Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation

Ciarlet

Utilisée dans les 13 développements suivants :

Optimisation dans un Hilbert
Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire
Méthode de relaxation
Méthode de Jacobi pour le calcul des vecteurs propres
Décomposition LU et décomposition de Cholesky
Algorithme du gradient à pas optimal
Méthode QR
Méthode du gradient projeté
[Doublon : Décomposition LU, Cholesky et QR]
Convergence de la méthode de relaxation
Espace H1 et problème de Dirichlet
Résultats de convergence de méthodes d'analyse numérique matricielle
Recherche de valeurs propres par la méthode de Jacobi

Utilisée dans les 12 leçons suivantes :

162 (2025) Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
209 (2025) Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.
233 (2021) Analyse numérique matricielle. Résolution approchée de systèmes linéaires, recherche d’éléments propres, exemples.
157 (2025) Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
219 (2025) Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
226 (2025) Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
229 (2025) Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
253 (2025) Utilisation de la notion de convexité en analyse.
153 (2025) Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
158 (2025) Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
154 (2024) Exemples de décompositions de matrices. Applications.
150 (2025) Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

Utilisée dans les 24 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    Ce développement est assez technique, il faut s'accrocher. Je l'ai proposé lors de mon oral d'analyse (leçon 226), mais le jury a choisi le gradient à pas optimal. Aucune question ne m'a été posée sur la méthode QR.

    Selon moi : leçons 148, 149 et 226 (2023). Je pense que ce développement ne rentre absolument pas dans les leçons 157 et 162, contrairement à ce qui est indiqué.

    N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Peut-être un peu court mais certains détails sont passés sous silence et mériteraient d'être expliqués. Utile principalement dans :
    162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques
    221 : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
    226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_n+1=f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
    Et pourquoi pas,
    157 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
  • Référence :
  • Fichier :

Utilisée dans les 40 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    Leçon assez chargée, qui pourrait l'être encore plus d'un point de vue de l'algèbre. J'ai fait le choix d'une approche par les résolutions algorithmiques : méthodes directes et itératives. La première partie algébrique est cependant nécessaire, notamment pour décrire l'espace des solutions. Elle pourrait être plus fournie en contrepartie d'une réduction des parties suivantes plus analytiques (surtout la dernière).
    Il faut être capable de comparer entre elles les méthodes de résolution présentées et de donner leurs avantages et inconvénients les unes par rapport aux autres.
    Le Ciarlet est excellent sur les méthodes numériques et contient des exemples très illustratifs de la théorie et constitue également la source de mes développements. N'importe quel tout-en-un de sup devrait faire l'affaire pour les aspects algébriques.
    Préparée en oral blanc, contactez-moi pour les erreurs.

    1.Systèmes linéaires
    1.1.Systèmes échelonnés
    1.2.Existence et unicité des solutions
    2.Méthodes directes
    2.1.Approche naïve
    2.2.Pivot de Gauss
    2.3.Du rôle du pivot [DEV1 : LU + Cholesky]
    3.Méthodes itératives
    3.1.Analyse matricielle
    3.1.1.Rayon spectral
    3.1.2.Conditionnement
    3.2.Méthodes de Jacobi, Gauss-Seidel et relaxation [DEV2 : Ostrowski-Reich]
  • Références :
  • Fichier :