Leçon 208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

(2022) 208
(2024) 208

Dernier rapport du Jury :

(2022 : 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.) Cette leçon est particulièrement vaste, et sera pour le candidat une occasion de faire des choix. Il est inutile de commencer systématiquement le plan de cette leçon par de longs rappels sur les normes : comme toutes les autres, cette leçon ne doit pas tomber dans le formalisme, mais bien proposer des résultats significatifs illustrés par des exemples bien choisis, en particulier de normes équivalentes ou non, ou de calculs de normes subordonnées. En ce qui concerne le contenu, le programme offre de nombreuses possibilités : cas de la dimension finie, intervention de la complétude (en particulier le cas hilbertien), étude de la compacité de la boule unité fermée, lien entre continuité d'une forme linéaire (ou plus généralement, d'une application linéaire de rang fini) et fermeture du noyau. Pour les candidats solides, des prolongements possibles sont : les conséquences du théorème de Baire dans le cadre des espaces de Banach (tout particulièrement le théorème de Banach-Steinhaus et son utilisation pour construire des objets pathologiques), le théorème de Hahn-Banach et ses conséquences, la théorie de algèbres de Banach, la détermination de duals topologiques.

(2019 : 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.) Le jury rappelle qu’une telle leçon doit contenir beaucoup d’illustrations et d’exemples, notamment avec quelques calculs élémentaires de normes subordonnées (notion qui met en difficulté un trop grand nombre de candidats). Le lien avec la convergence des suites du type $X_{n+1}=AX_n$ doit être connu (et éventuellement illustré, sans que cela puisse être mis au cœur de la leçon, de considérations d’analyse numérique matricielle). Lors du choix de ces exemples, le candidat veillera à ne pas mentionner des exemples pour lesquels il n’a aucune idée de leur pertinence et à ne passe lancer dans des développements trop sophistiqués. $\\$ Il faut savoir énoncer et justifier le théorème de Riesz sur la compacité de la boule unité fermée d’un espace vectoriel normé. Le théorème d’équivalence des normes en dimension finie, ou le caractère fermé de tout sous-espace de dimension finie d’un espace normé, sont des résultats fondamentaux à propos desquels les candidats doivent se garder des cercles vicieux. Des exemples d’espaces vectoriels normés de dimension infinie ont leur place dans cette leçon et il faut connaître quelques exemples de normes usuelles non équivalentes, notamment sur des espaces de suites ou des espaces de fonctions et également d’applications linéaires qui ne sont pas continues. On peut aussi illustrer le théorème de Riesz sur des exemples simples dans le cas des espaces classiques de dimension infinie. $\\$ Les espaces de Hilbert ont également leur place dans cette leçon, mais le jury met en garde contre l’écueil de trop s’éloigner du cœur du sujet.
(2017 : 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.) Une telle leçon doit bien sûr contenir beaucoup d’illustrations et d’exemples, notamment avec quelques calculs élémentaires de normes subordonnées (notion qui met en difficulté un trop grand nombre de candidats). Le lien avec la convergence des suites du type $X_{n+1} = A X_n$ doit être connu. Lors du choix de ceux-ci (le jury n’attend pas une liste encyclopédique), le candidat veillera à ne pas mentionner des exemples pour lesquels il n’a aucune idée de leur pertinence et à ne pas se lancer dans des développements trop sophistiqués. La justification de la compacité de la boule unité en dimension finie doit être maîtrisée. Il faut savoir énoncer le théorème de Riesz sur la compacité de la boule unité fermée d’un espace vectoriel normé. Le théorème d’équivalence des normes en dimension finie, ou le caractère fermé de tout sous-espace de dimension finie d’un espace normé, sont des résultats fondamentaux à propos desquels les candidats doivent se garder des cercles vicieux. A contrario, des exemples d’espaces vectoriels normés de dimension infinie ont leur place dans cette leçon et il faut connaître quelques exemples de normes usuelles non équivalentes, notamment sur des espaces de suites ou des espaces de fonctions et également d’applications linéaires qui ne sont pas continues.
(2016 : 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples. ) Une telle leçon doit bien sûr contenir beaucoup d’illustrations et d’exemples, notamment avec quelques calculs élémentaires de normes subordonnées. Lors du choix de ceux-ci (le jury n’attend pas une liste encyclopédique), le candidat veillera à ne pas mentionner des exemples pour lesquels il n’a aucune idée de leur pertinence et à ne pas se lancer dans des développements trop sophistiqués. La justification de la compacité de la boule unité en dimension finie doit être maîtrisée. Il faut savoir énoncer le théorème de Riesz sur la compacité de la boule unité fermée d’un espace vectoriel normé. Le théorème d’équivalence des normes en dimension finie, ou le caractère fermé de tout sous-espace de dimension finie d’un espace normé, sont des résultats fondamentaux à propos desquels les candidats doivent se garder des cercles vicieux. A contrario, des exemples d’espaces vectoriels normés de dimension infinie ont leur place dans cette leçon et il faut connaître quelques exemples de normes usuelles non équivalentes, notamment sur des espaces de suites ou des espaces de fonctions. Pour aller plus loin, on peut éventuellement considérer le cas d’espaces métrisables mais dont la métrique n’est pas issue d’une norme, par exemple dans le champ des espaces de fonctions analytiques (topologie de la convergence uniforme sur tout compact par exemple).
(2015 : 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues.Exemples.) La justification de la compacité de la boule unité en dimension finie doit être donnée. Le théorème d'équivalence des normes en dimension finie, ou le caractère fermé de tout sous-espace de dimension finie d'un espace normé, sont des résultats fondamentaux à propos desquels les candidats doivent se garder des cercles vicieux. Une telle leçon doit bien sûr contenir beaucoup d'illustrations et d'exemples. Lors du choix de ceux-ci (le jury n'attend pas une liste encyclopédique), le candidat veillera à ne pas mentionner des exemples pour lequel il n'a aucune idée sur leur pertinence et à ne pas se lancer dans des développements trop sophistiqués. L'analyse des constantes de stabilité pour l'interpolation de Lagrange fournit un exemple non trivial et peu présenté.
(2014 : 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues.Exemples.) La justification de la compacité de la boule unité en dimension finie doit être donnée. Le théorème d'équivalence des normes en dimension finie, ou le caractère fermé de tout sous-espace de dimension finie d'un espace normé, sont des résultats fondamentaux à propos desquels les candidats doivent se garder des cercles vicieux. Une telle leçon doit bien-sûr contenir beaucoup d'illustrations et d'exemples. Lors du choix de ceux-ci (le jury n'attend pas une liste encyclopédique), le candidat veillera à ne pas mentionner des exemples sans avoir aucune idée de leur étude et à ne pas se lancer dans des développements trop sophistiqués. L'analyse des constantes de stabilité pour l'interpolation de Lagrange fournit un exemple non trivial peu présenté. Pour des candidats aguerris, la formulation variationnelle de problèmes elliptiques mono-dimensionnels peut donner lieu à des approfondissements intéressants.

Développements :

Plans/remarques :

2023 : Leçon 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet.
    Si cela peut aider des gens, avec plaisir !
    Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ).
    Les références sont à la fin.
    Attention aux éventuels coquilles.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.


2020 : Leçon 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
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2019 : Leçon 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.


2018 : Leçon 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.


2017 : Leçon 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.


2016 : Leçon 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.


Retours d'oraux :

2022 : Leçon 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

  • Leçon choisie :

    208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

  • Autre leçon :

    226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Un deuxième développement hors sujet, bien que ce soit une application de l'isométrie de Plancherel qui est le prolongement d'une application linéaire continue. Des questions autours du développements et de mon Lemme qui portait sur la caractérisation des espaces vectoriels normés complet par les séries, on m'a demandé des détails sur la construction d'une sous suite. J'ai eu des questions basiques sur les espaces L^p .
    Le jury m'a demandé une esquisse de preuve de l'équivalence des normes et de la continuité des applications linéaires continues en dimension finies et un exercice sur des applications linéaires non continues en dimension infini. On m'a demandé ce que voulait dire l'équivalence des normes d'un point de vue géométrique. Et des questions sur les espaces de Hilbert ainsi qu'un exercice auxquels j'ai su répondre bien que je ne parlais pas des Hilbert dans mon plan.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Un jury plutôt bienveillant et qui n'hésite pas à donner des indications lorsque l'on bloque.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'étais très content de mon oral, j'avais à mon sens fais une bonne présentation et un développement maitrisé et des questions auxquels j'ai su répondre même si des indications étaient nécessaire parfois. Malgré cela la note ne suit pas mes impressions.

  • Note obtenue :

    8


2018 : Leçon 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

  • Leçon choisie :

    208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

  • Autre leçon :

    230 : Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Espace de Bergman du disque unité

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    - Beaucoup de questions sur le développement (rappel de la formule de Cauchy, développer l'argument de convergence uniforme sur tout compact...)

    - Le résultat reste-t-il vrai pour d'autres ouverts que le disque ?

    - Comment calculer la norme de f à l'aide de son développement en série entière ? (utiliser Parseval et les calculs du développement)

    - Comment montrer l'implication de ( si (f | en) = 0 pour tout n alors f = 0) vers ( (en) est une suite totale). Il faut utiliser une conséquence du théorème de projection de Riesz.

    -Rappel de la définition d'une fonction holomorphe, lien avec la différentielle, interprétation géométrique ? Il voulait que je parle de similitude et des équations de Cauchy-Riemann, il a dû beaucoup me pousser pour avancer.

    - Un exercice sur des normes. On se place sur l'espace des polynômes, et l'on considère les normes : sup(coeff de P), sup(P) sur [0,1], et intégrale de P^2 sur [0,1]. Rappeler rapidement pourquoi ce sont des normes. L'application P -> P(0) est elle continue pour ces normes ? C'est clair pour les 2 premières, faux pour la dernière (il faut bidouiller une suite de polynômes, je n'ai pas eu le temps de finir).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Très bienveillant, ils me guidaient toujours en cas de blocage.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je m'attendais à plus de questions sur le plan ou des exercices, finalement plus de questions autour du développement.

  • Note obtenue :

    14.75