Développement : Méthode QR

Détails/Enoncé :

Soit $A\in GL_n(\mathbb{C})$ diagonalisable, on suppose que ses valeurs propres sont de module distincts et on les classe par module décroissant; $|\lambda_1|>..>|\lambda_n|$. On construit la suite
\[\begin{cases}
A_0=A\\
A_{k+1}=R_k Q_k\text{ où }A_k=Q_k R_k\text{ est la décomposition QR de }A_k
\end{cases}\]
On suppose qu'il existe $P\in GL_n(\mathbb{C})$ tel que $A=PDP^{-1}$ où $D=diag(\lambda_1,..,\lambda_n)$ et $P^{-1}$ admet une décomposition $LU$.
Alors la diagonale de $A_k$ converge vers $(\lambda_1,..,\lambda_n)$, et les coefficients sous la diagonale tendent vers 0.