Leçon 206 : Exemples d'utilisation de la notion de dimension finie en analyse.

(2023) 206

Dernier rapport du Jury :

(2023 : 206 - Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse) (Rapport 2022) Cette leçon d'exemples sera pour le candidat l'occasion d'une réflexion sur de nombreuses parties du programme. En topologie, il s'agit bien sûr des propriétés spécifiques aux espaces normés de dimension finie, notamment l'utilisation des valeurs d'adhérence, l'équivalence des normes ou encore l'identité entre parties compactes et parties fermées et bornées. D'autres champs d'application sont : la théorie de la mesure (mesure de Lebesgue sur $R^d$), le calcul différentiel (utilisation de matrices jacobiennes, espaces tangents, extrema liés, etc.), les équations différentielles linéaires, les séries de Fourier et plus généralement l'approximation dans un espace préhilbertien séparable par projection sur des sous-espaces de dimension finie. Les candidats solides pourront aborder la question de l'unicité de la meilleure approximation uniforme d'une fonction continue sur un segment par des polynômes de degré au plus égal à d, ou les liens entre la régularité et la qualité de l'approximation par des polynômes (algébriques ou trigonométriques) voire des fonctions rationnelles. D'autres pistes possibles sont l'étude des propriétés spectrales des opérateurs compacts, ou le théorème de Grothendieck sur les sous-espaces fermés de $L^p$ contenus dans $L^\infty$.

Plans/remarques :

2023 : Leçon 206 - Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse

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  • Remarque :
    Références en fin de plan.

    C’est une leçon très vaste dans laquelle on peut mettre beaucoup de choses. J’ai choisi de me concentrer sur les espaces vectoriels normés, le calcul différentiel et les espaces préhilbertiens, avec les séries de Fourier. En partie IV, je donne d’autres applications possibles.

    Développements :
    1) Équivalence des normes et théorème de Riesz [je ne l’ai pas encore appris, si c’est trop court je rajouterai le contre-exemple 4]
    2) Lemme de Morse

    Plan :
    I. Espaces vectoriels normés
    1) Toplogie
    2) Applications linéaires
    3) Compacité
    II. Calcul différentiel
    1) Différentielle et dérivée partielle
    2) Théorème d’inversion locale et lemme de Morse
    III. Espaces préhilbertiens et séries de Fourier
    1) Projection orthogonale dans un espace préhilbertien
    2) Application aux séries de Fourier
    IV. Autres applications possibles
    1) Optimisation en dimension finie
    2) Équations différentielles

    On aurait aussi pu parler de la mesure de Lebesgue. Le Briane Pagès le fait très bien. De même, dans la partie Calcul Différentiel, on peut aussi évoquer les matrices jacobiennes (c’est fait dans le Gourdon) et les espaces tangents pour aller plus loin.

    On peut aussi taper dans des notions plus difficiles (notamment dans tout ce qui est lié aux opérateurs) mais mon niveau ne me le permet pas xD
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    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
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Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Analyse , Gourdon (utilisée dans 400 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 237 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 214 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 135 versions au total)
Analyse fonctionnelle - Théorie et applications, Brezis, Haim (utilisée dans 27 versions au total)
Cours d'analyse , Pommelet (utilisée dans 45 versions au total)
Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li (utilisée dans 44 versions au total)
Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani (utilisée dans 44 versions au total)
Analyse numérique et équation différentielle , Demailly (utilisée dans 52 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel [Doublon], François Rouvière (utilisée dans 19 versions au total)
Cours de Mathématiques - 1 Algèbre, Arnaudiès - Fraysse (utilisée dans 12 versions au total)
Elements d'analyse fonctionnelle , Hirsch (utilisée dans 62 versions au total)
Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani (utilisée dans 56 versions au total)
Équations différentielles, Florent Berthelin (utilisée dans 36 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 162 versions au total)