Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions

El Amrani

Utilisée dans les 3 développements suivants :

Théorème de Weierstrass (par les probabilités)
Théorème de Fejer
Règle de Raabe-Duhamel, exemples

Utilisée dans les 17 leçons suivantes :

102 (2025) Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.
201 (2025) Espaces de fonctions. Exemples et applications.
209 (2025) Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.
223 (2025) Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.
230 (2025) Séries de nombres réels et complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
235 (2025) Problèmes d’interversion de symboles en analyse
239 (2025) Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
241 (2025) Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
246 (2025) Séries de Fourier. Exemples et applications.
222 (2022) Exemples d'études d'équations différentielles linéaires et d'équations aux dérivées partielles linéaires.
228 (2025) Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.
236 (2025) Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
226 (2025) Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
243 (2025) Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
206 (2025) Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.
224 (2025) Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.
218 (2025) Formules de Taylor. Exemples et applications.

Utilisée dans les 4 versions de développements suivants :


Utilisée dans les 90 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    J'ai fait cette leçon en tout début d'année, juste après la 241. Je pense qu'il y a à peu près tout ce qui doit s'y trouver, on peut rajouter des choses sur l'analyticité mais il ne faut pas trop en mettre car il y a une leçon consacrée à cela : la 245.

    /!\ Le DEV 2 : Nombres de Bell rentre très bien dans cette leçon, mais à la fin de l'année, je l'avais remplacé par le théorème de Runge que j'aurais mis dans II-2) par exemple.

    Je suis resté sur des choses assez basiques pour cette leçon, on peut sûrement trouver des résultats plus sophistiqués si on est très à l'aise, notamment des critères pour qu'une fonction soit développable en série entière, ou sur les singularités d'une fonction holomorphe et le rayon maximal des séries entières...

    Il faut bien savoir trouver le rayon de convergence d'une série entière en utilisant l'une des formules (D'Alembert, Cauchy-Hadamard...) et il faut bien savoir comment on obtient l'existence et l'unicité de ce rayon de convergence (lemme d'Abel). Il faut aussi savoir démontrer qu'une série entière converge normalement sur tout compact du disque ouvert de convergence, savoir étudier ce qui se passe sur le cercle d'incertitude dans certains cas...
    Il faut aussi faire attention à ne pas dire de bêtises sur les séries entières, c'est le genre de sujets où on peut en dire facilement. Je conseillerais de bien lire tout le chapitre du El Amrani là-dessus.
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