qu'il s'est passé donc je ne saurais retranscrire.

    Donner un espace et une base hilbertienne de cet espace, autre que celui du plan.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Aidant et bienveillant.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Plutôt oui, déçu de ce que j'ai produit mais c'était du à ma faute.
    Les 3heures sont passés super vite, je n'ai eu le temps de réviser qu'un seul développement, heureusement je connaissais le deuxième par coeur.

  • Note obtenue :

    10

  • Leçon choisie :

    158 : Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

  • Autre leçon :

    120 : Anneaux Z/nZ. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Sous-groupes finis de S0(3)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Mon développement était plutôt rapide donc il m'ont demandé de répéter des justifications que j'avais donné seulement à l'oral.

    Il y avait une erreur dans mon plan, j'avais écrit "les valeurs propres d'une matrice orthogonale sont +1 ou -1" et ont vite compris que je maîtrisais mal les valeurs propres des matrices orthogonales, alors toutes les questions ont tourné autour de ceci et en lien avec la classification des matrices de SO2(R) ou O2(R).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Peu expressif mais ils accompagnaient vraiment bien, en laissant de la liberté.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'aurais dû mettre moins de points de mon plan sur les généralités des espaces euclidiens, j'aurais eu alors plus de temps pour parler des matrices de Gram par exemple. Pour l'oral lui-même je suis content, bien que mes manque de connaissances sont vites révélées, j'ai su répondre aux problématiques qu'ils me posaient pour corriger mes lacunes.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    206 : Exemples d'utilisation de la notion de dimension finie en analyse.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Projection sur un convexe fermé

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    C’est une leçon que j'avais bien préparé cette année, je connaisssais bien mon plan et les références donc j'étais assez confiant.
    Mon plan était le suivant (merci Ewna):
    I] Conditions globales d'existence
    a)Existence et compacité
    b)Unicité et convexité
    c)Théorème de projection et conséquence théorique
    d)En analyse complexe
    II] L'utilisation du calcul différentiel
    a)Condition d'ordre 1
    b)Condition d'ordre 2
    III] Recherche d'extremum
    a)Méthode de Newton
    b)Méthode de Gradient


    Comme d’hab pour ce dev, quelques trous à compléter. On me demande ensuite d’expliquer ce qu’il se passe quand on projette sur un sous espace vectoriel fermé. J’ai bien ramé mais au final, on s’en sort, il faut utiliser la caractérisation.

    On me demande ensuite la justification de Newton dans la leçon, je l'ai mis car c'est mentionné dans le rapport du jury mais j’avais oublié pourquoi on en parlait, en fait c’est surtout une méthode pour approcher le 0 d’une dérivée.

    Pas d’autre question sur le plan malgré les nombreuses perches fournies dans celui-ci, on me propose en première exercice d’étudier $$\inf_{(a,b) \in \mathbb{R}^2}\int_0^1 \left( x^2-ax-b\right)^2 dx$$, exercice qui peut faire peur mais en fait il s’agit juste de calculer le projeté de la fonction carré sur l’espace des polynômes de degré au plus 1 pour le produit scalaire issu de l’intégrale. Il faut donc trouver une base orthonormée de $\mathbb{R}_1[X]$ et utiliser la formule du projeté orthogonal. Le jury a vu que je voyais comment faire et est passé à autre chose.

    Ensuite, exercice classique sur les extrema liés, je l’ai mis dans mon plan parce que c’est essentiel mais je voulais pas en parler. Mais en gros, minimiser la surface d’un parallélépipède sous une contrainte de volume, on trouve grâce au multiplicateur de Lagrange.

    Dernière question, montrer que $f(x,y)=x^2+y^2+10x\cos(y)$ admet un minimum. Il restait pas beaucoup de temps mais l’idée est de factoriser par $x^2+y^2$ et de montrer que $f$ est coercive et conclure.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Comme toujours jury très agréable

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    157 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

  • Autre leçon :

    106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Assez déçu du tirage, je tombe sur deux leçons que j'ai préparé mais loin de mes sujets de prédilections.

    J’ai essayé de faire ma leçon rapidement parce que je sais que la méthode de gradient est assez longue donc je voulais bien l’avoir en tête, j’ai pas été trop ambitieux sur le plan, je me suis cantonné au minimum.

    Le jury me demande l’autre développement au final, celui que j’avais déjà présenté l’année dernière. A la suite du dev, on me demande de définir l’exponentielle de matrice, je crois que je l'ai pas trop fait proprement malheureusement, aussi de préciser mon polynôme interpolateur que j'utilise dans la preuve, et d'expliquer pourquoi la norme 2 dans le cas des matrices symétriques donne le rayon spectral. Aussi, on me demande pourquoi $A↦A−1$ est continue (il faut passer par la formule avec la comatrice) et pourquoi $\exp(PAP^{-1})=P\exp(A)P^{-1}$ (Argument de continuité).

    Puis on passe rapidement au plan, on me demande si en plus de la somme directe entre les matrices symétriques et antisymétriques, il n’y a pas autre chose d’un point de vue euclidien. Donc on a regardé la forme Trace et en fait les deux espaces sont orthogonaux.

    Ensuite, par rapport au théorème spectral, on me demande pourquoi les espaces propres d'une matrice symétrique sont orthogonaux , je m’exécute. Enfin, on m’interroge sur une proposition de mon plan qui dit $S_n^{++}(\mathbb{R})$ est ouvert dans $M_n(\mathbb{R})$ (J'ai mal dû lire ce qui était écrit dans le Rombaldi), finalement ils m’ont dit que c’était plutôt ouvert dans $S_n(\mathbb{R})$ et l’oral s’est arrêté là.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    148 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Je précise tout d'abord que le Francinou que j'ai utilisé, c'est juste pour le dev des polynômes irréductibles, il s'agit du "exercices de mathématiques pour l'agrégation, Algèbre 1" (la couverture est jaune). Mon second développement était l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur $\mathbb{Q}$ précédé par un lemme (celui du Gozard) et du corollaire qui permet de trouver le degré de l'extension $\mathbb{Q}(\zeta)$ (pour que ça rentre bien dans la leçon).

    Mes 6 minutes se sont très bien passées, j'ai dépassé de 5-6 secondes mais ils n'en ont pas tenu rigueur.
    Le développement (que j'ai d'ailleurs fait en passant par la formule d'inversion de Möbius) s'est aussi très bien déroulé (14 minutes), même si j'aurais préféré qu'ils choisissent les polynômes cyclotomiques...

    Ils m'ont ensuite posé quelques questions sur le développement : justifier rapidement une divisibilité (argument d'irréductibilité, les polynômes sont 2 à 2 premiers entre eux donc le PPCM est le produit etc...).
    Le résultat final du développement était que le nombre de polynômes irréductibles unitaires de degré $n$ à coefficients dans $\mathbb{F}_q$ était équivalent à $\frac{q^n}{n}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. L'un des jury (celui qui dirigeait l'oral) me demande alors si je peux interpréter le résultat, s'il ne me fait pas penser à quelques chose (j'avais préparé cette éventuelle question : il s'agissait de faire une analogie avec la répartition des nombres premiers...)
    L'autre homme dans le jury m'a demandé d'appliquer la formule d'inversion de Möbius à l'indicatrice d'Euler, j'ai fait une petite erreur de calcul que j'ai tout de suite corrigée.
    Puis, ce même monsieur me demande d'énumérer quelques polynômes irréductibles de degré 2,3 sur $\mathbb{F}_2$ en utilisant la formule du développement. Je me suis trouvé un peu poussif dans les calculs mais ça a été...
    Le "jury leader" a repris alors la parole pour me demander de démontrer une proposition du plan que j'avais mise en valeur pour les 6 minutes (il s'agissait de $K[X]/(P)$ corps $\iff P$ est irréductible. Je commence la démonstration au tableau et il m'arrête assez rapidement, voyant que je la connaissais. Puis il me demande de construire $\mathbb{F}_9$ avec ce procédé, puis d'en énumérer les éléments, puis de multiplier deux éléments (je pense que cette question est systématique en cas de leçon sur les corps...)
    L'oral s'est poursuivi sur 2 exercices :

    Exo 1 : Soient $x,y$ algébriques sur un corps $K$ de polynômes minimaux respectifs $\mu_x$ et $\mu_y$. On suppose que $\mu_x$ est irréductible sur $K[y]$. Montrer que $\mu_y$ est irréductible sur $K[x]$.
    Je n'avais jamais fait cet exercice, mais je pense que le jury a apprécié les bons réflexes : interpréter degré de l'extension et degré du polynôme minimal, appliquer la base téléscopique... Puis j'ai eu de l'aide du jury pour conclure.

    Exo 2 : Montrer que $X^4+1$ est réductible dans tous les $F_p$.
    J'avais déjà vu ce résultat mais évidemment je ne me souvenais pas de la démonstration... J'ai commencé par regarder dans $\mathbb{F}_2$, réflexe qui a été apprécié du jury. Et à partir de là ils m'ont dit "ok on prend maintenant $p$ impair". J'ai suggéré d'aller chercher une racine, ils m'ont dit "oui dans quelle extension?" j'ai dit $\mathbb{F}_{p^2}$ ils ont dit oui, puis à partir de là j'ai bégayé (la fatigue des 3h et de tout l'oral commençait à se faire ressentir...) mais ils m'ont aidé en me disant "que dire de l'ordre d'une telle racine" j'ai dit "ah oui, d'ordre divisant 8", ils m'ont dit "oui, pourquoi c'est obligatoirement 8 ?" j'ai répondu puis le jury m'a aidé à conclure parce que j'ai un peu gogolisé sur la fin... Comme quoi il ne faut pas que l'oral se passe de façon optimale pour avoir la note maximale !

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était d'une extrême bienveillance, vraiment très gentil. Surtout le "leader" (j'ai cru comprendre qu'il y a toujours un des membres du jury qui dirige l'oral en rappelant les modalités, en posant la majorité des questions) était souriant, mettait à l'aise... Tout pour mettre en confiance !
    Il n'hésitait pas à aider quand j'avais des petits bug... Le 3e membre du jury (une dame) n'a pas parlé du tout, sauf à la toute fin pour une indication sur l'exo 2.
    Une chose à dire je pense, c'est qu'il ne faut pas s'attendre à ce que le jury laisse transparaître quoi que ce soit. Il ne dira rien quant à la qualité du plan, des 6 minutes, du dev...

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'organisation de la préparation est optimale ! Le personnel est vraiment à notre disposition. La présidente du jury vient rappeler toutes les modalités,... On a un peu de temps pour souffler, se détendre, manger un bout (c'est important) avant l'oral, le temps qu'ils fassent les photocopies. Tout est très bien indiqué, bref rien à redire sur le lieu et le personnel

    Ayant suivi une prépa agreg, j'ai eu la chance d'avoir des oraux blancs, ce qui fait que je savais à peu près à quoi m'attendre. Au début de la préparation, lorsque j'ai reçu le tirage, j'ai tout de suite choisi la 125 mais j'ai un peu paniqué 1/2h plus tard parce que je me disais "oh la la mais qu'est-ce que t'as pris, les corps c'est dur quand même..." mais bon j'ai bien fait de rester dans ce choix parce qu'en vrai je pense que le jury sait que les corps c'est dur et donc si on maîtrise la base ça suffit ! Pas besoin d'aller dans les dingueries d'extensions séparables et de théorie de Galois, je n'ai rien mis de tout ça dans mon plan et c'est passé ! Par contre un bon point de mon plan a été la constructibilité ; je recommande de s'y intéresser pendant l'année, ça demande pas un investissement de ouf et ça paie (même si pour le coup le jury ne m'a posé aucune question dessus...)

  • Note obtenue :

    20

  • Leçon choisie :

    205 : Espaces complets. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    235 : Problèmes d'interversion de symboles en analyse.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Mon autre développement était le théorème de projection sur un convexe fermé + l'application projection est 1-Lipschitzienne.

    Les 6 minutes se sont très bien passées même si j'ai dépassé d'une dizaine de secondes, ils n'en ont pas tenu rigueur, mais j'étais un peu dégouté parce que j'ai pas trop eu le temps de parler de ma dernière sous-partie sur la théorie de Baire.

    Le développement s'est très bien passé aussi (14 minutes), l'un des jury a enchaîné en me posant quelques questions sur le dev, pour voir si je savais bien tout justifier : comment on construit la sous-suite au début ? Pourquoi une fonction intégrable est finie presque partout ? Comment montre-t-on la sous-additivité de la mesure ? (J'ai été un peu surpris par cette question qui s'éloignait vraiment des espaces complets... Mais bon j'ai bien répondu en rappelant au passage la définition d'une mesure, je pense que ça a été apprécié).
    Le "leader" du jury (extrêmement sympathique) a repris la main en me demandant ce que je savais sur les inclusions entre les $L^p$, j'ai répondu qu'en général il n'y avait pas d'inclusion, mais qu'en mesure finie si, puis j'ai commencé à écrire et il m'a tout de suite demandé de préciser avec l'exemple de $L^2$ et $L^1$, il m'a demandé de démontrer (j'ai utilisé Hölder) puis il a enchaîné sur l'exo suivant :

    Exo 1 : On considère $L^2([0;1])$ et $L^1([0;1])$, on a donc le premier inclus dans le second. Montrer que la boule unité fermée de $L^2([0;1])$ est fermée dans $L^1([0;1])$. A ce moment là je jubilais car j'avais déjà traité l'exo ! Je l'ai donc fait assez rapidement (il faut utiliser le critère séquentiel, et le lemme de Fatou)
    Suite de l'exo : Montrer que $L^2([0;1])$ peut s'écrire comme union dénombrable de fermés de $L^1([0;1])$ d'intérieur vide. Commenter.
    J'ai tout de suite commenté en disant que ça faisait de $L^2([0;1])$ un espace maigre dans $L^1([0;1])$. Puis pour le démontrer, j'ai voulu poser les boules de rayon $\frac{1}{n}$ mais le jury m'a dit "vous êtes sûrs ? La norme va être petite là." J'ai donc modifié par $n$ puis quand il a fallu justifier que c'était d'intérieur vide j'ai un peu bégayé, mais le jury m'a demandé "que dire de l'intérieur d'un sous-espace vectoriel ?" J'ai alors répondu "ah oui lorsque le sev est strict, l'intérieur est vide !" et ça a conclu l'exo.

    Exo 2 : Dans $\ell^2(\mathbb{N})$, on considère $e_n=(z^{nk})_{k \in \mathbb{N}}$ où $z$ est complexe fixé de module strictement compris entre 0 et 1. Montrer que $e_n$ est dans $\ell^2$. (ça a été). Puis montrer que $(e_n)$ est une famille totale de $\ell^2$. J'ai tout de suite eu le réflexe de regarder l'orthogonal, j'ai écrit les choses, puis j'ai été vite bloqué... Mais le jury m'a aidé, même quand j'étais un peu gogole, et péniblement j'ai fini par conclure (l'exo n'est pas facile en vrai, il faut écrire la série, qui vaut 0, puis écrire la somme de la série, dire que c'est une fonction qui s'annule sur tous les $z^n$, utiliser le principe du prolongement analytique ...)

    Exo 3 : Soit $T : L^2(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{C}^0(\mathbb{R})$ une application linéaire continue qui vérifie :
    $\forall t \in \mathbb{R}, \forall f \in L^2(\mathbb{R}), T(\tau_t f)=\tau_t T(f)$. Qui est $T$ ?
    Alors là bon évidemment j'avais aucune idée... Puis le jury m'a suggéré de regarder $f \longmapsto T(f)(0)$, j'ai bidouillé un truc avec le théorème de Riesz... Mais après c'était difficile, et on n'a pas pu conclure...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Encore une fois le jury est très gentil et bienveillant ! Celui qui dirigeait l'échange s'est montré très sympathique, drôle, il faisait tout pour détendre l'atmosphère. L'autre jury était tout aussi sympathique, et la femme n'a presque pas parlé sauf pour demander une fois s'il existait un théorème du point fixe pour les itérés, j'ai fait remarquer que c'était dans mon plan, elle a dit "au temps pour moi" et on est passé à la question suivante. Je pense vraiment qu'il y a toujours un membre du jury qui se tait pour observer, lire le plan etc...

    Le jury n'hésite pas à aider si on bloque un peu, valorise toutes les interventions pertinentes... Par contre encore une fois il ne laisse pas transparaître ce qu'il pense de la leçon, du dev... Ce qui est normal.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Comme pour l'algèbre (voir retour leçon 125 2024), il n'y a rien à redire sur la préparation, tout est très bien organisé de A à Z, les gens sont disponibles, bienveillants,...

    J'avoue qu'en sortant de l'oral ça s'était bien passé selon moi mais pas au point d'avoir la note maximale ! La preuve qu'il ne faut pas nécessairement faire un oral parfait pour que ce soit le cas ! Le jury valorise vraiment toutes les initiatives, il faut montrer qu'on connaît son cours et qu'on a un peu de recul sur les choses... Ils ne s'attendent pas à ce qu'on résolve les exercices parfaitement du premier coup !
    J'ai aussi remarqué (ça a été le cas dans mes 2 oraux) qu'il faut vraiment très bien maîtriser son développement et tout ce qu'il y a autour, car le jury part du développement pour poser les questions puis les exercices.

  • Note obtenue :

    20

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Wantzel

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Plan que j'ai proposé :
    I - Généralités sur les extensions de corps. [PER]
    A/ Notion d'extensions de corps.
    B/ Elements algébriques.

    II - Corps de rupture et décomposition : construction des corps finis. [PER]
    A/ Corps de rupture.
    B/ Corps de décomposition.
    C/ Construction des corps finis.

    III/ Nombres constructibles. [CAR]
    A/ Généralités.
    B/ Lien avec la théorie des corps.
    C/ Réponse aux trois problèmes historiques

    Le début de l'échange a commencé avec des remarques, questions sur le développement choisi (Wantzel) :
    - Pourquoi une équation cartésienne d'une droite s'écrit avec des coefficients dans $K_i$ ?
    - Comment construire le produit de nombres constructibles ?

    Ensuite, il y a des questions sur mon plan et des exercices :
    Q : Votre deuxième développement permet de trouver des polynômes irréductibles de tout degré sur $\mathbb{F}_p$, peut-on le retrouver différemment ?
    R : Oui, en utilisant le fait que $\mathbb{F}_q^\times$ est cyclique, en prenant a un générateur on montre que $\mathbb{F}_q = \mathbb{F}_p[a]$ et en prenant le polynôme minimal de a on a le résultat.

    Q : Mais dans ce cas là comment construisez vous les corps finis au départ ?
    R : Comme le corps de décomposition de $X^q - X$ dans $\mathbb{F}_p[X]$

    Q : A quelle condition a-t-on $\mathbb{F}_{p^n}$ sous-corps de $\mathbb{F}_{p^m}$ ?
    R : Si et seulement si $n | m$, je dis que cela revient à montrer que $X^n-X | X^m-X$ et donc que $n | m$.

    Q : D'accord est-ce qu'un sens ne serait pas plus facile en précisant la tour d'extension ?
    R : Oui, en écrivant $\mathbb{F}_{p} - \mathbb{F}_{p^n} - \mathbb{F}_{p^m}$ on a directement que $n | m$ par multiplicativité des degrés.

    Q : Montrer que $X^4 + 1$ est réductible modulo tout $p$ premier.
    R : Si $p = 2$, $X^4+1 = (X^2+1)^2$ donc est réductible et sinon prenons $p$ impair et regardons dans une extension de degré 2 : $8 |(p-1)(p+1)$ (car c'est le produit de deux nombres pairs consécutifs) donc $X^8-1 | X^{p^2-1} - 1$ donc comme le deuxième est scindé, le premier l'est et donc en prenant une racine primitive 8-ième dans $\mathbb{F}_{p}$ on a une racine de $X^4 + 1$ dans une extension de degré 2, il est donc réductible modulo tout $p$.

    Q : Vous avez utilisé un résultat ($P$ de degré $n$ irréductible ssi il n'admet aucune racine dans une extension de degré au plus $\frac{n}{2}$), montrez le.
    R : Prenons un sens, supposons que $P$ est réductible donc il s'écrit $P = QR$, quitte à considérer $R$ on peut supposer $Q$ de degré au plus $\frac{n}{2}$, on considère alors un facteur irréductible de $Q$ puis le corps de rupture de $Q$ qui permet de trouver une racine de $P$ dans une extension de degré au plus $\frac{n}{2}$. Et le sens réciproque (avec aide du jury) :
    Supposons $P$ irréductible et admette une racine $x$ dans une extension $L$. Alors $K(x)$ est un corps de rupture de $P$ de degré $n$ donc $[L:K] \geq n$ d'où le résultat. (Résultat montré dans le Perrin p.78)

    Q : Comment montrez vous que l'ensemble des algébriques est un corps ?
    R : De deux manières : par le résultant pour trouver un polynôme annulateur de la différence et du quotient ou (voir preuve Perrin p. 67)

    Q : $X^7 - 2$ est-il réductible sur $\mathbb{Q}$ ?
    R : Non il est irréductible par le critère d'Eisenstein en prenant $p = 2$.

    Q : Montrons à présent qu'il est aussi irréductible sur $\mathbb{Q}(j)$.
    R : (Avec aide du jury) On considère $\sqrt[7]{2}$, on écrit les extensions $\mathbb{Q} - \mathbb{Q}(\sqrt[7]{2}) - \mathbb{Q}(j,\sqrt[7]{2})$ d'un côté et $\mathbb{Q} - \mathbb{Q}(j) - \mathbb{Q}(j,\sqrt[7]{2})$ de l'autre. On a $[\mathbb{Q}(j,\sqrt[7]{2}):\mathbb{Q}(\sqrt[7]{2})] = 2$ (car $j$ est annulé par un polynôme de degré 2 dans $\mathbb{Q}(\sqrt[7]{2})$ et que $j$ n'est pas dedans) alors $[\mathbb{Q}(j,\sqrt[7]{2}):\mathbb{Q}] = 14$ et donc $[\mathbb{Q}(j,\sqrt[7]{2}),\mathbb{Q}(j)] = 7$ donc $X^7-2$ est le polynôme minimal de $\sqrt[7]{2}$ dans $\mathbb{Q}(j)$ donc est irréductible.

    Q : Vous avez essayé d'utiliser le théorème de l'élément primitif, quand est-il valable ?
    R : Dans les corps de caractéristique nulle et les corps finis et en général c'est faux.

    Q : Avez-vous un contre-exemple ?
    R : Je ne me souvenais plus trop de la forme du contre-exemple mais voir Perrin p. 87 et Ortiz pour la preuve.

    Q : Connaissez-vous les polygones constructibles ?
    R : Oui, j'ai parlé du théorème et j'ai dit qu'un des sens était dur car utilisait de la théorie de Galois.

    Q : Nous allons montrer le sens facile. Prenons $p$ premier, donner une CN pour que le polygone à $p$ côtés soit constructible.
    R : (Après de l'aide du jury), on cherche donc a construire $e^{\frac{2i\pi}{p}}$ qui a pour polynôme minimal le polynôme cyclotomique $\Phi_p$ de degré $p-1$, mais par le théorème de Wantzel si $e^{\frac{2i\pi}{p}}$ est constructible alors il est algébrique de degré une puissance de 2 donc $p-1 = 2^\alpha$ et donc $p$ est un nombre premier de Fermat.

    Q : Maintenant, montrer que si l'on sait construire le polygone à $pq$ côtés (avec $p$ et $q$ premiers) alors on sait construire le polygone à $p$ côtés et à $q$ côtés.
    R : (Après aide du jury) On sait donc construire $e^{\frac{2i\pi}{pq}}$ et donc comme le produit de constructibles est constructible en prenant la puissance $q$ ou $p$ on obtient de le résultat.

    Q : Montrer que dans $M_n(K)$ ($K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$), $\chi_{AB} = \chi_{BA}$.
    R : Je dis que je le montre avec $A$ inversible, on écrit $AB = ABAA^{-1}$ et donc $AB$ et $BA$ sont semblables et on a le résultat. Ensuite, on utilise la densité de $GL_n(K)$ dans $M_n(K)$ et la continuité de l'application $A \mapsto \chi_{AB}$.

    Q : Maintenant, supposons l'avoir montré sur $M_n(K(T))$ pour $K$ un corps quelconque cette fois-ci, montrer que cela permet de le montrer sur $M_n(K)$
    L'oral s'est fini une minute après donc je n'ai pas eu le temps de traiter l'exercice.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury m'a mis en confiance dès le départ et était très bienveillant et souriant, dès que je proposais des idées ils m'aidaient afin de construire la solution.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral s'est très bien passé comme je le pensais car j'apprécie beaucoup la théorie des corps. J'ai pu finir le plan assez rapidement car le Perrin est très bien pour construire le plan et j'ai donc pu peaufiner mes développements pour bien m'en souvenir.

  • Note obtenue :

    18.25

  • Leçon choisie :

    106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

  • Autre leçon :

    144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition polaire

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Des questions sur mon développement (comment je construis formellement Q le polynome associant les valeurs propres lambda_i de AtA à leur racine, est ce que je connais des applications de la decomposition polaire)
    Puis des corrections de mon plan (j'ai du corrigé les formules du cardinal de Gln(K) et Sln(K) où K est un corps fini, j'avais fait des erreurs de recopiage...)
    Ensuite des exercices portant surtout sur des sous groupes de Gln(K) (par exemple si G est un sous groupe de Gln(K) vérifiant pour tout A dans G : A^2=In, alors G est abelien et donner son cardinal)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    très souriants, encourageants. Ils m'ont donné des pistes régulièrement et si je ne voyais vraiment pas ils disaient "pas grave on passe à autre chose"

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral s'est passé mieux que je ne le pensais notamment grâce au jury qui m'a mise en confiance.

  • Note obtenue :

    13.75

  • Sujet du texte choisi :

    Texte C66 - Étude d'un cryptosystème utilisant les carrés mod $p$.

  • Sujet de l'autre texte :

    Texte sur la cryptographie avec de la géométrie.

  • Un petit résumé du texte :

    Le texte était constitué de 5 parties différentes :
    1 - Introduction.
    2 - Étude des carrés mod p.
    3 - Etude du cryptosystème.
    4 - Calcul efficace de $\left(\frac{2m+1}{N}\right)$.
    5 - Étude de la sécurité du cryptosystème.

    Voici un peu plus dans les détails :

    1 - Le but est donc de construire un cryptosystème (Transmetteur -> Envoie message -> Le crypte -> L'envoi au destinataire -> Le décrypte -> Obtient le message de départ) utilisant comme fonction de chiffrage $x\mapsto x^2 [N]$, mais le problème est qu'a priori l'extraction de racine carrée n'est pas unique et donc retrouver le message de départ n'est pas si simple, le but du texte est de lever cette ambiguïté.
    2 - On étudie les carrés mod $p$ en montrant des résultats sur le symbole de Legendre au départ : $\left(\frac{n}{p}\right) \equiv n^{\frac{p-1}{2}} [p]$ puis on étudie le symbole de Jacobi (On étudie alors les carrés dans $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$).
    3 - Le texte présente une fonction de chiffrage et de déchiffrage permettant de lever l'ambiguïté.
    4 - Le texte présente des propriétés du symbole de Jacobi et propose un algorithme de calcul efficace.
    5 - Le texte présente la sécurité du cryptosystème.

  • Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...)

    J'ai prouvé au tableau quelques propositions sur le symbole de Legendre et celui de Jacobi.
    J'ai présenté pas mal de code :
    - Calcul efficace du symbole de Legendre.
    - Calcul non optimisé du symbole de Jacobi (je calculais la décomposition en facteurs premiers qui n'est pas efficace)
    - Calcul efficace avec l'algorithme du texte qui ne marchait pas le Jour J mais que j'ai expliqué sur un exemple.
    - J'ai aussi codé les fonctions de chiffrage et déchiffrage présentées dans le texte et je l'ai testé sur un exemple.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Le jury a parcouru l'ensemble de mon code et a essayé de trouver l'erreur de mon code sur l'algorithme optimisé pour le symbole de Jacobi en vain. Après j'ai eu des questions sur ce que j'avais écrit au tableau et enfin un exercice en relation avec une de mes preuves : calculer $\Phi_8$ le 8-ième polynôme cyclotomique et déterminer s'il est irréductible ou non sur $\mathbb{F}_p$.

  • Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...)

    Pas de réponse fournie.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ?

    Le jury est très bienveillant et intéressé par ce que l'on raconte. J'ai trouvé l'échange très formateur et intéressant.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'épreuve s'est passé comme je l'imaginais, les 4h de préparation étant suffisante pour produire une bonne présentation avec du code parfois même simple à produire.

  • Note obtenue :

    18

  • Leçon choisie :

    229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Point de Fermat d'un triangle

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Des questions sur mon développement (préciser le calcul du gradient de f, pourquoi l'application norme est convexe)
    Puis des exercices (que peut on dire d'une fonction convexe bornée, la fonction x -> 1/2- est elle convexe ? Strictement convexe ? Si oui et sil il existe calculer son point extremum)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    tres souriants, encourageants.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral s'est passé mieux que je ne pensais grâce au jury qui m'a mise en confiance.

  • Note obtenue :

    15.75

  • Leçon choisie :

    208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

  • Autre leçon :

    245 : Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applcations.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Projection sur un convexe fermé

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Voici la proposition de plan faite :
    I - Généralités.
    A/ Normes équivalentes. [G]
    B/ Applications linéaires continues. [G]
    II - Le cas de la dimension finie : équivalence des normes.
    A/ Théorème d'équivalence des normes. [G]
    B/ Les normes matricielles : applications à l'analyse numérique. [ALL]
    III - Le cas de la dimension infinie : les espaces de Banach et de Hilbert.
    A/ Les espaces de Banach. [G]
    B/ Les espaces de Hilbert. [HIR]

    Au départ, quelques questions sur mon développement :
    Q : Pour montrer le théorème de projection sur un convexe fermé vous utilisez le fait que $H$ est complet, peut-on diminuer un peu les hypothèses ?
    R : Oui, il suffit de considérer seulement un convexe fermé non vide complet et la preuve marche pareil.

    Q : Pouvez-vous détailler que c'est une bijection (L'application $z' \mapsto y + \overline{\lambda}z'$ du Hirsch-Lacombe).
    R : Il suffit d'écrire explicitement l'inverse.

    Q : Pouvez-vous détailler comment passer de $\forall \lambda \in \mathbb{C}^*,~\forall z'\in F$, $\text{Re}(\lambda\langle x-y, z\rangle) \geq 0$ à $x-y\in F^\perp$ ?
    R : Il faut prendre $\lambda$ dans $\mathbb{R}_*^{+}$ puis $\mathbb{R}_*^{-}$ pour montrer que la partie réelle est nulle puis prendre $\lambda$ dans $i\mathbb{R}_*^{+}$ et $i\mathbb{R}_*^{-}$ pour montrer que la partie imaginaire est nulle et trouver le résultat.

    Ensuite, j'ai eu des questions sur le plan et des exercices :
    Q : Montrer que si $F$ est un sev de $H$ hilbert alors $F^\perp$ est fermé.
    R : Soit $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $F^\perp$ tendant vers $x$. Montrons que $x\in F^\perp$. Soit $y\in F$, $\langle x,y\rangle = \langle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n,y\rangle = \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\langle x_n,y\rangle = 0$ par continuité de l'application $x\mapsto \langle x,y\rangle$ (Elle est linéaire et par Cauchy-Schwarz 1-Lipschitz) d'où le résultat.

    Q : Montrer maintenant que $\overline{F}^\perp = F^\perp$.
    R : Comme $F \subset \overline{F}$ on a donc $\overline{F}^\perp \subset F^\perp$, montrons l'inclusion inverse. Soit $x\in F^\perp$ et $y\in\overline{F}$ alors il existe $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $F$ convergeant vers $y$ et alors $\langle x,y\rangle = \langle x,\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} y_n\rangle = \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\langle x,y_n\rangle = 0$ par continuité de $y\mapsto \langle x,y\rangle$ d'où le résultat.

    Q : Dans votre plan vous mettez comme corollaire du théorème de Riesz que $\overline{B_{\mathbb{R}[X]}(0,1)}$ n'est pas compacte, pouvez-vous le montrer à la main ? Et pour quelle norme ?
    R : Je considère alors la norme infinie pour les polynômes ($||\sum\limits_{i\in I} a_iX^i||_\infty = \max\limits_{i\in I} |a_i|$) et je cherche une suite d'éléments de la boule n'ayant pas de sous-suite convergente. Je prends la suite $(X^n)_{n\in\mathbb{N}}$ et je suppose qu'il existe une sous-suite convergente, en particulier elle est donc de Cauchy donc en écrivant la définition d'une suite de Cauchy on a une absurdité car : $\forall \epsilon > 0,~\exists n_0\in\mathbb{N},~\forall n,m\geq n_0,~1 = ||X^{\varphi(n)}-X^{\varphi(m)}||_\infty < \epsilon$.

    Q : Quel isomorphisme nous permet d'écrire le théorème de représentation de Riesz ?
    R : Le fait que $H$ est isomorphe à son dual $H^*$ via $y \mapsto \langle \cdot,y\rangle$.

    Q : Et que peut-on dire de ceci pour les Banach en général ?
    R : C'est faux.

    Q : Et que considère-t-on dans ce cas ?
    R : Le bidual.

    Q : Comment s'appelle les espaces isomorphes à leur bidual ?
    R : Les espaces réflexifs.

    Q : Pouvez-vous détailler pourquoi l'exponentielle matricielle est bien définie ? (Je l'avais mis dans le plan)
    R : J'utilise une propriété des Banachs, une suite absolument convergente converge donc il suffit de montrer qu'elle est absolument convergente, je munis $M_n(\mathbb{R})$ d'une norme subordonnée, c'est une norme d'algèbre et donc : $\frac{|||M^n|||}{n!} \leq \frac{|||M|||^n}{n!}$ et la deuxième converge d'où le résultat.

    Q : Pouvez-vous détailler pourquoi $P\mapsto P'$ n'est pas continue pour la norme infinie de $\mathbb{R}[X]$ ?
    R : Encore une fois considérer la suite $(X^n)_{n\in\mathbb{N}}$, la norme de la dérivée tend vers $+\infty$ alors que sa norme vaut toujours 1 c'est absurde si elle était continue.

    Q : Cherchons alors une norme pour la rendre continue.
    R : J'ai déjà dit qu'elle était linéaire donc il suffit de trouver une norme pour lequel l'application est de Lispchitz. J'essaie quelques normes sur $\mathbb{R}[X]$ mais cela ne marche pas.

    Q : Montrons que la constante de Lipschitz est 1 et considérez alors la norme $N(P) = \sum\limits_{k\in\mathbb{N}} |P^{(k)}(0)|$, pouvez-vous détailler pourquoi est-ce une norme ?
    R : Le seul point délicat est l'équivalence $N(P) = 0 \Longleftrightarrow P = 0$, il faut écrire la somme nulle, c'est une somme (finie car c'est un polynôme) de termes positifs nulle, ils sont tous nuls et par la formule de Taylor pour les polynômes on trouve le résultat. Et alors $N(P') \leq N(P)$ d'où la continuité de l'application.

    Q : Montrer que les compacts en dimension infinie sont d'intérieur vide.
    R : Je réfléchis un peu et un jury me demande alors :

    Q : Déjà en dimension finie qu'est-ce que vous pouvez dire ?
    R : Je réfléchis jusqu'à considérer une boule fermée qui n'est évidemment pas d'intérieur vide. Je suppose par l'absurde qu'un compact en dimension infinie n'est pas d'intérieur vide, quitte à diminuer la boule on peut supposer qu'il contient une boule fermée. Mais un fermé d'un compact étant compact la boule est compacte mais donc par le théorème de Riesz, l'espace est de dimension finie c'est absurde.

    L'oral s'est ensuite fini.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était très bienveillant et souriant, ils m'aidaient lorsque je ne voyais pas comment faire.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral s'est passé comme je l'avais imaginé, le jury et les appariteurs permettent de faire en sorte de diminuer le plus possible notre stress pendant les épreuves et c'est vraiment très appréciable.

  • Note obtenue :

    18.25

  • Leçon choisie :

    153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

  • Autre leçon :

    171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition de Dunford (version non algorithmique)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Longs échanges à propos du développement, quelques questions sur le plan. Puis un petit exercice (trouver le maximum sur la sphère unité de la fonction $x \mapsto \langle u(x), x \rangle$ pour $u$ endomorphisme symétrique d'un espace vectoriel de dimension finie).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    RAS. Le jury était peu bavard, mais efficace dans ses questions. Ils cherchent vraiment à tester la compréhension des résultats écrits par le candidat. Ah si, un membre a qualifié ma défense du plan de "lecture insipide" (mais c'était probablement le cas, ce n'est pas un point sur lequel j'ai travaillé au cours de l'année).

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Alors, premier jour donc pas mal d'organisation à expliquer. On tire les couplages, et je me décompose littéralement en découvrant deux sujets que je ne maîtrise pas. Je me ressaisis et choisis la leçon qui me parle le plus, et dont les développements sont les plus simples (histoire de réussir au moins ça).
    La préparation se passe bien, mais je m'y étais préparé au cours de l'année. J'ai globalement fait le plan que j'avais prévu, qu'on peut découper en deux grosses parties : calcul exact de valeurs propres / localisation et calcul approché de valeurs propres.
    Pendant l'oral j'ai l'impression de plutôt bien réussir sur les questions qui concernent la première partie, mais je n'ai quasi rien réussi sur la deuxième. Je ressors donc extrêmement pessimiste de ce premier jour.
    Finalement, la note obtenue est au-dessus de mes espérances.

    Au niveau du temps, on a bien eu pile poil les trois heures de préparation et on a même un petit temps pour relire le développement choisi par le jury. Donc il faut penser à le rédiger proprement au brouillon.

  • Note obtenue :

    10.25

  • Leçon choisie :

    245 : Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applcations.

  • Autre leçon :

    214 : Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Transformée de Fourier d'une gaussienne

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Je n'avais pas tout à fait terminé mon développement (enfin, il restait un point à éclaircir, plus précisément), et un membre du jury m'a aidé. Ensuite, ils m'ont demandé pourquoi cette intégrale (qui définit la transformée de Fourier de la gaussienne) était calculable. Enfin, quelques questions sur mon plan, puis deux exercices (le premier était de calculer le maximum de $z \mapsto z(z-1)$ sur le disque unité, et le second était de déterminer les fonctions holomorphes $f$ qui vérifient $f \circ f = f$).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était d'une extrême bienveillance et a su rester professionnel et encourageant à tout instant malgré la piètre qualité de mon oral. Les questions posées ont pour but d'évaluer notre niveau de maîtrise sur les éléments de notre plan.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Deuxième jour d'oral, je me dis "boarf, le tirage pourra pas être pire qu'hier !" : bingo, il est pire qu'hier. Je tombe sur deux thèmes où je suis mauvais et où je maîtrise moyennement mes développements. Comme hier, je me ressaisis, je choisis celui où mes développements sont les plus aboutis et les plus simples à mémoriser, puis je me lance dans la préparation. À la fin, gros coup de stress à l'idée de faire face à des personnes extrêmement qualifiées dans le domaine pendant que je vais devoir me débrouiller pour survivre pendant une heure.
    Pour ne rien arranger, le jury choisit le développement que je maîtrise le moins (relu rapidement la veille) parce que je pense qu'ils en avaient déjà marre des polynômes orthogonaux. Mon exposé est assez approximatif, mais j'en viens à bout en 15 min pile poil (je me suis juste trompé dans la paramétrisation d'une partie du contour, mais j'ai pu corriger après la fin grâce à leur aide). La suite de l'oral fut compliquée à gérer car j'avais un peu perdu confiance, mais je pense que les membres du jury s'en sont aperçu et ils ont posé des questions simples afin de me remettre en confiance et de voir si je maîtrisais tout de même les fondamentaux. J'en suis ressorti extrêmement déçu. Au niveau de la note, je m'attendais à résultat inférieur (du style 2 ou 3), mais je m'en tire finalement plutôt bien avec une note qui m'a laissé dans la course.

    Au niveau du temps, on a encore eu exactement les trois heures de préparation et le petit temps pour relire le développement choisi par le jury.

  • Note obtenue :

    6

  • Leçon choisie :

    181 : Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.

  • Autre leçon :

    153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Hahn-Banach géométrique

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Mon plan pour contexte:
    I. Ensembles convexes
    1. Généralités
    2. Séparation (dev 1: Hahn Banach)
    3. Projection sur un convexe fermé
    II. Barycentres
    1. généralités
    2. lien avec la convexité
    III. Polyèdres en dimension 3
    1. Généralité
    2. Classification des polyèdres réguliers
    IV. Applications affines
    (dev 2:point de Fermat)

    Pas de questions ni de remarques sur le développement.
    Sur le plan le jury m'a fait énoncer le théorème de Carathéodory que j'avais omis (je ne l'avait pas trouvé dans les refs) et m'a fait remarqué que les applications affines sont un exemple trop trivial d'application convexe.

    Exercices:
    I. donner une condition nécessaire et suffisante sur A dans Sn(R) pour que X->tXAX soit convexe.
    Je tente la méthode naïve de prendre une combinaison convexe, vu que c'était un mauvaise piste le jury me guide pour me faire remarquer qu'on regarde une forme quadratique. A partir de la on conclut assez rapidement en utilisant le théorème d'inertie de Sylvester: A=tPDP où P est inversible, D diagonale avec des 1,-1 et 0 sur la diagonale. L'application s'écrit alors tXtPDPX=tYDY est convexe si et seulement si il n'y a que des 1 ou des 0 sur la diagonale de D, c'est à dire si et seulement si A positive.

    II. Cette fois A définie positive et B un vecteur. Que dire des extremums de X->tXAX+tBX.
    Calculer la différentielle de façon classique. On trouve 2tXAH+tBH. On en déduit le gradient facilement qui vaut en X 2AX+B. on trouve le point critique qui est unique. C'est un minimum puisque l'application est convexe.

    III. Donner un algorithme pour déterminer l'enveloppe convexe d'un nombre fini de point.
    Je ne savais pas faire on n'a pas perdu beaucoup de temps.

    IV. démontrer le théorème de Gauss-Lucas.
    Je ne savais pas faire et cette fois le jury ne m'a pas guider du coup j'avanças lentement. L'épreuve s'est terminée durant cette question (une démonstration est faite dans le livre carnet de voyage en algébrie)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury à été sympathique et m'a bien aider dans les exercices.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Beaucoup plus d'exercice que ce à quoi on avait été préparé au cours de l'année dans notre prépa. Je ne avais pas qu'on avait 15 minutes entre la fin de la préparation et le passage pendant lesquelles on peut relire notre plan et nos notes ce qui est sympa.

  • Note obtenue :

    12.5

  • Leçon choisie :

    103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

  • Autre leçon :

    154 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Dixon

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Le développement s'est bien passé, il n'a duré que 12'30, mais j'ai eu un trou sur le calcul final, je me suis un peu embourbé. Au bout d'une minute ou deux de réflexion, le jury finit par m'expliquer comment finir le calcul, je le fais sans problème (cf ma version du développement pour plus de détails à ce sujet, il y a une erreur dans la référence dans laquelle je prenais le développement). Aucune question sur le développement.
    Questions sur le plan:
    - Mq deux matrices réelles conjuguées dans C sont conjuguées dans R. C'était un résultat du plan que je connaissais bien, j'ai su le prouver.
    - Mq dans un corps algébriquement clos, une matrice et sa transposée sont conjuguées Là encore, un résultat du plan que j'avais révisé pendant la préparation : l'ingrédient secret est la réduction de Jordan (qui existe toujours car on est dans un corps algébriquement clos). Une fois avoir dit ça, le jury ne m'a pas demandé de détailler davantage.
    - J'avais écrit une proposition dans laquelle j'affirmais que deux matrices semblables ont même déterminant, trace, polynôme caractéristique et minimal. Le jury m'a demandé si certains de ces invariants en impliquaient d'autres. J'ai eu un peu de mal à comprendre ce que le jury voulait sur cette question. On m'a donc demandé si, sachant que le polynôme caractéristique était invariant pour deux matrice semblables, je pouvais en déduire que le déterminant était le même. C'est vrai puisque (au signe près), le déterminant est le coefficient constant dans le polynôme caractéristique. J'ajoute qu'on a aussi que la trace est invariante car c'est (encore au signe près) le coefficient de degré n-1 dans le polynôme caractéristique. Le jury est content.
    - Est-ce qu'il suffit pour deux matrices d'avoir le même polynôme caractéristique et minimal pour être semblables ? Non, on peut trouver des contre-exemples.
    - Est-ce qu'en rajoutant des hypothèses sur les matrices qu'on considère, ce résultat peut devenir vrai? Je donne un ou deux idées, peu intéressantes. Le jury rajoute alors : "des hypothèses, même très fortes". Je donne alors l'hypothèse de diagonalisabilité, le jury est content et me demande de développer pourquoi ça marche. J'arrive à le faire. Essentiellement, les deux matrices vont être diagonalisables grâce au polynôme minimal, et le même polynôme caractéristique permet d'affirmer qu'elles auront les mêmes valeurs propres avec les mêmes multiplicités. Elles seront donc conjuguées à la même matrice diagonale, donc conjuguées entre elles.
    - Trouver deux matrices dans C ayant même polynôme caractéristique et minimal mais qui ne sont pas conjuguées entre elles. J'affirme que pour des raisons de taille de blocs de Jordan, il faut taper au moins en taille 4 pour les matrices pour avoir un exemple. J'essaie de construire des matrices qui font le job, mais grosse galère. Je mets des 1 sur les diagonales de mes matrices, et après j'essaie de faire joujou avec les tailles des blocs de Jordan, mais je n'y arrive pas. Le jury me demande pourquoi je m'escrime à mettre des 1 sur la diagonales; Je réponds en effet que ce n'est pas pertinent, et donc je mets des zéros (pour ces histoires de blocs de Jordan, j'ai une meilleure intuition avec les matrices nilpotentes). Je finis par y arriver, mais on y a passé du temps.

    Un exercice pour conclure. On fait agir par conjugaison le groupe A4 sur l'espace X des 3-cycles contenus dans A4. Mq les 3-cycles n'engendrent pas A4.
    Aucune idée pour démarrer : je dis donc que si les 3-cycles engendraient A4, on pourrait montrer que ce groupe est simple (je n'étais pas trop sûr de moi ici), ce qui n'est pas puisque le sous groupe des doubles transpositions est distingué dans A4. Le jury m'invite à résoudre l'exercice en utilisant l'action par conjugaison qu'il m'a introduite, en écrivant la relation orbite stabilisateur. J'essaie ensuite quelques trucs qui n'aboutissent vraiment pas, je parle du fait que le type caractérise entièrement les classes de conjugaison dans Sn (c'était dans mon plan), mais je ne sais pas trop quoi en faire. A la fin, le jury me demande de dénombrer les 3-cycles de A4, je le fais, et l'oral s'est arrêté là.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury plutôt sec au départ, mais souriant à l'issue de la défense de plan et très souriant à l'issue du développement, ce qui m'a mis en confiance. Pendant la séance de questions, le jury était aidant mais me laissait bien le temps de réfléchir c'était très agréable. L'exercice final était plus un dialogue qu'une séance de questions, encore une fois très agréable.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Nous sommes très nombreux à préparer en même temps dans la même salle (une douzaine de personnes dans une petite salle). La température monte vite.
    Je n'ai pas réussi à retrouver entièrement mon développement sur le théorème de Dixon pendant la préparation, développement qui est tombé au moment de l'oral. Ca ne met vraiment pas en confiance ! Pourtant, cela s'est quand même très bien passé, grâce à la réactivité et la bienveillance du jury. Corollaire : Rester concentré et motivé en toute circonstance !

  • Note obtenue :

    18.25

  • Leçon choisie :

    205 : Espaces complets. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    224 : Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Le développement se passe parfaitement bien, 14'30 avec dynamisme et enthousiasme. Une petite question sur le développement ; j'utilisais la version itérée du théorème de point fixe de Banach, on m'a demandé de démontrer ce théorème (en admettant le théorème de point fixe). J'avoue que je me suis un peu emmêlé les pinceaux, le jury est intervenu en m'invitant à rester "calme et pragmatique", j'ai fini par y arriver. Pas d'autres questions sur le développement.

    Questions sur le plan :
    - Comment montre-t-on la formule de Plancherel pour la transformée de Fourier dans L1 inter L2 ? (formule autrement appelée formule de passage du chapeau pour les intimes) J'invoque le théorème de Fubini, le jury est content.
    - Comment montre-t-on que L1 inter L2 est une partie dense de L2 ? J'explique que le sous espace des fonctions continues à support compact est dense dans L2 et est inclus dans L1 inter L2. On me demande de le prouver, je dis que c'est une propriété difficile à montrer, car très reliée à la construction même de la mesure de Lebesgue. Le jury a l'air ok avec cet argument, on passe.
    - Mq la norme L2 de f et de sa transformée de Fourier sont égales pour f dans L1 inter L2. C'est un point important pour étendre par densité la transformée de Fourier à L2. Je veux utiliser la formule de Plancherel, mais pour cela, j'ai besoin de montrer que la transformée de Fourier est dans L1. J'essaie de le faire, mais je me rends vite compte que ce n'est pas garanti. Le jury voit que je ne sais pas faire, et me dit que cette formule est beaucoup plus facile à montrer dans l'espace de Schwartz. Ce sur quoi je rebondis en disant qu'en effet, dans ce cas, la transformation de Fourier est un isomorphisme de la classe de Schwartz, et donc on aura bien f chapeau dans L1, et une simple application de la formule de Plancherel donne le résultat.
    - On me demande de dessiner dans R2 le carré fermé [0,1] X [0,1]. Jusque là tout va bien. Puis on me demande de prendre un point dans le plan R2 et de dessiner sa projection sur le carré. J'affirme que le carré fermé est bien un convexe fermé du Hilbert R2, puis je prends un point, et dessine sa projection. On me demande de le faire pour un autre point. Je prends un autre point, mais j'ai pensé qu'on me demandait de le refaire pour que j'ajoute du détail dans la manière dont je trouve la projection, alors je m'emmêle les pinceaux dans des délires de caractérisation par l'angle obtus, et un des jurys me dit : "mais la projection, ça minimise la distance!". Je réponds "ah oui!", je dessine la projection du second point, et puis on passe à un exercice.

    On me donne V le sous espace des fonctions L2 positives presque partout. On me demande de montrer que c'est un convexe fermé de L2. La convexité est très facile, pour le caractère fermé, j'utilise le critère séquentiel, mais je me rends vite compte qu'il va falloir gérer les "presque partout". Le jury m'a sûrement senti hésitant, donc il m'a demandé d'écrire la définition de "f positive presque partout" avec les quantificateurs. Cela m'a bien aidé et j'ai su finir (l'ingrédient clef étant que la réunion dénombrable d'espaces de mesure nulle reste de mesure nulle).

    Ensuite, question inévitable, on me demande de prendre f dans L2 et de trouver sa projection sur V. J'affirme qu'on va utiliser la caractérisation par l'angle obtus de la projection (que j'écris mal d'abord, ce que le jury me fait remarquer, donc je rectifie). Le jury est content, et m'invite à poursuivre. J'essaie de dire quelques petites choses, rien de bien folichon. Puis le jury m'incite à faire un dessin d'une fonction f dans L2. Je dessine une fonction continue positive partout. Le jury me demande si mon dessin va m'être utile. Je lui dis que non, puisque la fonction que je viens de dessiner est dans V, donc sa projection est elle-même. Je dessine une fonction plus générale, et montre alors que la projection cherchée est la fonction qui vaut f quand f est positive, et 0 sinon.

    Autre exercice : Soit E un espace de Banach, p un projecteur (ie p^2=p) tel que le noyau et l'image de p sont fermés dans E. Montrer que p est continu. Je commence par dire que le noyau et l'image étant fermés dans E complet sont eux-même complets, et qu'ils sont supplémentaires dans E vu que p est un projecteur. Le jury est content, et m'introduis une norme, dont on me demande de montrer qu'elle est équivalente à la norme de départ sur E. Je trouve une des deux inégalités, et l'oral s'arrête là.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Un membre du jury menait l'entretien, les deux autres étaient très discrets. Jury peu agréable quand je suis rentré dans la salle, mais très souriant pendant mon développement.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    On est une douzaine à préparer en même temps dans la même (petite) salle. La température monte vite...
    Pour le plan, je n'ai rempli que deux pages sur trois. Cela me faisait une trentaine d'items, et manifestement, cela a suffi. Corollaire 1 : Ce n'est pas la taille qui compte...
    En sortant de mon oral, j'étais dépité, les questions sur le plan ne s'étaient quand même pas très bien passées, et la résolution des exercices avait été très poussive. J'ai été beaucoup aidé, je pensais avoir une note autour de 10 grâce à mon développement qui s'était quand même bien passé. Corollaire 2 : En sortant d'un oral, vous êtes le pire des juges possibles, vous ne savez pas ce qu'a pensé le jury. Quand vous sortez d'un oral, dans la mesure du possible, restez positifs, et restez concentrés pour les oraux suivants, que cela se soit bien passé à votre goût ou non. Au moment des résultats, ma note m'a énormément surpris.

  • Note obtenue :

    18

  • Leçon choisie :

    101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    181 : Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Lemme de Fitting et cardinal du cône nilpotent

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):
  • Liste des références utilisées pour le plan :
  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Je rentre, le jury me rappelle les consignes de l'épreuve. Puis me disent que je peux quand je le souhaite. Je commence par présenter mon plan de leçon (environ 6'10 - le jury ne m'arrête pas malgré ce léger dépassement). Puis tous les membres du jury étaient d'accord pour prendre mon développement sur le nombre de matrices nilpotentes de taille dxd sur un corps de cardinal q. Ils me rappellent que je peux regarder BRIÈVEMENT mes notes (ce que je ne fais pas connaissant bien ce développement l'ayant présenté 2 fois au cours de l'année de préparation)

    Je fais exprès lors de ce développement de passé sous silence le cardlinal de GLn(Fq) qui fera l'objet de ma première question du jury (perche tendue prise). Puis le jury n'ayant pas d'autres questions sur le développement, celui-ci passe aux questions réponses.

    Voici les différentes questions qui m'ont été posées :
    1) Ayant parlé dans la leçon des différentes actions sur les espaces de matrices, donc ayant parlé de la matrice Jr relié à la relation d'équivalence et du rang. Le jury me demande la classe de similitude de Jr.
    R: Je sèche, ceux-ci me posent diverses questions (en terme de sous-espaces stables etc...). Après quelques échanges, sur avoir seulement 0,1 comme valeurs propres de dimension exactement n-r et r, on arrive enfin au fait que ces matrices sont celles des projecteurs.
    2) Montrer que A4 n'est pas engendré par les 3 cycles
    R: (en posant une action de A4 sur le sous-groupe engendré par les 3 cycles par conjugaison) puis en supposant par l'absurde que cela était le cas, en appliquant la relation orbite stabilisateur, on obtient une contradiction
    3) Considérons E un ensemble fini non multiple de p premier et sigma une permutation d'ordre p. Montrer que sigma a un point fixe.
    R: Passer par l'absurde et écrire la décomposition en cycle à support disjoint de sigma. Or l'ordre de sigma est le ppcm des ordres de cycles à support disjoint. Celui-ci étant p, tout les cycles sont d'ordre p, ou 1. Puis en écrivant l'équation aux classes associé à l'action du sous-groupe engendré par sigma sur E. On obtient une contradiction.
    (Cette question j'avais toutes les idées, mais un peu de mal à mettre en place, le jury m'a accompagné tranquillement quand je bloquais)
    4) Considérons u un endormorphisme diagonalisable de E un K-ev de dimension n. Déterminer la dimension du commutant de u
    (La j'avoue que j'ai vu ça j'ai totalement bloqué, je voyais pas le lien avec ma leçon, spoiler : y'en avait pas. - j'ai essayé de poser une action par conjugaison depuis le groupe linéaire sur L(E). Mais ça n'aboutissait pas. Le jury m'a conseillé de regardé deux cas extrêmes : a) u une homothétie b) u possède n valeurs propres distinctes)
    R : dim C(u) = la somme des ( multiplicité des espaces propres) au carré. En s'intéressant à l'écriture matricielle voire : http://mpstar.lamartin.free.fr/fichiers/matieres-640-1413608066.pdf par exemple

    5) (On a parlé un moment pendant l'oral d'endomorphismes cycliques à la question 4) donc on est revenu brièvement dessus à la toute fin de l'oral alors qu'il restait 1 minute). Le jury m'a demandé de redonner précisément ma définition d'endomorphisme cyclique :
    R: il existe x0 dans E, tel que (x0,u(x0),...,u^n-1(x0)) est une base de E.

    6) Il restait 10 secondes (le jury me l'a fait savoir en posant la question). Quel x0 conviendrait si on considère u diagonalisable à n v.p simples pour montrer que u est cycliques ?
    R: x= sommes des x_i où les x_i sont des vecteurs.p associés aux v.p


    Mon impression en sortant : L'impression d'avoir bien géré mes 6 minutes, d'avoir bien fait mon développement (pas de questions dessus), mais d'avoir bloqué sur les questions, où ils devaient de temps en temps me donner des indications. Spoiler : ne vous écoutez pas toujours, vous êtes le moins bon pour vous juger après une épreuve !!

    RMQ : 1 visiteur

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très agréable (composé de deux hommes et une femme, et dirigé par un des deux hommes), qui laisse le temps de réfléchir s'il voit que vous cherchez, mais qui n'hésite pas aussi à vous aider si vous bloquer, à vous donner des indications. Jury qui vous conseille d'avoir confiance en vous, que la réponse est là. Très plaisant.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral s'est passé comme prévu, pas de surprises, comme lors de la préparation toute l'année. Concernant la préparation, pensez à profiter des 15 minutes de battements pour relire tranquillement vos développements prise en note pendant la préparation, et à revenir sur vos 6 minutes !

  • Note obtenue :

    16

  • Leçon choisie :

    236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

  • Autre leçon :

    264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Injectivité de la transformée de Fourier

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Je rentre, le jury me rappelle les consignes de l'épreuve puis me dit que je peux commencer dès que je le souhaite. Je souffle un coup et commence par la présentation de mon plan (qui tient exactement 6 minutes). Celui-ci tourne réellement autour des exemples, un théorème, une application directe par exemple du dit théorème. Les jurys se mettent d'accord pour partir sur l'injectivité de la transformée de Fourier (je me dis que je vais pouvoir y aller bien tranquillement étant donné que ce développement rentre largement). J'effectue mon développement, et même en ayant l'impression de prendre bien mon temps, le développement se termine en 13 minutes. Le jury n'a pas l'air d'avoir de problèmes avec ça, il passe au questions.

    Questions liées au développement :
    1) Pourquoi la fonction dans mon intégrante ($ x \mapsto e^{-bx^2} e^{itv} $) est mesurable
    R: car elle est continue
    2) J'ai utilisé le résultat suivant dans mon développement et qui fait partie de mon plan : Soit f dans $L^1(R)$ et $(\phi_j)_j$ une approximation de l'unité, alors $f * phi_j$ tend en norme 1 vers $f$. Donner les idées de la preuve de ce théorème.
    R: On va utiliser toutes les hypothèse des approximations de l'unité, en séparant classiquement (un peu comme dans le théorème de Fejer) mais pour une des deux parties, celle qui ne relève pas du caractère approximation de l'unité, je bug, et je donne des idées à l'oral. Le jury me demande si je ne pourrais pas utilisé des résultats de densité. Je propose dès lors d'utilise les continues à support compact dans L1 + thm de convergence dominée. Le jury est ok, et passe à autre chose

    Questions liés au plan :
    1) Demande de détailler un exemple du plan qui utilise le corollaire permettant l'échange entre série et intégrale issue de Beppo-Levi. Ex suivant : $$ \int_0^1 \frac{ln(x)}{x-1} dx = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} $$
    R: Voir Daniel Li, Intégration, exercice III.1 (page 124) - corrigé à la fin du Li

    2) Donner un équivalent en $+\infty$ de : $$\int_0^{x} e^{t^2} dt$$
    R: Question où j'ai eu du mal, le jury a du bien m'aider, , il fallait effectuait une IPP en écrivant 1 comme 2t / 2t, pour reconnaitre une dérivée de $e^{t^2}$, puis négligéait de 0 à 1 où l'intégrale de l'IPP n'était pas bien définit, et regardait dans l'IPP en terme de négligeabilité. Je ne me souviens plus de la réponse précise.

    3) Soit $f : R^n \rightarrow [0;+\infty[$ mesurable et $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur $R^n$. Montrer que : $$\int_{0}^{+\infty} \lambda(\{x, f(x) > t\}) dt = \int_{R^n} f(x) dx$$
    R : Réécrire le membre de gauche, et utiliser le théorème de Fubini pour échanger.

    4) En déduire le volume d'une hyperbole dans $R^n$ via la fonction $f: x \mapsto \exp(-||x||^2)$ où $||.||$ correspond à la norme euclidienne sur $R^n$
    R: utiliser la question 3, avec $f$ et réécrire le tout, en terme de boules, on obtient une expression

    5) Dans la question d'avant, via le calcul, le jury m'a demandé le lien entre B(0,r) et la boule unité.
    R: B(0,r) = r*B(0,1)

    6) Calculer sur $D=\{(x,y) \in R^2, \frac{x^2}{4} + y^2 \leq 1\}$ l'intégrale : $$ \int_{D} y^2 dx dx$$
    R: Je ne savais trop par quoi commencer, j'ai dès lors proposer de réécrire cette intégrale sur R^2 via des indicatrices (un peu comme en proba), le jury m'a dit que ça devait marcher mais que ce n'est pas ici ce qu'il cherchait, et m'a demandé si je ne pouvais pas écrire cette intégrale comme intégrale sur le bord d'un contour... Je me suis demandé (via mes souvenirs de physique de prépa) si ça n'avait pas un lien avec les théorèmes de Green-Ostrogratski ce que j'ai proposé à l'oral, ils m'ont dit oui, et j'ai donc dis que je ne connaissais pas du tout le dit résultat. Ils m'ont dit pas de soucis et sont passés à autre chose.

    7) Comment calculer $$ \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx$$ (on arrivait à la fin de l'oral, donc ils n'attendaient pas le résultat total mais les grandes étapes)
    R: J'ai proposé de le faire via résidu, avec la fonction $z \mapsto \frac{\exp{iz}}{z}$ Ils me demandent de proposer un bon contour, et de détailler les paramètrisations et le raisonnement, ce que j'effectue, avec un demi cercle- relevé autour de 0 (un peu comme un demi cd).

    On arrive dès lors à la fin de l'épreuve.

    RMQ: 1 visiteur

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury composé de deux hommes et une femme, ce jury était très souriant et aidant, me laissant réfléchir, mais n'hésitant pas à donner des conseils. La femme n'a presque rien dit de l'oral et est aller s'étiré au fond de la salle en plein milieu de mon développement (pas très sympa...). Le jury était dirigé par un des deux hommes, mais les deux posaient les questions. Bonne expérience

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    RAS, comme imaginé. Je suis sorti très confiant de cette oral, tout s'étant très bien passé, et ayant su répondre aux questions du jury !

  • Note obtenue :

    17.25

  • Leçon choisie :

    241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

  • Autre leçon :

    244 : Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Nombres de Bell

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :
  • Liste des références utilisées pour le plan :
  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Avant de commencer l'oral le jury me rappelle les consignes (6 minutes de présentation, 15 minutes de développement).
    A la fin de ma présentation, le jury choisit les nombres de Bell comme développement. Je le finis en 14 minute.

    Voici les questions posées avec des réponses partielles:

    - Questions sur le développement :
    Q : êtes vous sûre de la formule écrite au début du tableau (somme liée au dénombrement)
    R : J'avais oublié de mettre une somme, je corrige donc cette erreur
    Q : Pouvez-vous nous énoncer le théorème de Fubini utiliser dans ce développement?
    R : Je donne l'énoncé demandé
    Q : Pouvez-vous nous justifier l'unicité du développement en série entière?
    R : J'ai donné la formule des coefficients en précisant que ma fonction devait être de classe C infini et ça les a convaincu
    Q : Vous avez donner une expression de la fonction sur R en résolvant une équation différentielle. Cette égalité reste-t-elle vraie sur C?
    R : Oui par le théorème du prolongement analytique dont je rappelle l'énoncé.

    - Questions :
    Q : Quel est le rayon de convergence de la série exponentielle?
    Q : Connaissez-vous d'autres développements en série entière?
    R : Je donne celui du cosinus
    Q : Comment le démontrez-vous?
    R : J'utilise la formule cos(x)=(exp(ix)+exp(-ix))/2
    Q : Donnez l'ensemble des solutions de l'équation exp(iz)=1
    R : Je n'ai pas trop su répondre à cette question... J'ai donné des pistes en écrivant z en forme algébrique et en utilisant l'unicité de la forme exponentielle modulo 2 pi et on est passé à une autre question
    Q : Donnez le développement en série entière de ln(1+x) et son rayon de convergence
    R : Je donne la formule et dit que le rayon de convergence est 1
    Q : Que se passe-t-il sur les bords?
    R : en -1 la série diverge et en 1 la série converge par le critère spécial des séries alternées (CSSA)
    Q : Où a-t-on convergence uniforme (et normale) pour une série entière?
    R : Sur tout compact dans le disque de convergence
    Q : La fonction x -> ln(1+x) est-elle bien définie sur [0,1]?
    R : Oui, car le CSSA donne une majoration du reste par son premier terme. On obtient donc une majoration uniforme du reste et donc une convergence uniforme vers 0 ainsi notre série est bien définie sur [0,1]
    Q : Connaissez-vous d'autres théorèmes de convergence uniforme?
    R : Le théorème d'Abel angulaire
    Q : Pouvez vous nous l'énoncé rapidement car manque de temps?
    R : Je m'embrouille un peu car le manque de temps me fait stressée
    L'oral s'est terminé là dessus

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était composé de deux hommes et d'une femme. Il était très bienveillant et m'aidait pour chaque questions lorsque je n'avais pas trop d'idées.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    13.25