Leçon 149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

Dernier rapport du Jury :

(2022 : 149 - Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.) Cette leçon doit aborder la notion de vecteurs propres et de valeurs propres de façon générale et mettre en lumière l'exploitation de techniques d'algèbre ou d'analyse pour aborder leur recherche. Après avoir exploré la détermination théorique exacte des éléments propres, on s'intéresse à des exemples de matrices dont les éléments propres sont remarquables (matrices compagnons, matrices circulantes, matrices d'ordre fini...) et donné des exemples de situations où la connaissance d'éléments propres s'avère utile. On doit connaître les limites du calcul exact, même si le cadre mathématique nécessaire est non exigible et hors programme et introduire sur R ou C une ou plusieurs méthodes itératives, dont on démontre la convergence. Les notions de norme matricielle, de rayon spectral doivent être maîtrisées. Le lien avec la convergence des suites du type $X_{n+1} = AX_n$ doit être connu et illustré. On peut s'intéresser à la localisation des valeurs propres. La problématique du conditionnement doit être abordée en distinguant le problème général et le cas particulier des matrices auto-adjointes. Parmi les points intéressants à développer, on peut citer les méthodes de la puissance, puissance inverse et QR pour la recherche d'éléments propres. S'ils le désirent, les candidats peuvent s'intéresser aux liens qui peuvent aussi être fait avec la théorie des représentations et la transformée de Fourier rapide, ainsi qu'au comportement de la suite des itérées de matrices stochastiques ou plus généralement de matriices à coefficients positifs, au moins dans des cas particuliers.

Vous n'êtes pas d'accord avec les recasages ci-dessous ? Connectez-vous pour proposer les vôtres !

Développements :

• Localisation des valeurs propres
• Autour du rayon spectral [pdf]
• Théorème de Perron Frobenius pour les matrices à coefficients strictement positifs
• Caractérisation des matrices nilpotentes par la trace
• Minimisation d'une fonctionnelle quadratique
• Suite de polygones
• Méthode QR
• Critères de convergence pour les méthodes itératives (cas des matrices hermitiennes)
• Décompositions LU et de Cholesky

Plans/remarques :

2022 : Leçon 149 - Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

Retours d'oraux :

Pas de retours pour cette leçon.

Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 493 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 144 versions au total)
Algèbre linéaire numérique, Allaire (utilisée dans 25 versions au total)
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet (utilisée dans 63 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 333 versions au total)
Analyse matricielle , Rombaldi (utilisée dans 21 versions au total)
Analyse Numérique, Francis Filbet (utilisée dans 5 versions au total)
Matrices , Serre (utilisée dans 10 versions au total)