Objectif Agrégation

Beck, Malick, Peyré

Utilisée dans les 20 développements suivants :

Algorithme de Berlekamp
Enveloppe convexe de On(R)
Théorème de Brauer
Calcul de exp(Mn(C)) et exp(Mn(R))
Densité des polynômes orthogonaux (base hilbertienne)
Théorème de Frobenius-Zolotarev
Théorème ergodique de Von Neumann
Extrema liés
Théorème de Fejer
Résultant : L'ensemble des nombres algébriques est une k-algèbre
Transformée de Fourier d'une gaussienne
Critère de nilpotence de Cartan
Diagonalisabilité de l'exponentielle de matrice
Prolongement de la fonction Gamma d'Euler
Point de Fermat d'un triangle
Équation de Burgers
Espace tangent et extrema liés
Densité des polynômes orthogonaux et contrexemple
Forme normale de Smith
Système de congruences (cas général)

Utilisée dans les 53 leçons suivantes :

123 (2025) Corps finis. Applications.
149 (2025) Déterminant. Exemples et applications.
239 (2025) Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
151 (2025) Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
201 (2025) Espaces de fonctions. Exemples et applications.
219 (2025) Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
207 (2022) Prolongement de fonctions. Exemples et applications.
243 (2025) Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
213 (2025) Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.
202 (2019) Exemples de parties denses et applications.
204 (2025) Connexité. Exemples d’applications.
142 (2025) PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
209 (2025) Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.
214 (2025) Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.
106 (2025) Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
122 (2025) Anneaux principaux. Exemples et applications.
126 (2023) Exemples d’équations en arithmétique.
144 (2025) Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
150 (2022) Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
150 (2025) Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
152 (2025) Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
156 (2025) Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
159 (2025) Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
208 (2025) Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
215 (2025) Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.
245 (2025) Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications
234 (2025) Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
250 (2025) Transformation de Fourier. Applications.
236 (2025) Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
141 (2025) Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
229 (2025) Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
253 (2025) Utilisation de la notion de convexité en analyse.
235 (2025) Problèmes d’interversion de symboles en analyse
148 (2025) Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
241 (2025) Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
246 (2025) Séries de Fourier. Exemples et applications.
154 (2024) Exemples de décompositions de matrices. Applications.
206 (2025) Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.
171 (2025) Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
226 (2025) Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
244 (2024) Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.
105 (2025) Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
155 (2025) Exponentielle de matrices. Applications.
230 (2025) Séries de nombres réels et complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
121 (2025) Nombres premiers. Applications.
157 (2025) Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
125 (2025) Extensions de corps. Exemples et applications
161 (2025) Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.
162 (2025) Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
181 (2025) Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.
191 (2025) Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.
218 (2025) Formules de Taylor. Exemples et applications.
153 (2025) Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

Utilisée dans les 74 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 159, 161 et 181.

    Ma version est une version "minimale" qui n'utilise pas Hahn-Banach, mais une version affaiblie du tout début de la démonstration de ce théorème dans un espace de Hilbert qui est très simple à démontrer.
    Attention à bien préciser que l'on admet deux gros théorèmes pour ce développement : Caratheodory et la décomposition polaire.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 207, 213, 234, 245 et 250.

    Le développement n'est pas difficile, mais risqué car il faut être prêt à répondre à la question "à quoi ça sert ?", et là les choses se compliquent.
    Pour information, le sujet d'analyse de 2010 utilisait les polynômes de Hermite pour la résolution d'une équation différentielle.

    Par ailleurs il est bon de se poser la question de l'optimalité, i.e. à partir de quelle puissance de $|x|$ dans l'exponentielle il n'y a plus densité (de mémoire en dessous de $1/2$ ça ne marche plus).

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 207, 235, 239, 245 et 265.

    Version qui n'utilise pas la relation $\Gamma(z+1)=z * \Gamma(z)$, mais qui explicite $\Gamma$ comme la somme d'une fonction méromorphe sur C et d'une fonction entière.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Développement qui se recase un peu partout qui utilise beaucoup de notions différentes consistant d'un théorème et d'un contrexemple.

    Résultats satellites:
    1. Inégalité de Hölder
    2. Développement en série entière des fonctions holomorphes
    3. Théorème de prolongement analytique
    4. Injectivité de la transformée de Fourier
    5. Tout espace de Hilbert séparable admet une base hilbertienne dénombrable

    Développement n°3 sur 28.
    Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Recasages : 105,106,101,108

    Développement très sympa, permet de parler des matrices de permutations (une application est l'existence dans le théorème de Sylow)
    Il y a une partie de la démo dans le Beck qui touche pas d'herbe : il faut penser à utiliser l'unicité de la décomposition en produit de polynômes irréductibles, et l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques dans Q[X].

    Lien direct vers le fichier : https://file.notion.so/f/s/fffe793f-5951-4166-a899-d2ee9b4d7bfc/Theoreme_de_Brauer.pdf?id=7cbf3bee-8e32-40cb-8c5b-55d9c729d629&table=block&spaceId=687bfd0e-1fc2-4484-9a48-571d8d7ee864&expirationTimestamp=1689883200000&signature=2aVbSv0pkXJpNdWJyvF3lkqWNVCV4zIkHsX7jWgn-Mw&downloadName=Théorème+de+Brauer.pdf

    Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Un développement de géométrie utilisant des techniques d'analyse. Il est compliqué (vraiment, je trouve), mais je le garde car je pense qu'il est vraiment rentable au niveau appréciation du jury : c'est de la géométrie ! Et aussi, je l'aime bien.

    Je pense qu'il faut vraiment bien le travailler si on le prend pour l'oral. Je compte reprendre la construction du point de Fermat (remarque 4 dans mon document), que je détaillerai peut-être un peu plus prochainement.

    Attention : mes arguments diffèrent plus ou moins des références.

    Recasage impossible en 191 : ce n'est pas de l'algèbre (dommage...).

    Attention aux coquilles.
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    J'ai l'impression que dire que $P$ s'écrit comme le produit des $\mathrm{pgcd}(P,V-\alpha)$ est un peu superflu, exhiber un facteur non-trivial suffit pour enclencher la récurrence et donc ça peut vous faire gagner du temps. Sinon très bonne version dans Objectif Agrégation, comparé à la version du Demazure qui est imbitable (pour moi)
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Dans cette version du développement, on utilise le théorème de méromorphie sous le signe de série. Ce n'est pas un théorème vraiment usuel, et il est pourtant central dans la preuve. Je n'ai jamais réussi à trouver une référence qui montre convenablement ce théorème, il convient de se renseigner.
    Hormis ce bémol (non négligeable à mon goût) le développement est plutôt joli. S'il est trop court, on pourra toujours démontrer au départ que la fonction Gamma est définie sur l'espace des complexes de partie réelle strictement positive.

    Côté recasages à mon avis:
    Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre
    Fonctions usuelles et spéciales
    Problèmes d'interversion en analyse
    Fonctions holomorphes

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Joli résultat, mais développement somme toute assez risqué. Il faut maîtriser le théorème de projection sur les convexes fermés dans un Hilbert (bon en même temps, il faut le maîtriser de toute façon), la décomposition polaire, et plus précisément sa version non inversible, le dual de Mn(R) (pas trop difficile) et le fameux théorème de Carathéodory. En dimension finie, il est honnêtement démontré dans un des Gourdon (je ne sais plus si c'est en algèbre ou en analyse). Il passe relativement bien dans le temps imparti, mais il faut quand même bien le connaître, et ne pas trop traîner. Un schéma pour la propriété de séparation dans les Hilbert ne fait pas de mal. Le Queffelec traite le lemme, et le BMP le reste. Ceci dit, je n'étais pas convaincu de la qualité de ces références, il faut mieux bien connaître les preuves. Côté recasages à mon avis:

    - Espaces vectoriels affines et euclidiens : distances, isométries
    - Convexité dans Rn (de part l'utilisation importante des barycentres dans le lemme, et le fait qu'on parle quand même d'enveloppe convexe...)
    - Dualité et formes linéaires en dimension finie. Si on le recase dans cette leçon, il faut quand même prouver, je pense, que le dual de Mn(R) est ce qu'il est, quitte à enlever quelque chose d'autre.
    - Endomorphismes remarquables dans un ev de dimension finie

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Références :
  • Fichier :

Utilisée dans les 219 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    J'aime beaucoup cette leçon. J'aurais peut-être dû ne pas faire de schéma du folium pour gagner de la place pour les autres schémas. Il faut être au point sur les preuves usuelles de la leçon (dont inversion locale !). Il aurait été bon que je mette plus d'exemples "pratiques" ou plus développés mais... j'avais besoin de place pour bien traiter la géo diff.
    Petits typos :
    -dans l'ex2, il faut préciser que les intervalles sont ouverts, et je ne parle pas d'un cercle mais d'un disque
    -dans mes propriétés 29 et 30, il est plus juste d'écrire "Localement, à difféomorphisme près" ou "A difféomorphismes locaux près" : il n'y a pas unicité du difféo...

    A propos des refs, Lafontaine traite très bien la géodiff et l'inversion locale. Objectif Agrégation est une perle pour les applications et les schémas. Rouvière est très bien pour les exemples et applications, mais je n'aime vraiment pas son formalisme dans le cours (il se perd dans des formulations analytiques au lieu de parler d'injectivité/surjectivité des différentielles...).

    En bref, une leçon très plaisante, où l'on a énormément de choses à dire - il ne faut pas trainer le jour J.
  • Références :
  • Fichier :
  • Leçon :
  • Remarque :
    Références en fin de plan.

    C’est une leçon très vaste dans laquelle on peut mettre beaucoup de choses. J’ai choisi de me concentrer sur les espaces vectoriels normés, le calcul différentiel et les espaces préhilbertiens, avec les séries de Fourier. En partie IV, je donne d’autres applications possibles.

    Développements :
    1) Équivalence des normes et théorème de Riesz [je ne l’ai pas encore appris, si c’est trop court je rajouterai le contre-exemple 4]
    2) Lemme de Morse

    Plan :
    I. Espaces vectoriels normés
    1) Toplogie
    2) Applications linéaires
    3) Compacité
    II. Calcul différentiel
    1) Différentielle et dérivée partielle
    2) Théorème d’inversion locale et lemme de Morse
    III. Espaces préhilbertiens et séries de Fourier
    1) Projection orthogonale dans un espace préhilbertien
    2) Application aux séries de Fourier
    IV. Autres applications possibles
    1) Optimisation en dimension finie
    2) Équations différentielles

    On aurait aussi pu parler de la mesure de Lebesgue. Le Briane Pagès le fait très bien. De même, dans la partie Calcul Différentiel, on peut aussi évoquer les matrices jacobiennes (c’est fait dans le Gourdon) et les espaces tangents pour aller plus loin.

    On peut aussi taper dans des notions plus difficiles (notamment dans tout ce qui est lié aux opérateurs) mais mon niveau ne me le permet pas xD
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  • Remarque :
    Ah la la cette leçon ! C'est une impasse pour beaucoup de gens (ce que je comprends), mais grâce à une bonne amie, j'ai pu avoir les outils pour la travailler et je me suis lancé pour la faire et la présenter en classe. Elle demande pas mal de travail, et honnêtement je ne sais pas si c'est un si bon investissement que ça mais personnellement elle m'a beaucoup plu.
    Il faut savoir démontrer les 2 théorèmes du titre de la leçon (au moins l'un des deux et avoir une idée de comment en déduire l'autre) et surtout faire plein d'exercices d'application plus ou moins "futée" de ces théorèmes. On trouve de belles applications du TFI dans le Beck (EX29 et EX30).
    Après, il y a la partie difficile : les sous-variétés... Le Lafontaine les traite, mais de là à dire qu'il les traite d'une façon parfaitement claire... C'est autre chose... Dans notre prépa agreg, on a demandé à un prof de nous faire un mini-cours sur les sous-variétés. Dans le fond, il n'y a pas grand chose à savoir mais ça reste difficile : la définition d'une sous-variété accompagnée du schéma, et toutes les caractérisations (par une équation implicite, par un paramétrage, par un graphe), et enfin la notion d'espace tangent. Il faut connaître chaque caractérisation de l'espace tangent correspondant à la caractérisation de la sous-variété, et surtout faire des exemples ! Trouver l'espace tangent en un point à la sphère, à $\text{SL}_n(\mathbb{R})$, à $O_n(\mathbb{R})$... Et ça suffit, pas besoin d'aller vers la géométrie différentielle dans le cadre général (pas besoin de parler de cartes, d'atlas ou je ne sais quoi...)
    Dans l'optique de travailler toutes ces notions, je conseille d'essayer de faire en développement le théorème des extrema liés (voir ma version du DEV). Le seul problème, c'est qu'il n'y a pas de référence à proprement parler pour ce développement, à part le Avez Calcul Différentiel mais c'est un vieux livre de calcul diff franchement pas très digeste...
    Pour finir, si j'étais tombé dessus le jour J, je n'aurais certainement pas mis EX33, THM52 et EX57 (je fais l'inégalité de Hadamard autrement).
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  • Remarque :
    Cette leçon demande par mal d'investissement car le calcul différentiel n'est plus très privilégié alors il est rare d'avoir un bon cours qui traite très bien le théorème d'inversion locale et le théorème des fonctions implicites et qui donne des exemples d'applications ! Il faut savoir démontrer les 2 théorèmes du titre de la leçon (au moins l'un des deux et avoir une idée de comment en déduire l'autre) et surtout faire pas mal d'exercices d'application de ces théorèmes afin de mieux les retenir.
    Après, il y a les sous-variétés... Cette notion est encore moins traitée que le calcul différentiel alors elle demande encore plus d'investissement... Dans le fond, il n'y a pas grand chose à savoir (définition d'une sous-variété accompagnée du schéma, caractérisations (par une équation implicite, par un paramétrage, par un graphe), et enfin la notion d'espace tangent) mais ça reste difficile lorsqu'on en a jamais fait. Il faut également connaître chaque caractérisation de l'espace tangent correspondant à la caractérisation de la sous-variété, et surtout faire des exemples et trouver des espaces tangents en un point dans des espaces de matrices par exemple. Inutile ensuite d'aller plus loin vers la géométrie différentielle dans le cadre général (pas besoin de parler de cartes ou d'atlas !) car le jury sait que cette leçon est difficile pour les candidats alors il ne demande pas un niveau de maîtrise excellent.

    N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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