Leçon 157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

(2019) 157

Dernier rapport du Jury :

(2019 : 157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.) Il est indispensable de connaître les polynômes caractéristiques et minimaux d’un endomorphisme nilpotent et de savoir justifier son caractère trigonalisable. Il est bon de savoir expliquer pourquoi l’application induite par un endomorphisme trigonalisable (respectivement nilpotent) sur un sous-espace stable est encore trigonalisable (respectivement nilpotent). L’utilisation des noyaux itérés est fondamentale dans cette leçon, par exemple pour déterminer si deux matrices nilpotentes sont semblables. Il est intéressant de présenter des conditions suffisantes de trigonalisation simultanée ; l’étude des endomorphismes cycliques a toute sa place dans cette leçon. L’étude des nilpotents en dimension 2 débouche naturellement sur des problèmes de quadriques et l’étude sur un corps fini donne lieu à de jolis problèmes de dénombrement. $\\$ S’ils le désirent, les candidats peuvent aussi présenter la décomposition de Frobenius, ou des caractérisations topologiques des endomorphismes nilpotents, ou encore des propriétés topologiques de l’ensemble des endomorphismes nilpotents.

(2017 : 157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.) L’utilisation des noyaux itérés est fondamentale dans cette leçon, par exemple pour déterminer si deux matrices nilpotentes sont semblables. Il est intéressant de présenter des conditions suffisantes de trigonalisation simultanée ; l’étude des endomorphismes cycliques a toute sa place dans cette leçon. L’étude des nilpotents en dimension 2 débouche naturellement sur des problèmes de quadriques et l’étude sur un corps fini donne lieu à de jolis problèmes de dénombrement. S’ils le désirent, les candidats peuvent aussi présenter la décomposition de Frobenius .
(2016 : 157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.) L’utilisation des noyaux itérés est fondamentale dans cette leçon, ceci pour déterminer si deux matrices nilpotentes sont semblables par exemple. Il est intéressant de présenter des conditions suffisantes de trigonalisation simultanée ; l’étude des endomorphismes cycliques a toute sa place dans cette leçon. Notons que l’étude des nilpotents en dimension 2 débouche naturellement sur des problèmes de quadriques et que l’étude sur un corps fini donne lieu à de jolis problèmes de dénombrement. S’ils le désirent, les candidats peuvent aussi présenter la décomposition de Frobenius.
(2015 : 157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.) Il est possible de mener une leçon de bon niveau, même sans la décomposition de Jordan, à l'aide des noyaux itérés. On doit savoir déterminer si deux matrices nilpotentes sont semblables grâce aux noyaux itérés (ou grâce à la décomposition de Jordan si celle-ci est maîtrisée). Deux endomorphismes trigonalisables qui commutent sont simultanément trigonalisables, mais une grande proportion de candidats pensent à tort que la réciproque est vraie. Notons que l'étude des nilpotents en dimension 2 débouche naturellement sur des problèmes de quadriques et que l'étude sur un corps fini donne lieu à de jolis problèmes de dénombrement.
(2014 : 157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.) Il est possible de mener une leçon de bon niveau, même sans la décomposition de Jordan à l'aide des noyaux itérés. On doit savoir déterminer si deux matrices nilpotentes sont semblables grâce aux noyaux itérés (ou grâce à la décomposition de Jordan si celle-ci est maîtrisée). Notons que l'étude des nilpotents en dimension 2 débouche naturellement sur des problèmes de quadriques et l'étude sur un corps fini donne lieu à de jolis problèmes de dénombrement.

Développements :

Plans/remarques :

2020 : Leçon 157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.


2019 : Leçon 157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.


2018 : Leçon 157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.


2017 : Leçon 157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.


2016 : Leçon 157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.


2015 : Leçon 157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.


Retours d'oraux :

2020 : Leçon 157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Leçon choisie :

    157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Autre leçon :

    104 : Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Connexité par arcs dans les matrices nilpotentes (privées de la matrice nulle) [no pdf]

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    1) Questions sur le dev
    - Plusieurs questions pour préciser les objets introduits dans la démonstration (je crois qu'ils n'ont pas vraiment compris le dev, la faute à une présentation un peu brouillonne)
    - Pourquoi l'application qui à $M$ associe $M^n$ est continue?
    - Pourquoi $GL_n^{+}(\mathbf{R})$ est connexe par arcs? (que j'avais admis pour le dev)
    - Pourquoi l'application qui à une matrice inversible associe son inverse est continue? (utiliser la formule de la comatrice)

    2) Questions sur le plan
    - Faire le lien entre les noyaux itérés et l'ordre de nilpotence d'un endomorphisme nilpotent
    - Soit E un espace vectoriel de dimension finie, $u$ un endomorphisme trigonalisable qui stabilise le drapeau $F_i$ et $g$ un isomorphisme. Quel est le drapeau stabilisé par $g \circ u \circ g^{-1}$? (c'est le drapeau $g(F_i)$). Quel est le principe très général derrière ce résultat? (c'est un résultat sur les stabilisateurs d'une action de groupe)
    - Est ce qu'il existe des matrices non trigonalisables dans $M_n(F_q)$ (une matrice est trigonalisable ssi son polynôme caractéristique est scindé, il suffit de choisir un polynôme $P$ de degré n qu'on ne peut pas scinder dans $F_q[X]$ et on considère la matrice compagnon de $P$)

    3) Exercices
    - Soit $u$ un endomorphisme. Trouver l'ensemble des polynômes en $u$ qui sont nilpotents (si $\mu_u$ est le polynôme minimal de $u$ et $\mu_u = {P_1}^{\alpha_1} {P_2}^{\alpha_2}... P_k^{\alpha_k}$ est sa décomposition en éléments irréductibles de $K[X]$ alors l'ensemble de nilpotents de $K[u]$ est l'ensemble des multiples de $P_1 P_2 ... P_k$)
    - Trouver la dimension maximale d'un sev de $M_n(K)$ constitué de matrices nilpotentes (c'est $d = n(n-1)/2$, exhiber le sev des matrices triangulaires supérieures de diagonale nulle de dimension $d$, et montrer par un argument de dimension que s'il existait un sev de matrices nilpotentes de dimension strictement supérieure à $d$, il intersecterait de façon non triviale l'ensemble des matrices symétriques ce qui est absurde, puisqu'une matrice symétrique et nilpotente est nulle)
    - On suppose $K = \mathbf{C}$. Montrer que $u$ est diagonalisable ssi le seul polynôme en u nilpotent est l'endomorphisme nul (j'ai séché sur celle là).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Un peu d'aide, neutres.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    17

  • Leçon choisie :

    157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Autre leçon :

    161 : Distances et isométries dun espace affine euclidien.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Burnside

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    D’abord quelques questions sur le développement :
    -Pourquoi est ce qu’on peut prendre une base de Vect(G) formée d’éléments de G ?
    On prend tous les éléments de G : c’est générateur et on extrait une base
    -Pourquoi Vect(G) est de dimension finie ?
    C’est inclus dans l’ev des matrices qui est de dimension finie
    -Préciser pourquoi nilpotent implique trace nulle
    -Ensuite ils ont essayé de ma demander si sur un corps autre que C la condition Tr(A^k)=0 pour tout k était encore équivalent à nilpotent
    Un sens est encore vrai (la trace est encore nulle si on est nilpotent car un nilpotent est trigonalisable quel que soit le corps) et ensuite j’ai essayé de
    chercher pourquoi l’autre sens ne serait pas vrai. Ils ont fini par me demander sur quel corps je pouvais me placer pour que la trace de In soit nulle alors
    que In est non nilpotente : j’ai répondu F2 pour les matrices de taille 2 par exemple.

    -Est-ce que je peux mettre tout groupe fini dans Gln (la question n’était pas posée aussi clairement mais j’ai bien compris ce qu’ils attendaient)
    J’ai répondu que oui par Cayley puis les matrices de permutation.
    Question sur le plan :
    -pourquoi si f trigonalisable l’endo induit sur un sous espace stable l’est aussi ?
    Le rapport du jury soulignait le fait qu’il fallait bien avoir compris ce point : le polynôme caractéristique de l’endomorphisme induit divise celui de u donc il
    est également scindé
    -dans mon plan j’ai énoncé la trigonalisation simultanée mais pour une famille finie d’endomorphismes, on m’a demandé si c’était important que la famille
    soit finie (non) et ce qui était important alors (qu’ils commutent 2 à 2)
    -Un autre moyen (que Dunford) pour calculer l’exponentielle de matrice (j’avais parlé de l’exponentielle de matrices dans mon plan) ?
    J’ai mis un peu de temps à comprendre ce qu’elle voulait me faire dire mais j’ai réussi à sortir les polynômes interpolateurs de Lagrange.
    -Un condition suffisante pour que si u et v sont nilpotents u+v le soit aussi
    J’ai répondu que si ils commutaient cela fonctionnait (c’était dans mon plan)
    -Ils ont ensuite essayé de me faire démontrer un proposition de mon plan à la main (j’avais essayé avant de donner un argument de dimension mais qui
    était un peu flou) : N=Vect(u, tr(u)=0) : étant donné une matrice de trace nulle ils voulaient que je le décompose en combinaison linéaire de nilpotents. Je
    n’ai pas réussi à aboutir

    -Un exercice : déterminer l’ensemble de P(u) de K[u] tels que P(u) soit nilpotent (u étant un endomorphisme fixé quelconque
    Je n’ai pas réussi à finir mais ils ont réussi à me faire dire des choses : c’est un sev (car les polynômes en u commutent) de K[u] donc de dimension plus
    petite que le degré du polynôme minimal de u

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était très gentil et encourageant, un des 3 était super enthousiasmé dès qu’il me posait une question et tous hochaient la tête dès que je
    commençais à dire quelque chose qui était bien pour m’encourager.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    15.00


2019 : Leçon 157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Leçon choisie :

    157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Autre leçon :

    108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Critère de nilpotence de cartan [ no pdf]

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -Ils ne connaissaient visiblement pas le critère de nilpotence de cartan ( qui se trouve dans le beck) et ont même cru pendant quelques (longues) minutes que m'ont énoncé était faux et m'ont donc fait écrire l'énoncé au tableau jusqu'à se rendre compte qu'il n'y avait aucune erreur (ouf).
    Mon developpement s'est bien passé. Ils m'avaient demandé avant de me lancer si je pouvais, si le temps me le permettait, prouver le lemme dont je me servais à la fin. Après mon developpement je leur ai proposé de leur montrer, mais ils n'ont finalement pas voulu.
    Ils m'ont ensuite demandé comment il pouvait être utile concrètement ( j'ai dis que c'était un lemme important dans la théorie des algèbres de Lie) et ont demandé une version plus faible qui serait plus directement utile, j'ai donc dis qu'on en déduisait le fameux critère : si A tq pour tout k on a tr(A^k)=0 alors A nilpotent.
    Ensuite, j'avais marqué dans mon plan un exemple de matrice qui n'était pas diagonalisable dans R ( la fameuse (01)(-10)) sauf que j'avais oublié le - et que je n'arrivais pas à comprendre mon erreur. Ils ont donc voulu une interpréation de la matrice en terme géométrique pour que je vois les valeurs propres. (A la toute fin je me suis rendue compte que ah oui en fait elle est symétrique donc ce que je disais choquait...)
    Ensuite je ne me souviens plus clairement mais dans mon plan j'avais parlé de symétrie vectorielle et ils m'ont demandé de le representer et j'ai beaucoup buggé, n'arrivant pas à m'absoudre des symétries orthogonales. J'avais mis de la topologie dans mon plan alors ils m'en ont parlé et j'ai dis des enormes conneries mais m'en suis heureusement rendu compte avant la fin.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était extremement sympathique. Malgré un membre qui était assez froid, les autres étaient sincèrement de bonne humeur mais c'était très agréable !

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Chose à savoir : on a droit à nos notes du temps de préparation pendant l'oral ! Pas pendant le developpement evidemment mais pendant la séance de questions.

  • Note obtenue :

    16


2018 : Leçon 157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Leçon choisie :

    157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Autre leçon :

    102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition de Dunford (version algorithmique ) #effectif #méthodeEuler

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Beaucoup de questions concernant le développement (donner la décomposition de Dunford d'une matrice donnée) puis sur l'exponentielle matricielle (les classiques décomposition de Dunford de l'exponentielle de u en fonction de celle de u, et montrer que l'exponentielle de u est dans K[u]. )

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Très sympathique et bienveillant. Si je bloquais, il me guidait et grâce à cela, j'ai toujours pu aboutir au résultats espérés.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral en général ne m'a pas surpris, ni sa préparation. Ce qui m'a surpris c'est l'organisation qu'il y a tout autour et qui peut donner le vertige pour le premier jour.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.


2015 : Leçon 157 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Leçon choisie :

    157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Autre leçon :

    127 : Droite projective et birapport.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Surjectivité de l'exponentielle matricielle

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quasiment que des questions sur le développement et le plan.

    sur le développement, que je fais à partir de la décomposition de Dunford,

    Pourquoi l'exponentielle est un polynôme en la matrice ? Bah K[A] est fermé :3

    Ouais mais pourquoi c'est fermé ? Donc bon c'est un EV de dimension finie

    Pourquoi l'inverse est un polynôme en la matrice ? Bah on utilise un polynôme annulateur, il a voulu que je lui fasse le calcul de 2 lignes au tableau

    Quel est le lien entre les valeurs propres de la matrice et celle de ça décomposition de Dunford ? En fait on cotrigonalise les deux matrices et vu que la nilpotente a des zéros sur la diagonale on conclut.



    Sur le plan, comment on montre le lemme des noyaux, pourquoi votre deuxième développement est dans le sujet, c'est vrai qu'au début c'est pas immédiat mais toute la démo repose sur une trigonalisation et un calcul que tu fait de la matrice trigonalisée, en quoi tr f^k =0 pour tout k est une caractérisation des matrices nilpotentes, démo que j'ai lu dans le FGN juste avant de passer, et divers autres trucs

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était très sympa, question moyenne assez classiques sur TOUS les points du développement, du coup assez content parce que j'étais au taquet =) Une question à la fin, un peu plus dur et des indications très bizarres 'quel est votre raisonnement mathématique préféré ?' qui me fait me poser la terrible question, toi membre du jury es tu constructiviste ? En l'occurrence il ne l'était pas

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    ça s'est plutôt bien passé, j'ai répondu à quasiment toutes les questions, ils avaient l'air contents. A la fin, l'un m'a demandé si je connaissais une caractérisation géométrique de la trigonalisabilité, j'ai pas trouvé, il m'a parlé de drapeau.

    Le tableau était tout petit, et j'avais des craies, clairement heureusement que je suis passé sur un développement court.

    J'ai dépassé sur la défense de plan, ils m'ont arrêté à la seconde près sans me prévenir, mais vu qu'il me restait juste à présenter mon 2e développement, il m'a demandé de finir.

    Et une remarque qui m'a laissé perplexe 'Vous dîtes qu'une matrice est nilpotente ssi tr f^k =0 pour tout k, mis c'est faux, regardez pour In ça ne marche pas, beaucoup de candidats font l'erreur', je crois qu'il a vite compris que c'était n'imp' et qu'il devait confondre avec une erreur classique, parce que In c'est pas vraiment nilpotent, ou alors j'ai vraiment rien compris ...

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Autre leçon :

    126 : Exemples d'équations diophantiennes.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Petites questions sur quelques points du développement où j'étais allé un peu vite. Quelques questions sur le plan, puis deux exos.

    - Après Householder : comment on choisit $M$ et $N$ en pratique ? (j'avais mis la décomposition $D-E-F$ dans le plan mais pas dit grand-chose dessus) On veut quoi comme bonnes propriétés sur $M$ ? Comment on fait pour savoir si effectivement la méthode va converger ? (ben, on ne regarde pas $\rho (M^{-1}N)$ qui est horrible à calculer, donc on calcule juste des itérations de $x_n = M^{-1}(Nx_{n-1} +b)$ et on regarde si ça a l'air de converger... là, je me suis dit que mon développement, il était vraiment très très très utile, mvoyez).

    - D'après le plan on peut cotrigonaliser $f$ et $g$ s'ils commutent (et sont trigonalisables), est-ce qu'on a une réciproque ?

    - $f$ trigo $\Leftrightarrow$ $\chi_f$ scindé ; et pour le polynôme annulateur ? Comment on prouve le cas $\chi_f$, comment on modifie la preuve pour $\mu_f$ ?

    - Exo 1 : on prend (sic) la matrice $A$ suivante :
    $$
    \begin{matrix}
    1 \esperluette 1 \esperluette -1 \\
    0 \esperluette 4 \esperluette 1 \\
    0 \esperluette 0 \esperluette 9
    \end{matrix}
    $$
    Calculer ses racines carrées.
    Bon, ben la matrice est clairement diagonalisable, on voit bien à quoi ses racines ressemblent. On prend $R$ une racine, elle commute à $A$ puisque $A=R^2$ est un polynôme en $R$, et on travaille là-dessus pour montrer que $R$ est forcément de la bonne forme ($R$ est encore trigonale, puisqu'elle conserve les sous-espaces propres de $A$). J'ai perdu beaucoup de temps sur cet exo bidon, c'était pas beau à voir.

    - Exo 2 : on se donne $A$, $B$ telles que $A+\lambda B$ soit nilpotente en au moins $n+1$ valeurs distinctes de $\lambda$. Montrer que $A$ et $B$ sont nilpotentes.
    On regarde le polynôme caractéristique de $\chi_{A+\lambda B}$ ; à part pour le degré $n$, les coefs sont des polynômes en $\lambda$ qui ont trop de racines pour leur degré donc sont nulles. Après, il reste à évaluer en $0$ pour avoir la nilpotence de $A$, puis en factorisant $\lambda$ on récupère $B$ nilpotente.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas bien dur, des trucs d'AL de petit taupin sur lesquels j'étais pas complètement au point. On m'a, là encore, pas mal aidé dès que je bloquais. Les trois membres du jury sont intervenus et étaient sympa.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Les questions sur les méthodes itératives étaient beaucoup plus sympa que ce que je pensais, j'y connais pas grand-chose au fond mais j'avais de quoi répondre. Sinon, pas de surprise, pas trop de joie non plus parce que c'était pas ouf.

    Note : j'avais Risler dans mon jury, c'est dans son livre qu'il y a l'algorithme de Dunford effectif (que j'avais détaillé dans le plan), j'espère qu'il a kiffé.

  • Note obtenue :

    11.75