Leçon 246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

(2023) 246
(2025) 246

Dernier rapport du Jury :

(2022 : 246 - Séries de Fourier. Exemples et applications.) Dans cette leçon, la théorie $L^2$ est incontournable, et son interprétation en terme d'isométrie doit être mise en évidence. Les candidats doivent pouvoir écrire l'identité de Parseval pour exprimer le produit scalaire de deux fonctions de $L^2(T)$. En ce qui concerne la convergence simple, ou uniforme ou en norme $L^p$ au sens de Cesàro, les propriétés cruciales des noyaux utilisés devront être clairement explicitées. Un autre thème important est le lien entre régularité de la fonction et vitesse de convergence vers 0 de ses coefficients de Fourier. Il est important d'illustrer cette leçon de quelques unes des innombrables applications des séries de Fourier : calculs de sommes de séries, équations aux dérivées partielles (équation de la chaleur, problème de Dirichlet sur le disque unité, etc.), inégalité de Bernstein, formule sommatoire de Poisson et ses applications, inégalité isopérimétrique, etc. Les candidats solides pourront s'intéresser à la divergence des séries de Fourier dans divers contextes, soit en exhibant des contre-exemples, soit en utilisant la théorie de Baire. Mais aussi aux procédés de sommation presque partout des séries de Fourier, aux séries de Fourier lacunaires, à l'algèbre de Wiener des séries de Fourier absolument convergentes, la convergence de la série de Fourier d'une fonction $\alpha$-höldérienne si $\alpha > \frac{1}{2}$, etc.

(2019 : 246 - Séries de Fourier. Exemples et applications.) Les différents résultats autour de la convergence ($L^2$, Fejér, Dirichlet,...) doivent être connus. On prendra garde au sens de la notation $\sum_{n \in \mathbb{Z}}$ (qu’il est plus prudent d’éviter car elle est souvent inadaptée). Il faut avoir les idées claires sur la notion de fonctions de classe $C^1$ par morceaux(elles ne sont pas forcément continues). Le théorème d’isométrie bijective entre espaces $L^2$ et $l^2$ doit apparaître. Dans le cas d’une fonction continue et $C^1$ par morceaux on peut conclure sur la convergence normale de la série de Fourier sans utiliser le théorème de Dirichlet. Il est classique d’obtenir des sommes de séries remarquables comme conséquence de ces théorèmes. $\\$ On peut aussi s’intéresser à la formule de Poisson et à ses conséquences. L’existence d’exemples de séries de Fourier divergentes, associées à des fonctions continues (qu’ils soient explicites ou obtenus par des techniques d’analyse fonctionnelle) peuvent aussi compléter le contenu. $\\$ Il est souhaitable que cette leçon ne se réduise pas à un cours abstrait sur les coefficients de Fourier. La résolution d’équations aux dérivées partielles (par exemple l’équation de la chaleur ou l’équation des ondes avec une estimation de la vitesse de convergence) peut illustrer de manière pertinente cette leçon, mais on peut penser à bien d’autres applications (inégalité isopérimétrique, comportements remarquables des fonctions à spectre lacunaire,...).
(2017 : 246 - Séries de Fouriers. Exemples et applications.) Les différents résultats autour de la convergence ($L^2$, Féjer, Dirichlet, ...) doivent être connus. On prendra garde au sens de la notation $\sum_{n \in Z}$ (qu’il peut être plus prudent d’éviter en général). Il faut avoir les idées claires sur la notion de fonctions de classe $C^1$ par morceaux (elles ne sont pas forcément continues). Dans le cas d’une fonction continue et $C^1$ par morceaux on peut conclure sur la convergence normale de la série Fourier sans utiliser le théorème de Dirichlet. Il est classique d’obtenir des sommes de séries remarquables comme conséquence de ces théorèmes. On peut aussi s’intéresser à la formule de Poisson et à ses conséquences. L’existence d’exemples de séries de Fourier divergentes, associées à des fonctions continues (qu’ils soient explicites ou obtenus par des techniques d’analyse fonctionnelle) peuvent aussi compléter le contenu. Il est souhaitable que cette leçon ne se réduise pas à un cours abstrait sur les cœfficients de Fourier. La résolution d’équations aux dérivées partielles (par exemple l’équation de la chaleur ou l’équation des ondes avec une estimation de la vitesse de convergence) peuvent illustrer de manière pertinente cette leçon, mais on peut penser à bien d’autres applications (inégalité isopérimétrique, comportements remarquables des fonctions à spectre lacunaire,... ).
(2016 : 246 - Séries de Fourier. Exemples et applications. ) Les différents résultats autour de la convergence ($L^2$ , Fejér, Dirichlet, . . .) doivent être connus. Il faut avoir les idées claires sur la notion de fonctions de classe $C^1$ par morceaux (elles ne sont pas forcément continues). Dans le cas d’une fonction continue et $C^1$ par morceaux on peut conclure sur la convergence normale de la série Fourier sans utiliser le théorème de Dirichlet. Il est classique d’obtenir des sommes de séries remarquables comme conséquence de ces théorèmes. On peut aussi s’intéresser à la formule de Poisson et à ses conséquences. L’existence d’exemples de séries de Fourier divergentes, associées à des fonctions continues (qu’ils soient explicites ou obtenus par des techniques d’analyse fonctionnelle) peuvent aussi compléter le contenu. Mais il est souhaitable que cette leçon ne se réduise pas à un cours abstrait sur les coefficients de Fourier. La résolution d’équations aux dérivées partielles (par exemple l’équation de la chaleur) peuvent illustrer de manière pertinente cette leçon, mais on peut penser à bien d’autres applications (inégalité isopérimétrique, comportements remarquables des fonctions à spectre lacunaire, ...).
(2015 : 246 - Séries de Fourier. Exemples et applications.) Les différents modes de convergence ( L , Fejer, Dirichlet, ...) doivent être connus. Il faut avoir les idées claires sur la notion de fonctions de classe $C^1$ par morceaux (elles ne sont pas forcément continues). Dans le cas d'une fonction $C^1$ par morceaux on peut conclure sur la convergence normale de la série Fourier sans utiliser le théorème de Dirichlet. Il est souhaitable que cette leçon ne se réduise pas à un cours abstrait sur les coefficients de Fourier. La résolution des équations de la chaleur, de Schrödinger et des ondes dans le cadre de fonctions assez régulières peuvent illustrer de manière pertinente cette leçon.
(2014 : 246 - Séries de Fourier. Exemples et applications.) Les différents modes de convergence ($L^2$ , Fejer, Dirichlet etc...) doivent être connus. Il faut avoir les idées claires sur la notion de fonctions de classe $C^1$ par morceaux (elles ne sont pas forcément continues). Dans le cas d'une fonction continue et $C^1$ par morceaux on peut conclure sur la convergence normale de la série Fourier sans utiliser le théorème de Dirichlet. Il est souhaitable que cette leçon ne se réduise pas à un cours abstrait sur les coefficients de Fourier. La résolution des équations de la chaleur, de Schrödinger et des ondes dans le cadre de fonctions assez régulières peuvent illustrer de manière pertinente cette leçon.

Développements :

Plans/remarques :

2024 : Leçon 246 - Séries de Fourier. Exemples et applications.

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    Une leçon que j'ai pris beaucoup de plaisir à préparer.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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    Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
    Bonne preparation à vous !
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    Quel plaisir de faire cette leçon : tout est dans le El Amrani (merci beaucoup à ce monsieur et à ses livres !)
    J'ai peut-être mis beaucoup de résultats considérés comme "triviaux" mais en sortant de M1, j'étais moyennement à l'aise avec l'analyse de Fourier, et faire cette leçon avec le livre de El Amrani m'a permis de bien consolider tout ça !
    Il faut bien être au clair sur les modes de convergence, les éventuelles implications entre elles. Et surtout, il faut bien savoir quand est-ce qu'on peut écrire $f=\sum\limits_{n \in \mathbb{Z}} c_n(f)e_n$ et en quel sens est-ce que l'on peut écrire ça (convergence dans $L^2$ ? Ponctuelle ?)
    Il faut savoir calculer certaines sommes grâce aux coefficients de Fourier et à la théorie $L^2$ : c'est bien de savoir quelle peut être une fonction à considérer pour calculer $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$ et $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4}$.
    La formule sommatoire de Poisson n'est pas très compliquée à travailler, tout est dans le Gourdon.
    Quant à l'équation de la chaleur, même si on ne la traite pas en DEV, ça me semble vraiment bien d'en parler car c'est historiquement l'une des origines de l'analyse de Fourier.
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2023 : Leçon 246 - Séries de Fourier. Exemples et applications.

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    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
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2018 : Leçon 246 - Séries de Fourier. Exemples et applications.


2017 : Leçon 246 - Séries de Fouriers. Exemples et applications.


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Retours d'oraux :

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Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités , Jean-François Dantzer (utilisée dans 42 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 219 versions au total)
Thèmes pour l'agrégation de mathématiques - Eléments de cours, développements et exercices corrigés, Houkari (utilisée dans 15 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 596 versions au total)
Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel (utilisée dans 37 versions au total)
Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani (utilisée dans 92 versions au total)
Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani (utilisée dans 109 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 67 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 4 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 64 versions au total)
Analyse harmonique réelle , Willem (utilisée dans 19 versions au total)
Topologie , Queffelec (utilisée dans 33 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 292 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 150 versions au total)
Fourier Analysis, Stein, Shakarchi (utilisée dans 7 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 144 versions au total)
131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 75 versions au total)
Cours de mathématiques, Tome 3 : Compléments d'analyse, Arnaudiès, Fraysse (utilisée dans 2 versions au total)
Exercices pour l'agrégation - Analyse 1 , Chambert-Loir (utilisée dans 5 versions au total)
Exercices pour l'agrégation - Analyse 2 , Chambert-Loir (utilisée dans 4 versions au total)
Calcul intégral, Candelpergher (utilisée dans 33 versions au total)
Analyse numérique et optimisation : une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique, Allaire (utilisée dans 34 versions au total)