Développement : Opérateurs de Hilbert-Schmidt, étude et complétude

Détails/Enoncé :

Ce développement peut amener à avoir des questions sur les opérateurs compacts il faut donc les connaître et savoir démontrer que l'ensemble des opérateurs compacts est fermé dans L(E).
Il faut également donner des exemples de tels opérateurs (multiplication par une suite de carré sommable dans l$^2$(N), opérateurs de rang finis) et des exemples d'opérateurs n'étant pas dans cet ensemble (Id, Shift)

Recasages pour l'année 2024 :

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  • Remarque :
    Recasages: 213 pleinement, 205 dans une moindre mesure mais tout à fait acceptable, 208 moins acceptable

    Lacombe Massat (Analyse fonctionnelle) p114+122

    Au programme:
    - $T \in \mathcal{HS}(\mathcal{H}) \Longleftrightarrow T^* \in \mathcal{HS}(\mathcal{H})$ et la valeur de $\sum\limits_{n =0}^{+\infty} \|T e_n\|^2$ ne dépend pas du choix de la base hilbertienne $(e_n)_{n \in \mathbb{N}}$,
    - $(\mathcal{HS}(\mathcal{H}), \langle \cdot | \cdot \rangle_2)$ est un espace de Hilbert,
    - L'ensemble des opérateurs de rang fini est dense dans $\mathcal{HS}(\mathcal{H})$.
    - $\displaystyle{T \in \mathcal{HS}(\mathcal{H}) \Longleftrightarrow \exists K \in L^2(\Omega \times \Omega, \mu \otimes \mu): T = \left [ T_K : f \mapsto \int_\Omega K(x, \cdot) f ~\mathrm{d}\mu \right ]}$

    Commentaires à la fin du document, voir mon retour d'oral.


    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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