Référence : Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation

Méthode QR

Développement :
Méthode QR
Remarque :
Je ne garantis pas que les choix de notations du livre (que j'ai reprises à quelques détails près) soient les plus indiqués pour réussir à bien voir le chemin de la démonstration et éviter les confusions.
Référence :
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet
Fichier :
- Convergence de la méthode QR.pdf

Résultats de convergence de méthodes d'analyse numérique matricielle

Développement :
Résultats de convergence de méthodes d'analyse numérique matricielle
Remarque :
Pour la leçon 233 uniquement.

Le développement n'est vraiment pas très difficile, une fois que l'on sait ce que sont D, E et F.

Attention à la durée, je n'ai jamais réussi à faire tenir les 4 items en 15 minutes, mais les 3 premiers tiennent.

NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
Références :
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet
- Matrices , Serre
Fichier :
- ANM - V1.pdf

Résultats de convergence de méthodes d'analyse numérique matricielle

Développement :
Résultats de convergence de méthodes d'analyse numérique matricielle
Référence :
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet
Fichier :
- Critère fondamental de convergence des méthodes itératives Ciarlet.pdf

Méthode QR

Développement :
Méthode QR
Remarque :
Ce développement est assez technique, il faut s'accrocher. Je l'ai proposé lors de mon oral d'analyse (leçon 226), mais le jury a choisi le gradient à pas optimal. Aucune question ne m'a été posée sur la méthode QR.

Selon moi : leçons 148, 149 et 226 (2023). Je pense que ce développement ne rentre absolument pas dans les leçons 157 et 162, contrairement à ce qui est indiqué.

N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
Référence :
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet
Fichier :
- Malartre_méthode_QR.pdf

Optimisation dans un Hilbert

Développement :
Optimisation dans un Hilbert
Remarque :
Ce développement est très bien réalisé dans le Isenmann-Pecatte mais cette référence a été interdite aux oraux.
On retrouve beaucoup d'arguments dans le Ciarlet mais d'autres diffèrent. Je conseille donc de bien le connaître pour le jour J.

Développement pouvant être utilisé dans les leçons 205, 213, 219, 223, 229 et 253.
Références :
- L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet
Fichier :
- Optimisation dans un Hilbert.pdf

Méthode QR

Développement :
Méthode QR
Référence :
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet
Fichier :
- Méthode QR.pdf

[Doublon : Décomposition LU, Cholesky et QR]

Développement :
[Doublon : Décomposition LU, Cholesky et QR]
Remarque :
Recasages : 148,162

Lien direct vers le fichier : https://delbep.notion.site/406816fc93b74e5db75ff232d12fdab7?v=d11624e4c7aa41bdb625b5e3a57af4e6

Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
Référence :
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet
Fichier :
- Développement.pdf

Décomposition LU et décomposition de Cholesky

Développement :
Décomposition LU et décomposition de Cholesky
Remarque :
Dans le 1 : "Utilisant les règles de multiplications par blocs de matrices, on trouve :", j'ai jamais su justifier pourquoi on trouvait bien ce qu'on trouve. Sinon le reste se fait plutôt bien
Bien savoir montrer que le produit de deux matrices triangulaires sup est une matrice triangulaire sup et que l'inverse d'une mat tri sup est une mat tri sup
Référence :
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet
Fichier :
- Décompositions LU et Cholesky.pdf

Algorithme du gradient à pas optimal

Développement :
Algorithme du gradient à pas optimal
Références :
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet
- Analyse numérique et optimisation : une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique, Allaire

Méthode QR

Développement :
Méthode QR
Référence :
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet
Fichier :
- Méthode QR.pdf

Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire

Développement :
Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire
Remarque :
Il faut savoir démontrer l'expression de la norme subordonnée à la norme infinie d'une matrice A:
|||A|||∞=max1≤i≤n (∑1≤j≤n ∣Aij∣)
Références :
- Modélisation à l'oral de l'agrégation , Dumas
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet

Optimisation dans un Hilbert

Développement :
Optimisation dans un Hilbert
Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

(Bon courage !)
Références :
- Analyse , Gourdon
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet
Fichier :
- Convergence faible et optimisation dans un Hilbert.pdf

Convergence de la méthode de relaxation

Développement :
Convergence de la méthode de relaxation
Remarque :
Peut-être un peu court mais certains détails sont passés sous silence et mériteraient d'être expliqués. Utile principalement dans :
162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques
221 : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_n+1=f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
Et pourquoi pas,
157 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
Référence :
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet
Fichier :
- convergence_relaxation.pdf

Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire

Développement :
Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire
Remarque :
Développement rédigé pour l'oral, attention aux éventuelles coquilles/erreurs.
Références :
- L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet
Fichier :
- 153 - 156 - 157 - 162 - 226 - Mthd itératives systèmes linéaires.pdf

Algorithme du gradient à pas optimal

Développement :
Algorithme du gradient à pas optimal
Remarque :
Développement rédigé pour l'oral, attention aux éventuelles coquilles/erreurs.

Je mets la version générale (non adaptée pour la leçon 162) et la version du Bernis, appliquée spécifiquement aux systèmes linéaires (adaptée pour la leçon 162).
Références :
Fichiers :
- Gradient a pas optimal systeme lineaires.pdf
- Gradient à pas optimal.pdf

Recherche de valeurs propres par la méthode de Jacobi

Développement :
Recherche de valeurs propres par la méthode de Jacobi
Remarque :
Développement rédigé pour l'oral, attention aux éventuelles coquilles/erreurs.
Référence :
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet
Fichier :
- Jacobi recherche vp.pdf

Méthode QR

Développement :
Méthode QR
Remarque :
Ciarlet page 124

Couplé avec les leçons 153, 156, 162, 226
Ce développement est moins difficile qu'il n'en a l'air, même si le Ciarlet me rebute un peu.
Référence :
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet
Fichier :
- Méthode_QR.pdf

Algorithme du gradient à pas optimal

Développement :
Algorithme du gradient à pas optimal
Remarque :
Le dev est au recto, lemmes et dessin au verso
Réf : Ciarlet p.183 à 189
Recasage : 215, 219, 223, 226, 229, 253

Remarque : Développement classique, avec un excellent recasage. Cependant, il est assez long et technique, il faut bien le travailler. Pour un auditeur qui ne connais pas le dev, c'est assez compliqué de comprendre. Donc je propose un plan en 4 items, et je redécoupe le dernier (convergence de la suite) pour que ce soit plus clair.
Référence :
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet
Fichier :
- Méthode du Gradient à pas optimal.pdf

162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Leçon :
Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
Références :
Fichiers :

209 : Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

233 : Analyse numérique matricielle : résolution approchée de systèmes linéaires, recherche de vecteurs propres, exemples.

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

233 : Analyse numérique matricielle. Résolution approchée de systèmes linéaires, recherche d’éléments propres, exemples.

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Leçon :
Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Gri] Algèbre linéaire : Grifone
[NR] No Reference :(
[All] Algèbre linéaire numérique : Allaire
[Cia] Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation : Ciarlet
Références :
Fichier :
- 162 Systèmes d’équations linéaires _ opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques..pdf

149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

Leçon :
Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
Remarque :
La résolution des systèmes linéaires par des méthodes itératives n'est pas adaptée, puisqu'on est amené à résoudre AX = kX, qui n'est pas un système de Cramer.
Références :
Fichier :
- 149_perso.pdf

160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Leçon :
Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
Remarque :
Cette leçon date ... je sais pas si je l'aurais faite comme ça le jour-J (j'aurais ajouté plus d'aspects de l'option B : descente de gradient, résolution approchée d'EDP, etc.)
Références :
Fichier :
- 162_perso.pdf

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Leçon :
Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
Remarque :
Ce plan est à mon avis trop long pour être préparé en 3h : il faut faire des choix (= ne pas parler de LU et Cholesky).

N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
Références :
Fichier :
- Malartre_158.pdf

149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

Leçon :
Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.
Remarque :
La leçon peut être étoffée en parlant d'avantage des méthodes itératives, qui ne sont pas mon fort.
On pourra également choisir des développement un peu plus pertinents.
Références :
Fichier :
- 149.pdf

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Leçon :
Exemples de décompositions de matrices. Applications.
Références :
Fichier :
- 148.pdf

149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

Leçon :
Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.
Remarque :
Les références sont à la fin du plan
Références :
Fichier :
- 149.pdf

162 : Systèmes d’équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Leçon :
Exemples de décompositions de matrices. Applications.
Remarque :
Plan non détaillé fait à la fin de l'année.
Références :
Fichier :
- b0 148.pdf

149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

Leçon :
Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.
Remarque :
Plan non détaillé fait à la fin de l'année. Scan trop clair désolé.
Références :
Fichier :
- b0 149.pdf

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Leçon :
Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
Remarque :
Plan non détaillé rapide fait à la fin de l'année.
Références :
Fichier :
- b0 158.pdf

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Leçon :
Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
Remarque :
Leçon faite au tout début de l'année. J'aurais rajouté la méthode QR prise dans Ciarlet.
Références :
Fichier :
- b0 226.pdf

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Leçon :
Exemples de décompositions de matrices. Applications.
Remarque :
C'est du fait maison donc ca vaut ce que ca vaut. Le plan a tout de même été approuvé par mes profs
Références :
Fichier :
- Leçon_148.pdf

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Leçon :
Exemples de décompositions de matrices. Applications.
Remarque :
…ça commence à en faire des plans pour cette nouvelle leçon !

Mon plan a été éprouvé par une présentation durant l'année. Je vous propose également une fiche synthétique autour de cette leçon.
Seules les quatre premières références sont nécessaires. Les autres sont plus pour la culture générale ou pour un item que vous aurez de toute façon oublié le jour J. En fin d'année, j'aurais plutôt remplacé la partie sur la décomposition QR et de Hermite par une partie sur la décomposition de Cholesky.
Références :
Fichiers :
- 148.pdf
- 148_fiche.pdf

149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

Leçon :
Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.
Remarque :
Clairement le deuxième développement est bancal et je suis content de pas être tombé dessus. Alors un conseil, présentez autre chose que la décomposition LU / Cholesky.
Le Allaire est pas nécessaire, le Ciarlet suffit.
Références :
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet
Fichier :
- 149.pdf

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Leçon :
Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
Références :
Fichier :
- 158.pdf

162 : Systèmes d’équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Leçon :
Systèmes d’équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
Références :
Fichier :
- 162.pdf

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Leçon :
Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
Remarque :
Evitez de mettre les sinus itérés en dev, c'est pas trop aimé par le jury.
Références :
Fichier :
- 226.pdf

229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Leçon :
Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
Remarque :
C'est la version que j'ai présentée en oral blanc. Si j'étais tombée dessus le jour du vrai oral, j'aurais mis plus d'applications (notamment l'inégalité de Hoeffding).
Références :
Fichier :
- 229 _ fonctions monotones, fonctions convexes.pdf

153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

Leçon :
Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
Remarque :
Voici un plan possible pour la leçon 153.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)
Références :
Fichier :
- Leçon 153.pdf

154 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Leçon :
Exemples de décompositions de matrices. Applications.
Remarque :
Voici un plan possible pour la leçon 154.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)
Références :
Fichier :
- Leçon 154.pdf

157 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Leçon :
Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
Remarque :
Voici un plan possible pour la leçon 157.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)
Références :
Fichier :
- Leçon 157.pdf

162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Leçon :
Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
Remarque :
Voici un plan possible pour la leçon 162.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)
Références :
Fichier :
- Leçon 162.pdf

162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Leçon :
Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
Remarque :
Méta plan (simple mais qui a bien marché):

I) Notion d'échelonnement: matrices élémentaires (transvection, permutation, dilatation), matrices échelonnées et comment les obtenir grâce aux matrices élémentaires (cet algorithme est appelé le pivot de Gauss), application aux systèmes linéaires (définition, rang, système de Cramer, ensemble de solutions, exemple de résolution). Problème de la formule de Cramer: le nombre d'opérations en n!. D'où le besoin d'autres méthodes:
[Ref: tout livre de MPSI/L1, j'ai utilisé le R. Mansuy MPSI chez Vuibert]

II) Méthodes directes de résolution
Pivot de Gauss (échelonnement en lignes) avec ou sans changement de pivot (différences et conséquences numériques), décomposition LU et complexité (DEV 1)
[Ref: Dumas et Caldero/Peronnier]

III) Méthodes itératives de résolution
Définition d'une méthode itérative, définition des méthodes de splitting (A=M-N), condition nécessaire et suffisante de convergence de ces méthodes (DEV 2), exemples (Jacobi, Gauss-Seidel)
[Ref: Dumas et Ciarlet]
Références :

150 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

Leçon :
Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
Remarque :
Plan préparé en binôme pendant mon année de préparation à l'agreg. Plan plutôt complet, il manque de l'exponentielle de matrices je pense (si j'étais tombé sur cette leçon à l'oral, j'aurais choisi de mettre l'image de l'exponentielle sur R et C en développement).
Références :
Fichier :
- 150_compressed.pdf

162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Leçon :
Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
Remarque :
Leçon assez chargée, qui pourrait l'être encore plus d'un point de vue de l'algèbre. J'ai fait le choix d'une approche par les résolutions algorithmiques : méthodes directes et itératives. La première partie algébrique est cependant nécessaire, notamment pour décrire l'espace des solutions. Elle pourrait être plus fournie en contrepartie d'une réduction des parties suivantes plus analytiques (surtout la dernière).
Il faut être capable de comparer entre elles les méthodes de résolution présentées et de donner leurs avantages et inconvénients les unes par rapport aux autres.
Le Ciarlet est excellent sur les méthodes numériques et contient des exemples très illustratifs de la théorie et constitue également la source de mes développements. N'importe quel tout-en-un de sup devrait faire l'affaire pour les aspects algébriques.
Préparée en oral blanc, contactez-moi pour les erreurs.

1.Systèmes linéaires
1.1.Systèmes échelonnés
1.2.Existence et unicité des solutions
2.Méthodes directes
2.1.Approche naïve
2.2.Pivot de Gauss
2.3.Du rôle du pivot [DEV1 : LU + Cholesky]
3.Méthodes itératives
3.1.Analyse matricielle
3.1.1.Rayon spectral
3.1.2.Conditionnement
3.2.Méthodes de Jacobi, Gauss-Seidel et relaxation [DEV2 : Ostrowski-Reich]
Références :
- Maths MPSI : Tout-en-un, Roger Mansuy
- Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet
Fichier :
- 162.pdf

153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

Leçon :
Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
Remarque :
Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).
Références :
Fichier :
- 153.pdf

162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Leçon :
Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
Remarque :
Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).
Références :
Fichier :
- 162.pdf

162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Leçon :
Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
Remarque :
Plan réalisée par Thomas.

On est restées dans les notions classiques sur cette leçon.

Ce plan a été vérifié par un professeur, mais gardez un esprit critique, surtout qu’il se peut qu’il y ait des typos.

N’hésitez pas à nous contacter si besoin ou à nous signaler s’il y a des erreurs.

Bon courage pour cette année.
Références :
Fichier :
- Leçon 162.pdf

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Leçon :
Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
Remarque :
Plan réalisée par Thomas.

On est restées dans les notions classiques sur cette leçon.

Ce plan n’a pas été vérifié par un professeur, donc gardez un esprit critique, surtout qu’il se peut qu’il y ait des typos.

N’hésitez pas à nous contacter si besoin ou à nous signaler s’il y a des erreurs.

Bon courage pour cette année.
Références :
Fichiers :

148 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

Leçon :
Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
Remarque :
Plan réalisé à l'aide du site et des plans présentés dans ma classe.
Certaines parties sont parfois optionnelles et je ne prévoyais de les faire que si j'avais le temps le jour J.
Références :
Fichier :
- 148.pdf

162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Leçon :
Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
Remarque :
Plan réalisé à l'aide du site et des plans présentés dans ma classe.
Certaines parties sont parfois optionnelles et je ne prévoyais de les faire que si j'avais le temps le jour J.
Références :
Fichier :
- 162.pdf

157 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Leçon :
Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
Remarque :
Leçon plutôt facile à faire, et qui a pourtant beaucoup de contenu et de directions possibles. Malheureusement pour beaucoup, c'est une leçon très dirigée option B. Une chose qui est cependant essentielle est de faire le line entre matrices symétriques et formes quadratique, et endomorphismes autoadjoints.

Mes devs : Min-Max de Courant-Fischer, Interprétation géométrique du déterminant
Références :
Fichier :
- 157 - Jet 3.pdf

158 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

Leçon :
Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
Remarque :
Leçon qui je n'aime pas particulièrement, parce que j'ai l'impression que ça fait très liste. Heureusement, on peut mettre des autoadjoints et de la géométrie pour pimenter la leçon.

Mes devs : Min-Max de Courant-Fischer, Classification des pavages directs du plan

Mes plans sont généralement assez détaillés, mais il se peut que je n'aie pas mis tous les items, il faudra donc parfois compléter. Aussi, mes plan sont souvent très (trop) long, et sont faits pour quelqu'un qui écrit petit et rapidement, ce n'est donc pas très représentatif d'un plan fait le jour J par d'autres candidats, qui comportera en général moins d'items.
Références :
Fichier :
- 158 - jet 2.pdf

206 : Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.

Leçon :
Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.
Remarque :
C'est une leçon très originale, et que j'ai beaucoup aimé préparer (Top 5 facile des leçons d'analyse). Il y a beaucoup d'ouvertures possibles, notamment sur l'utilisation des espaces de dim finie pour approcher de la dim infinie (ce qui peut déboucher en remarque par exemple à la méthode des éléments finis). Personnellement, je n'ai pas beaucoup insister sur les séries de Fourier que je n'aime pas trop. Une chose que je n'ai vraiment pas vu, alors que c'est tout à fait dans le thème est l'analyse matricielle avec les méthodes itératives : la majorité des résultats se reposent implicitement sur de la dimension finie, et on manipule des matrices, qui sont des objets de dim finie. Ah et vous pouvez mettre (un peu) d'opérateurs compacts, en lien avec la compacité en dim finie. Pour finir, du calcul diff n'est pas insensé, du moment qu'on argumente bien sur l'avantage de la dim finie (gradient fini, hessienne ...). Le seul bémol de cette leçon est que votre table sera recouverte de plein de livres, il ne faut pas s'embrouiller avec les références !

Mes devs : Accélération de Tchebychev, La matrice la plus proche de chez vous

Mes plans sont généralement assez détaillés, mais il se peut que je n'aie pas mis tous les items, il faudra donc parfois compléter. Aussi, mes plan sont souvent très (trop) long, et sont faits pour quelqu'un qui écrit petit et rapidement, ce n'est donc pas très représentatif d'un plan fait le jour J par d'autres candidats, qui comportera en général moins d'items.
Références :
Fichier :
- 206 - Jet 3.pdf

213 : Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.

Leçon :
Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.
Remarque :
Leçon classique qui est très facile à niveler et à adapter selon les niveaux de chacun. Pour les plus faibles, n'hésitez pas à faire des rappels sur les espaces préhilbertiens et sur les conséquences (pas trop triviales) d'avoir un produit scalaire. Les plus forts pourront à l'inverse complètement sauté cette partie. Il faut à mon sens avoir des applications diverses du théorème de projection, comme l'espérance conditionnelle, la minimisation d'intégrale, la méthode des moindres carrés, ... (voir ma leçon 253 pour des applications que je n'ai pas mis dans mon Latex mais qui devraient apparaitre). Si vous êtes à l'aise, les opérateurs compacts fournissent un bon élargissement du plan. La convergence faible, surtout avec Banach-Alaoglu comme développement, peut être une bonne idée.

Mes devs : Espaces de Bergman, Norme de l'opérateur de Volterra

Mes plans sont généralement assez détaillés, mais il se peut que je n'aie pas mis tous les items, il faudra donc parfois compléter. Aussi, mes plan sont souvent très (trop) long, et sont faits pour quelqu'un qui écrit petit et rapidement, ce n'est donc pas très représentatif d'un plan fait le jour J par d'autres candidats, qui comportera en général moins d'items.
Références :
Fichier :
- 213 - Jet 3.pdf

229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Leçon :
Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
Remarque :
Leçon qui me faisait peur et ne m'intéressait pas dutout au début de l'année, et qui est devenue l'une de mes préférées. De manière générale, je trouve que la notion de conexité est une notion assez utile à travailler pour l'agreg, et ça paie généralement plutôt bien.
Je pense qu'il est bien de s'éloigner de la structure un peu facile de I - Monotone , II - Convexe, ... . C'est ce que j'ai essayé de faire dans ce plan, en melangeant dans mes parties la monotonie et la convexité. Il me semble aussi important de ne pas oublier les applications de la monotonie (parties C et F)
J'ai vu que certaines personnes cherchaient une références pour le lien entre conexité et fonctions affines, c'est fait dans un exercice du [Li] (Chap Hahn-Banach). C'est un item assez cool, qui permet entre autre de démontrer Jensen (Confiture a rédigé un document plutôt cool sur Hahn-Banach et cet item)

Mes devs : Fonctions de Lyapunov, Méthode du gradient à pas optimal

Mes plans sont généralement assez détaillés, mais il se peut que je n'aie pas mis tous les items, il faudra donc parfois compléter. Aussi, mes plan sont souvent très (trop) long, et sont faits pour quelqu'un qui écrit petit et rapidement, ce n'est donc pas très représentatif d'un plan fait le jour J par d'autres candidats, qui comportera en général moins d'items.
Références :
Fichier :
- 229 - Jet 3.pdf

Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation

Utilisée dans les 13 développements suivants :

Utilisée dans les 15 leçons suivantes :

Utilisée dans les 25 versions de développements suivants :

Méthode de Jacobi pour le calcul des vecteurs propres

Optimisation dans un Hilbert

Méthode de relaxation

Méthode QR

Méthode du gradient projeté

Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire

Espace H1 et problème de Dirichlet

Méthode QR

Résultats de convergence de méthodes d'analyse numérique matricielle

Résultats de convergence de méthodes d'analyse numérique matricielle

Méthode QR

Optimisation dans un Hilbert

Méthode QR

[Doublon : Décomposition LU, Cholesky et QR]

Décomposition LU et décomposition de Cholesky

Algorithme du gradient à pas optimal

Méthode QR

Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire

Optimisation dans un Hilbert

Convergence de la méthode de relaxation

Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire

Algorithme du gradient à pas optimal

Recherche de valeurs propres par la méthode de Jacobi

Méthode QR

Algorithme du gradient à pas optimal

Utilisée dans les 51 versions de leçons suivantes :

162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

209 : Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

233 : Analyse numérique matricielle : résolution approchée de systèmes linéaires, recherche de vecteurs propres, exemples.

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

233 : Analyse numérique matricielle. Résolution approchée de systèmes linéaires, recherche d’éléments propres, exemples.

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

162 : Systèmes d’équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

162 : Systèmes d’équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

154 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

157 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

150 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

148 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

157 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

158 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

206 : Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.

213 : Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.