Leçon 213 : Espaces de Hilbert. Exemples d'applications.

(2023) 213

Dernier rapport du Jury :

(2022 : 213 - Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.) L'analyse de Fourier, sur le cercle où la droite réelle, est évidemment une illustration fondamentale des résultats de ce chapitre. Le jury a noté que rares étaient les candidats qui maîtrisaient correctement la théorie $L^2$ des séries de Fourier. Le fait que les polynômes constituent une base hilbertienne de l'espace des fonctions de carré intégrable relativement à certains poids est présenté quasi systématiquement en développement. Peut-être faudrait-il songer à trouver d'autres sources d'inspiration, d'autant que la preuve n'est pas toujours parfaitement comprise, et que de nombreux candidats sont incapables d'en déduire une base hilbertienne de $L^2(R)$. Les candidats solides pourront s'intéresser aux propriétés spectrales des opérateurs autoadjoints compacts d'un espace de Hilbert, à la minimisation de fonctionnelles convexes et coercives sur un espace de Hilbert, ou encore au théorème de Paley-Wiener qui caractérise les fonctions de $L^2(R)$ dont la transformée de Fourier est à support compact, ou encore au théorème d'échantillonnage de Shannon.

(2019 : 213 - Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.) Il est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne, notions qui mettent en difficulté nombre de candidats. Toutefois cette année, le jury se réjouit d’avoir pu constater de réels efforts sur ce point. La formule de la projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie d’un espace de Hilbert doit absolument être connue de même que l’interprétation géométrique de la méthode de Gram-Schmidt. La leçon doit être illustrée par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier, entre autres). $\\$ Les candidats doivent s’intéresser au sens des formules $$ x = \sum_{n\geq 0} (x|e_n)e_n \text{ et } \|x\|^2 = \sum_{n\geq 0} |(x|e_n)|^2 $$ en précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)_{n \in \mathcal{N}}$ et en justifiant la convergence. La notation $\sum_{m \in \mathcal{Z}}$ doit être manipulée avec précaution : beaucoup de candidats l’introduisent mais sans en maîtriser les subtilités. $\\$ Si le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d’un espace de Hilbert $H$ est régulièrement mentionné, ses conséquences les plus directes (théorème de projection de Riesz, orthogonal de l’orthogonal et densité d’un sous-espace via la nullité de son orthogonal,...) le sont malheureusement nettement moins. La notion d’adjoint d’un opérateur continu peut alors être introduite et, pour aller plus loin, le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints compacts peut alors être abordé. $\\$ Pour aller plus loin dans une autre direction, le programme permet d’aborder la résolution et l’approximation de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. La construction de l’espace de Hilbert–Sobolev $H_0^1(]0,1[)$ pourra donc éventuellement être abordée, ainsi que le théorème de Lax-Milgram avec des applications pertinentes. Plus généralement, l’optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert peut être explorée.
(2017 : 213 - Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.) Il est bon de connaître et savoir justifier le critère de densité des sous-espaces par passage à l’orthogonal. Il faut aussi illustrer la leçon par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier ,...). Il est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne, notions qui mettent en difficulté nombre de candidats. De plus, la formule de la projection orthogonale sur un sous espace de dimension finie d’un espace de Hilbert doit absolument être connue de même que l’interprétation géométrique de la méthode de Gramm-Schmidt. Le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d’un espace de Hilbert H est régulièrement mentionné. Les candidats doivent s’intéresser au sens des formules \[ x = \sum_{n \ge 0} (x |e_n) e_n \text{ et } ||x||^2 = \sum_{n \ge 0} |(x | e_n)|^2 \] en précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)_{n\in N}$ et en justifiant la convergence. La notion d’adjoint d’un opérateur continu peut illustrer agréablement cette leçon. Pour aller plus loin, le programme permet d’aborder la résolution et l’approximation de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. Plus généralement, l’optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert peut être explorée. Enfin, le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints compacts peut être abordé.
(2016 : 213 - Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications. ) Il est bon de connaître et savoir justifier le critère de densité des sous-espaces par passage à l’orthogonal. Il faut aussi illustrer la leçon par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier, . . .). Il est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne. De plus, la formule de la projection orthogonale sur un sous espace de dimension finie d’un espace de Hilbert doit absolument être connue de même que l’interprétation géométrique de la méthode de Gramm-Schmidt. Le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d’un espace de Hilbert H est régulièrement mentionné. Les candidats doivent s’intéresser au sens des formules $$ x = \sum_{n \ge 0} (x | e_n) e_n \text{ et } ||x||^2 = \sum_{n \ge 0} | (x|e_n)|^2 $$ en précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)_{n\in \mathbb{N}}$ et en justifiant la convergence. La notion d’adjoint d’un opérateur continu peut illustrer agréablement cette leçon. Pour aller plus loin, le programme permet d’aborder la résolution et l’approximation de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. Plus généralement, l’optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert peut être explorée. Enfin, le difficile théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints compacts peut être abordé.
(2015 : 213 - Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.) Il est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne. De plus, la formule de la projection orthogonale sur un sous espace de dimension finie d'un espace de Hilbert doit absolument être connue de même que l'interprétation géométrique de la méthode de Gramm-Schmidt. Il faut connaître quelques critères simples pour qu'une famille orthogonale forme une base hilbertienne et illustrer la leçon par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier, ... ). Le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d'un espace de Hilbert $H$ est régulièrement mentionné. Les candidats doivent s'intéresser au sens des formules $x = \sum_{n\ge 0} (x |e_n) e_n$ et $||x||^2 = \sum_{n \ge 0} (x|e_n)^2$ en précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)_{n \in \mathbb{N})$ en justifiant la convergence. La notion d'adjoint d'un opérateur continu peut illustrer agréablement cette leçon. Pour des candidats solides, le programme permet d'aborder la résolution, et l'approximation, de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. Plus généralement, l'optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert devrait être plus souvent explorée. Enfin, pour les plus valeureux, le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints compacts peut être abordé.
(2014 : 213 - Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.) Il est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne. De plus, la formule de la projection orthogonale sur un sous espace de dimension finie d'un espace de Hilbert doit absolument être connue. Il faut connaître quelques critères simples pour qu'une famille orthogonale forme une base hilbertienne et illustrer la leçon par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier, etc.). Le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d'un espace de Hilbert H est régulièrement mentionné. Les candidats doivent s'intéresser au sens des formules $x = \sum_{n \geq 0} (x|e_n)e_n$ et $||x||^2 = \sum_{n \geq 0} (x|e_n)^2$ en précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)$ et en justifiant la convergence. La notion d'adjoint d'un opérateur continu peut illustrer agréablement cette leçon. Pour des candidats solides, le programme permet d'aborder la résolution, et l'approximation, de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. Plus généralement, l'optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert devrait être plus souvent explorée. Enfin, pour les plus valeureux, le théorème spectral pour les opérateurs autoadjoints compacts peut être abordé.

Plans/remarques :

2024 : Leçon 213 - Espaces de Hilbert. Exemples d'applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    J'aime bien cette leçon : le plan se mémorise bien et les résultats sont classiques.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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2023 : Leçon 213 - Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet.
    Si cela peut aider des gens, avec plaisir !
    Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ).
    Les références sont à la fin.
    Attention aux éventuels coquilles.
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  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 213 - Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Leçon que j'ai préparé au début de l'année, donc la forme est un peu différente de d'habitude.
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2020 : Leçon 213 - Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
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2019 : Leçon 213 - Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.


2018 : Leçon 213 - Espaces de Hilbert . Bases hilbertiennes. Exemples et applications.


2017 : Leçon 213 - Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.


2016 : Leçon 213 - Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2024 : Leçon 213 - Espaces de Hilbert. Exemples d'applications.

  • Leçon choisie :

    213 : Espaces de Hilbert. Exemples d'applications.

  • Autre leçon :

    215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Projection sur un convexe fermé

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    C'était un couplage sur une impasse et une leçon que je trouvais difficile donc je n'ai pas brillée. Concernant les questions suivantes, j'avais parfois des sous-questions mais je ne me rappelle pas très bien de tout donc j'ai mis les questions phares.


    Questions:

    Pourquoi y \mapsto d(x,y) est continue à x fixé.

    Si on prends un sev fermé est ce que le théorème s'applique?

    Projection dans R^n; sur le disque unité. C'était censé à nous amener un truc mais j'ai rien compris de ce qu'il s'est passé donc je ne saurais retranscrire.

    Donner un espace et une base hilbertienne de cet espace, autre que celui du plan.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Aidant et bienveillant.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Plutôt oui, déçu de ce que j'ai produit mais c'était du à ma faute.
    Les 3heures sont passés super vite, je n'ai eu le temps de réviser qu'un seul développement, heureusement je connaissais le deuxième par coeur.

  • Note obtenue :

    10


2023 : Leçon 213 - Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    213 : Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Opérateurs de Hilbert-Schmidt, étude et complétude

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions/réponses:


    1. En quoi les opérateurs de Hilbert-Schmidt sont-ils intéressants en dehors de Thm 39 (opérateurs de Hilbert-Schmidt de L2) ? [Ils sont compacts]


    2. Pouvez-vous me donner un exemple non trivial (en dehors de Thm 39) d'opérateur de Hilbert-Schmidt dans l² ? [Tu = (u_n/n²)]




      1. Oui, ça ça va marcher, intéressons nous de manière plus général aux opérateurs de cette forme-là, pas vraiment un homothétie, mais presque... comment pourriez-vous les qualifier ? [opérateurs diagonal: Tu = (u_n*v_n)_n]


      2. Bien, donc soit T un opérateur diagonal, à quel condition celui-ci est-il:

        1. continu ? [(v_n)_n bornée]


        2. compact ? [v_n -> 0 car c'est un opérateur autoadjoint, donc les valeurs propres sont les (v_n)_n, et l'après la théorie spectrale des opérateurs compacts autoadjoints, en dimension infinie, la suite des valeurs propres doit tendre vers 0]


        3. de Hilbert-Schmidt ? (i.e. il existe une base hilbertienne telle que Série(||T e_n ||²) converge) ? [(v_n)_n dans l²]


        4. Pouvez-vous me donner un exemple d'opérateur compact qui n'est pas de Hilbert-Schmidt ? [v_n = 1/sqrt(n)]





    3. Dans un espace de Hilbert, tout fermé borné est-il compact ? (Sans Riesz) [non: on prend un base hilbertienne, aucune sous-suite ne peut vérifier la condition de Cauchy d'après le théorème de Pythagore: ||e_n - e_m||² = 2]




      1. Est-ce qu'il y a d'autres notions de compacité auxquelles vous pouvez penser ? [faible compacité, de toute suite on peut extraire une sous-suite qui converge faiblement, au sens ptt y, <x_n|y> -> <x|y> dans un Hilbert]


      2. Est-ce que tous les fermés bornés sont faiblement compacts ? [si (x_n)_n est bornée, alors ptt y, (<x_n|y>)_n aussi: on extrait diagonalement sur une base hilbertienne]





    J'ai un peu paniqué pour mon développement, et j'ai fini par le faire en 10 minutes. Pour combler le temps, j'ai improvisé une preuve supplémentaire, que j'ai complètement raté. On a passé une bonne dizaine de minutes à corriger ce morceau de preuve et quelques détails dans le preuve principale. Ça m'a assez déstabilisé, et le fait qu'on me pose des questions vraiment au bord du programme m'a pas mal perturbé au vu du développement. Quand on présente un sujet un peu de niche comme celui-ci, je conseille très fortement de connaître le contexte qui gravite autour (heureusement c'était mon cas).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Aidant. Seul l'un des membres du jury m'a posé des question, je pense que je suis tombé sur un spécialiste des opérateurs de Hilbert-Schmidt...

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai mis un peu plus de temps qu'à mon habitude pour rédiger mon plan.

  • Note obtenue :

    14.75

  • Leçon choisie :

    213 : Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    230 : Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Projection sur un convexe fermé

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    questions du jury :
    - donnez des exemples d'ensembles convexes dans R^n, C^n, l2(N).
    - expliquez le nom de l' "identité du parallélogramme"
    - Comment on fait pour projeter un vecteur dans un e.v. de dimension finie quand on a une base non orthonormale, sans l'orthonormaliser ? (Ecrire le système linéaire).
    - Si on a un sous-e.v. F, et p_F projection orthogonale, que vaut l'adjoint de p_F ?
    - Est-ce que Pythagore est vrai pour 3 vecteurs ? dessiner un contre-exemple.
    - Donnez une autre définition de famille totale.
    - Est-ce qu'il existe des fonctions continues par morceaux sur [0;2pi] telles que leurs coefficients de Fourier réels vérifient an = 1/sqrt(n) ?
    - On prends une fonction f dans L2_2pi, montrez que la série des (cn(f)/n)e^inx converge normalement sur R/

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Attitude bienveillante, le jury m'a aidé sur certaines questions et m'a bien laissé le temps de réfléchir.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Comme je l'imaginais

  • Note obtenue :

    19


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Elements d'analyse fonctionnelle , Hirsch (utilisée dans 76 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 248 versions au total)
Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani (utilisée dans 63 versions au total)
Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel (utilisée dans 31 versions au total)
Thèmes pour l'agrégation de mathématiques - Eléments de cours, développements et exercices corrigés, Houkari (utilisée dans 15 versions au total)
Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès (utilisée dans 89 versions au total)
Probabilités, Barbe-Ledoux (utilisée dans 28 versions au total)
Analyse fonctionnelle - Théorie et applications, Brezis, Haim (utilisée dans 29 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 177 versions au total)
Espaces de Hilbert et opérateurs, Bayen, Margaria (utilisée dans 8 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 452 versions au total)
Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li (utilisée dans 46 versions au total)
Analyse fonctionnelle, Gilles Lacombes, Pascal Massat (utilisée dans 5 versions au total)
Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques, Chabanol, Ruch (utilisée dans 19 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 132 versions au total)
Analyse fonctionelle , Brézis (utilisée dans 27 versions au total)
Analyse numérique et optimisation : une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique, Allaire (utilisée dans 25 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 56 versions au total)
Analyse numérique et équation différentielle , Demailly (utilisée dans 56 versions au total)
Leçons pour l’agrégation de mathématiques - Préparation à l’oral, Dreveton, Maximilien & Lhabouz, Joachim (utilisée dans 20 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 297 versions au total)