Développement : Méthode QR

Détails/Enoncé :

Soit $A\in GL_n(\mathbb{C})$ diagonalisable, on suppose que ses valeurs propres sont de module distincts et on les classe par module décroissant; $|\lambda_1|>..>|\lambda_n|$. On construit la suite
\[\begin{cases}
A_0=A\\
A_{k+1}=R_k Q_k\text{ où }A_k=Q_k R_k\text{ est la décomposition QR de }A_k
\end{cases}\]
On suppose qu'il existe $P\in GL_n(\mathbb{C})$ tel que $A=PDP^{-1}$ où $D=diag(\lambda_1,..,\lambda_n)$ et $P^{-1}$ admet une décomposition $LU$.
Alors la diagonale de $A_k$ converge vers $(\lambda_1,..,\lambda_n)$, et les coefficients sous la diagonale tendent vers 0.

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

Versions :

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    Ce développement est assez technique, il faut s'accrocher. Je l'ai proposé lors de mon oral d'analyse (leçon 226), mais le jury a choisi le gradient à pas optimal. Aucune question ne m'a été posée sur la méthode QR.

    Selon moi : leçons 148, 149 et 226 (2023). Je pense que ce développement ne rentre absolument pas dans les leçons 157 et 162, contrairement à ce qui est indiqué.

    N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
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    Si ma version peut aider des gens, avec plaisir !
    Référence sur le document.
    Attention aux éventuels coquilles.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Matrices (2ème édition anglaise) , Serre (utilisée dans 3 versions au total)
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet (utilisée dans 63 versions au total)