Si $(X,\mathcal{A}, \mu)$ est un espace probabilisé, tout sous-espace de $L^{\infty}(X,\mathcal{A})$, fermé dans $L^p(X,\mathcal{A},\mu)$ pour un certain $p \geqslant 1$, est de dimension finie.
Soit $(X,\mathcal{A},\mu)$ un espace mesuré de mesure finie. Soit un réel $p\ge1$ et $V$ un sous-espace vectoriel fermé de $\mathbb{L}^p(\mu)$ qui est inclus dans $\mathbb{L}^{\infty}(\mu)$. Alors $V$ est de dimension finie.
Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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