Référence : Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation

Méthode QR

Développement :
Méthode QR
Remarque :
Je ne garantis pas que les choix de notations du livre (que j'ai reprises à quelques détails près) soient les plus indiqués pour réussir à bien voir le chemin de la démonstration et éviter les confusions.
Référence :
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet
Fichier :
- Convergence de la méthode QR.pdf

Résultats de convergence de méthodes d'analyse numérique matricielle

Développement :
Résultats de convergence de méthodes d'analyse numérique matricielle
Remarque :
Pour la leçon 233 uniquement.

Le développement n'est vraiment pas très difficile, une fois que l'on sait ce que sont D, E et F.

Attention à la durée, je n'ai jamais réussi à faire tenir les 4 items en 15 minutes, mais les 3 premiers tiennent.

NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
Références :
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet
- Matrices , Serre
Fichier :
- ANM - V1.pdf

Résultats de convergence de méthodes d'analyse numérique matricielle

Développement :
Résultats de convergence de méthodes d'analyse numérique matricielle
Référence :
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet
Fichier :
- Critère fondamental de convergence des méthodes itératives Ciarlet.pdf

Méthode QR

Développement :
Méthode QR
Remarque :
Ce développement est assez technique, il faut s'accrocher. Je l'ai proposé lors de mon oral d'analyse (leçon 226), mais le jury a choisi le gradient à pas optimal. Aucune question ne m'a été posée sur la méthode QR.

Selon moi : leçons 148, 149 et 226 (2023). Je pense que ce développement ne rentre absolument pas dans les leçons 157 et 162, contrairement à ce qui est indiqué.

N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
Référence :
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet
Fichier :
- Malartre_méthode_QR.pdf

Optimisation dans un Hilbert

Développement :
Optimisation dans un Hilbert
Remarque :
Ce développement est très bien réalisé dans le Isenmann-Pecatte mais cette référence a été interdite aux oraux.
On retrouve beaucoup d'arguments dans le Ciarlet mais d'autres diffèrent. Je conseille donc de bien le connaître pour le jour J.

Développement pouvant être utilisé dans les leçons 205, 213, 219, 223, 229 et 253.
Références :
- L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet
Fichier :
- Optimisation dans un Hilbert.pdf

Méthode QR

Développement :
Méthode QR
Référence :
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet
Fichier :
- Méthode QR.pdf

[Doublon : Décomposition LU, Cholesky et QR]

Développement :
[Doublon : Décomposition LU, Cholesky et QR]
Remarque :
Recasages : 148,162

Lien direct vers le fichier : https://delbep.notion.site/406816fc93b74e5db75ff232d12fdab7?v=d11624e4c7aa41bdb625b5e3a57af4e6

Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
Référence :
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet
Fichier :
- Développement.pdf

Décomposition LU et décomposition de Cholesky

Développement :
Décomposition LU et décomposition de Cholesky
Remarque :
Dans le 1 : "Utilisant les règles de multiplications par blocs de matrices, on trouve :", j'ai jamais su justifier pourquoi on trouvait bien ce qu'on trouve. Sinon le reste se fait plutôt bien
Bien savoir montrer que le produit de deux matrices triangulaires sup est une matrice triangulaire sup et que l'inverse d'une mat tri sup est une mat tri sup
Référence :
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet
Fichier :
- Décompositions LU et Cholesky.pdf

162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Leçon :
Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
Références :
Fichiers :

209 : Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

233 : Analyse numérique matricielle : résolution approchée de systèmes linéaires, recherche de vecteurs propres, exemples.

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

233 : Analyse numérique matricielle. Résolution approchée de systèmes linéaires, recherche d’éléments propres, exemples.

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Leçon :
Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Gri] Algèbre linéaire : Grifone
[NR] No Reference :(
[All] Algèbre linéaire numérique : Allaire
[Cia] Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation : Ciarlet
Références :
Fichier :
- 162 Systèmes d’équations linéaires _ opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques..pdf

149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

Leçon :
Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
Remarque :
La résolution des systèmes linéaires par des méthodes itératives n'est pas adaptée, puisqu'on est amené à résoudre AX = kX, qui n'est pas un système de Cramer.
Références :
Fichier :
- 149_perso.pdf

160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Leçon :
Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
Remarque :
Cette leçon date ... je sais pas si je l'aurais faite comme ça le jour-J (j'aurais ajouté plus d'aspects de l'option B : descente de gradient, résolution approchée d'EDP, etc.)
Références :
Fichier :
- 162_perso.pdf

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Leçon :
Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
Remarque :
Ce plan est à mon avis trop long pour être préparé en 3h : il faut faire des choix (= ne pas parler de LU et Cholesky).

N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
Références :
Fichier :
- Malartre_158.pdf

149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

Leçon :
Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.
Remarque :
La leçon peut être étoffée en parlant d'avantage des méthodes itératives, qui ne sont pas mon fort.
On pourra également choisir des développement un peu plus pertinents.
Références :
Fichier :
- 149.pdf

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Leçon :
Exemples de décompositions de matrices. Applications.
Références :
Fichier :
- 148.pdf

149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

Leçon :
Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.
Remarque :
Les références sont à la fin du plan
Références :
Fichier :
- 149.pdf

162 : Systèmes d’équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Leçon :
Exemples de décompositions de matrices. Applications.
Remarque :
Plan non détaillé fait à la fin de l'année.
Références :
Fichier :
- b0 148.pdf

149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

Leçon :
Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.
Remarque :
Plan non détaillé fait à la fin de l'année. Scan trop clair désolé.
Références :
Fichier :
- b0 149.pdf

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Leçon :
Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
Remarque :
Plan non détaillé rapide fait à la fin de l'année.
Références :
Fichier :
- b0 158.pdf

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Leçon :
Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
Remarque :
Leçon faite au tout début de l'année. J'aurais rajouté la méthode QR prise dans Ciarlet.
Références :
Fichier :
- b0 226.pdf

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Leçon :
Exemples de décompositions de matrices. Applications.
Remarque :
C'est du fait maison donc ca vaut ce que ca vaut. Le plan a tout de même été approuvé par mes profs
Références :
Fichier :
- Leçon_148.pdf

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Leçon :
Exemples de décompositions de matrices. Applications.
Remarque :
…ça commence à en faire des plans pour cette nouvelle leçon !

Mon plan a été éprouvé par une présentation durant l'année. Je vous propose également une fiche synthétique autour de cette leçon.
Seules les quatre premières références sont nécessaires. Les autres sont plus pour la culture générale ou pour un item que vous aurez de toute façon oublié le jour J. En fin d'année, j'aurais plutôt remplacé la partie sur la décomposition QR et de Hermite par une partie sur la décomposition de Cholesky.
Références :
Fichiers :
- 148.pdf
- 148_fiche.pdf

149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

Leçon :
Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.
Remarque :
Clairement le deuxième développement est bancal et je suis content de pas être tombé dessus. Alors un conseil, présentez autre chose que la décomposition LU / Cholesky.
Le Allaire est pas nécessaire, le Ciarlet suffit.
Références :
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet
Fichier :
- 149.pdf

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Leçon :
Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
Références :
Fichier :
- 158.pdf

162 : Systèmes d’équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Leçon :
Systèmes d’équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
Références :
Fichier :
- 162.pdf

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Leçon :
Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
Remarque :
Evitez de mettre les sinus itérés en dev, c'est pas trop aimé par le jury.
Références :
Fichier :
- 226.pdf

229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Leçon :
Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
Remarque :
C'est la version que j'ai présentée en oral blanc. Si j'étais tombée dessus le jour du vrai oral, j'aurais mis plus d'applications (notamment l'inégalité de Hoeffding).
Références :
Fichier :
- 229 _ fonctions monotones, fonctions convexes.pdf

Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation

Utilisés dans les 15 versions de développements suivants :

Méthode de Jacobi pour le calcul des vecteurs propres

Optimisation dans un Hilbert

Méthode de relaxation

Méthode QR

Méthode du gradient projeté

Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire

Espace H1 et problème de Dirichlet

Méthode QR

Résultats de convergence de méthodes d'analyse numérique matricielle

Résultats de convergence de méthodes d'analyse numérique matricielle

Méthode QR

Optimisation dans un Hilbert

Méthode QR

[Doublon : Décomposition LU, Cholesky et QR]

Décomposition LU et décomposition de Cholesky

Utilisés dans les 33 versions de leçons suivantes :

162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

209 : Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

233 : Analyse numérique matricielle : résolution approchée de systèmes linéaires, recherche de vecteurs propres, exemples.

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

233 : Analyse numérique matricielle. Résolution approchée de systèmes linéaires, recherche d’éléments propres, exemples.

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

162 : Systèmes d’équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

162 : Systèmes d’équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.