Référence : Carnet de voyage en Algébrie

Continuité des racines d'une suite de polynomes

Développement :
Continuité des racines d'une suite de polynomes
Remarque :
Continuité des racines, continuité des valeurs propres
p 52 - 53 - 54
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier

Dualité et Algèbre des matrices

Développement :
Dualité et Algèbre des matrices
Remarque :
p 16 - 17 - 18
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier

Décomposition LU et décomposition de Cholesky

Développement :
Décomposition LU et décomposition de Cholesky
Remarque :
Au lieu de parler de la décomposition de Cholesky en complément, on peut parler de la complexité de la décomposition LU
p 69 à 72
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier

Dénombrement des colorations du cube

Développement :
Dénombrement des colorations du cube
Remarque :
La démonstration s'applique ici à n'importe quel solide platonicien ici, pas seulement à un cube
p 141 - 142
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier

Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre

Développement :
Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre
Remarque :
p 135 à 140
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier

Formule de Burnside + Double transitivité + Table de caractères de S4

Développement :
Formule de Burnside + Double transitivité + Table de caractères de S4
Références :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 2, Caldero, Germoni
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
Fichier :
- Burnside.pdf

Lemme de Zolotarev

Développement :
Lemme de Zolotarev
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
Fichier :
- zolotarev.pdf

Résolution d'un système de congruence

Développement :
Résolution d'un système de congruence
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier

Densité des matrices diagonalisables

Développement :
Densité des matrices diagonalisables
Remarque :
Anciennement théorème de Cayley-Hamilton, j'ai réorganisé le développement et mis le dit théorème en application plutôt qu'en théorème central.
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
Fichier :
- DensiteMatricesDzables.pdf

Nombres premiers de la forme p=x^2+3y^2

Développement :
Nombres premiers de la forme p=x^2+3y^2
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier

Correspondance drapeaux et p-Sylow de GLn(Fp)

Développement :
Correspondance drapeaux et p-Sylow de GLn(Fp)
Remarque :
cadeau pour Luca
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
Fichier :
- Drapeaux GLn.pdf

Le groupe SO3(R) est simple

Développement :
Le groupe SO3(R) est simple
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
Fichier :
- Simplicite de SO3.pdf

Décomposition LU + complexité

Développement :
Décomposition LU + complexité
Remarque :
p69
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier

Localisation des valeurs propres

Développement :
Localisation des valeurs propres
Remarque :
Utilisation de la matrice compagnon
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier

Systèmes de congruences, cas général

Développement :
Systèmes de congruences, cas général
Remarque :
Comme toute la preuve repose sur la propriété universelle des groupes quotients, je fais la preuve avant le théorème.
Références :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
- Éléments de théorie des groupes, Calais
Fichier :
- Système de congruences.pdf

GLn(C) est dense, ouvert et connexe

Développement :
GLn(C) est dense, ouvert et connexe
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
Fichier :
- Gln(C) est DOC carnet de voyage.pdf

Dualité et Algèbre des matrices

Développement :
Dualité et Algèbre des matrices
Remarque :
Recasage: 159

Caldero/Peronnier p 16-18
Rombaldi [2e édition] p458
Je trouve les deux références complémentaires: l'approche du théorème est plus agréable dans le Rombaldi, de même que la détermination du centre de $\mathcal{M}_n(K)$. Je n'ai pas trouvé les applications dans le Rombaldi, mais elles sont bien faites dans le Carnet de voyage en Algébrie.

Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
Références :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
Fichier :
- Dual MnK.pdf

Adhérence de l'ensemble des matrices réelles diagonalisables

Développement :
Adhérence de l'ensemble des matrices réelles diagonalisables
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier

C est algébriquement clos (preuve par la réduction)

Développement :
C est algébriquement clos (preuve par la réduction)
Références :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
- Théorie algébrique des nombres, Pierre Samuel

Caractérisation des matrices nilpotentes par la trace

Développement :
Caractérisation des matrices nilpotentes par la trace
Remarque :
Référence: CALDERO, PERONNIER, Carnet de voyage en Algébrie, pages 27 à 32
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier

Combinatoire et dualité

Développement :
Combinatoire et dualité
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier

Compacité de On(R), décomposition polaire dans Mn(R)

Développement :
Compacité de On(R), décomposition polaire dans Mn(R)
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier

Critère de Sylvester et applications

Développement :
Critère de Sylvester et applications
Remarque :
pour l'application à la signature
p 97 à 99
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier

Une équation de Mordell

Développement :
Une équation de Mordell
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier

Système de congruences (cas général)

Développement :
Système de congruences (cas général)
Remarque :
Réf principale (sans preuve toutefois) : Tattersall - Elementary number theory
Références :
- Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
Fichier :
- Systèmes congruences.pdf

Systèmes de congruences, cas général

Développement :
Systèmes de congruences, cas général
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
Fichier :
- Système de Congruences.pdf

Système de congruences (cas général)

Développement :
Système de congruences (cas général)
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
Fichier :
- Système de congruences.pdf

$Gl_n(\mathbb{C})$, $Sl_n(\mathbb{C})$, et $U_n(\mathbb{C})$ sont connexes par arcs

Développement :
$Gl_n(\mathbb{C})$, $Sl_n(\mathbb{C})$, et $U_n(\mathbb{C})$ sont connexes par arcs
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
Fichier :
- Étude de GL_n(C).pdf

Théorème de descente de Springer pour les formes quadratiques

Développement :
Théorème de descente de Springer pour les formes quadratiques
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
Fichier :
- Théorème de Springer.pdf

Théorème chinois et applications

Développement :
Théorème chinois et applications
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
Fichier :
- Théorème chinois : Cas général.pdf

Nombres premiers de la forme p=x^2+3y^2

Développement :
Nombres premiers de la forme p=x^2+3y^2
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
Fichier :
- Nombres premiers x^2 + 3y^2.pdf

Lemme de Fitting et cardinal du cône nilpotent

Développement :
Lemme de Fitting et cardinal du cône nilpotent
Références :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
- Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné
Fichier :
- Lemme de fitting et cardinal du cône nilpotent.pdf

Formes de Hankel

Développement :
Formes de Hankel
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
Fichier :
- Formes de Hankel.pdf

Critère de Sylvester et applications

Développement :
Critère de Sylvester et applications
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
Fichier :
- Critere de Sylvester pour la signature.pdf

Réductibilité des polynômes cyclotomiques

Développement :
Réductibilité des polynômes cyclotomiques
Remarque :
Voici ma version. Je ne l'ai pas encore relue donc il peut y avoir un bon paquet de fautes (autant d'orthographe que de maths), n'en tenez pas rigueur et n'hésitez pas à me les signaler :)

Le document est très long, mais si vous lisez le disclaimer initial, cela vous rassurera (ou pas ?)
Références :
Fichier :
- Réductibilité_des_polynômes_cyclotomiques.pdf

Alternative dense/monogène, valeurs propres de la suite (cos(n))

Développement :
Alternative dense/monogène, valeurs propres de la suite (cos(n))
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier

152 : Déterminant. Exemples et applications.

Leçon :
Déterminant. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 152 - Déterminant. Exemples et applications.pdf

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Leçon :
Exemples de décompositions de matrices. Applications.
Remarque :
Les références sont à la fin du plan.
On peut prendre le Rombaldi à la place de Carnet de voyage. C'est juste que je préfère la preuve de la décomposition LU dans Carnet de voyage :)

On peut aussi développer un peu plus la sous-partie sur la factorisation QR et peut-être mettre une partie sur l'aspect algorithmique de la décomposition de Dunford.

Développements choisis :
1) Décomposition de Dunford + Application à l'exponentielle de matrice
2) Décomposition LU + Cholesky

Plan :
I. Réduction de matrices
1) Eléments propres
2) Diagonalisation
3) Trigonalisation
4) Décomposition de Jordan

II. Approche linéaire
1) Prérequis
2) Décomposition de Dunford
3) Théorème spectral et décomposition polaire

III. Point de vue algorithmique
1) Méthode du pivot de Gauss
2) Factorisation LU et décomposition de Cholesky
3) Factorisation QR
Références :
Fichier :
- 148_Exemples_de_decomposition_de_matrices.pdf

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Leçon :
Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
Remarque :
Plan éprouvé par une présentation durant l'année.

L'essentiel de la partie combinatoire est faite avec le Gourdon Algèbre & Probas (les séries génératrices s'y font plus discrètes). Les autres références servent essentiellement pour la partie d'applications.
Références :
Fichiers :

101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Leçon :
Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 101.pdf

105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

Leçon :
Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
Remarque :
J'aime bien le point de vue actions de groupes pris par Ulmer.

Ma partie II d'applications est très longue parce qu'elle explore de nombreux sujets. En pratique, il vaut mieux mettre 2 ou 3 paragraphes.
Références :
Fichier :
- 105.pdf

122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.

Leçon :
Anneaux principaux. Exemples et applications.
Remarque :
Le théorème des deux carrés de Fermat est, à mon avis, hors sujet pour cette leçon, puisqu'il utilise de manière critique la factorialité, et non la principalité des anneaux en jeu (il y a même peut-être moyen de court-circuiter l'argument pour ne pas du tout utiliser la factorialité...)
... mais je le mets quand même parce que tout le monde l'accepete, et ça me fait un développement en moins...
Références :
Fichier :
- 122.pdf

126 : Exemples d’équations en arithmétique.

Leçon :
Exemples d’équations en arithmétique.
Remarque :
Références supplémentaires:
- Algèbre et géométrie: CAPES et Agrégation : Pierre Burg
- Algèbre I : Daniel Guin
Références :
Fichier :
- 126.pdf

152 : Déterminant. Exemples et applications.

Leçon :
Déterminant. Exemples et applications.
Remarque :
L'introduction du déterminant via les formes multilinéaires alternées telle que je la présente (qui complète celle du Gourdon) est aussi pratique que simple.
Il est bon de faire le dessin de l'interprétation du déterminant en terme de volume.
Références :
Fichier :
- 152.pdf

155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

Leçon :
Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
Remarque :
Je suis passé sur cette leçon à l'oral. J'ai fait un plan globalement similaire à celui-ci, dont j'étais un peu moins satisfait.
Je n'ai pas fait de partie "Applications". Plutôt que de faire un paragraphe sur la décomposition de Dunford et le critère de Klarès, j'ai mis ce-dernier dans le paragraphe Critères de diagonalisabilité (en précisant dans la défense que ça nécessitait Dunford), et le paragraphe de Dunford est devenu un paragraphe "Application: puissance et exponentielle d'une matrice" de la partie II. Le paragraphe de topologie y a également été déplacé. En contrepartie, j'ai sérieusement raccourci le paragraphe sur les théorèmes spectraux au strict minimum, et je n'ai pas parlé de la réduction des endomorphismes normaux.

On peut étoffer la partie de topologie.
Références :
Fichier :
- 155.pdf

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

Leçon :
Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
Remarque :
J'ai ajouté la partie III purement artificiellement pour mettre un second développement -- la loi d'inertie de Sylverster -- qui est hors surjet...
Références :
Fichier :
- 159.pdf

126 : Exemples d’équations en arithmétique.

Leçon :
Exemples d’équations en arithmétique.
Remarque :
J'ai aussi utilisé le El Amrani Arithmétique
Références :
Fichier :
- 126.pdf

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Leçon :
Exemples de décompositions de matrices. Applications.
Remarque :
Plan non détaillé fait à la fin de l'année.
Références :
Fichier :
- b0 148.pdf

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Leçon :
Exemples de décompositions de matrices. Applications.
Remarque :
…ça commence à en faire des plans pour cette nouvelle leçon !

Mon plan a été éprouvé par une présentation durant l'année. Je vous propose également une fiche synthétique autour de cette leçon.
Seules les quatre premières références sont nécessaires. Les autres sont plus pour la culture générale ou pour un item que vous aurez de toute façon oublié le jour J. En fin d'année, j'aurais plutôt remplacé la partie sur la décomposition QR et de Hermite par une partie sur la décomposition de Cholesky.
Références :
Fichiers :
- 148.pdf
- 148_fiche.pdf

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Leçon :
Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
Remarque :
La leçon que je préfère dans l'agrégation.
Attention, cette leçon est potentiellement très casse-gueules si vous n'avez jamais eu d'UE de mathématiques discrètes ; par exemple, l'outil des séries génératrices est très puissant mais encore faut-il savoir s'en servir pour le dénombrement !

Je me suis servi principalement d'un livre anglais peu connu en France, comprenant des milliers d'exemples, sur lequel j'avais déjà travaillé durant ma scolarité. On pourra se rabattre sur d'autres livres, mais il est vrai que trouver des exemples est un peu dur : les anglophones raffolent de maths discrètes !

(la référence de l'application 6 : Wikipédia, mais vous pourrez sortir tout exemple drôle qui vous vient à l'esprit)
Références :
Fichier :
- 190.pdf

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Leçon :
Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
Remarque :
Bcp de possibilités pour les développements :
- isomorphismes exceptionnels
- p-Sylow de GL_n(F_q) (prop 14 de mon plan)
- Nb d'endo diagonalisable sur M_n(F_q)
- Nb d'endo nilpotent sur M_n(F_q) avec lemme de Fitting
- Automorphismes de S_n
- Décomposition de Bruhat + action sur les drapeaux.
Références :
Fichier :
- 190.pdf

Carnet de voyage en Algébrie

Utilisée dans les 33 développements suivants :

Utilisée dans les 11 leçons suivantes :

Utilisée dans les 39 versions de développements suivants :

Décomposition de Dunford (version algorithmique) #effectif #méthodeEuler

GLn(C) est dense, ouvert et connexe

Condition nécessaire et suffisante pour que Z/nZ* soit cyclique

Continuité des racines d'une suite de polynomes

Dualité et Algèbre des matrices

Décomposition LU et décomposition de Cholesky

Dénombrement des colorations du cube

Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre

Formule de Burnside + Double transitivité + Table de caractères de S4

Lemme de Zolotarev

Résolution d'un système de congruence

Densité des matrices diagonalisables

Nombres premiers de la forme p=x^2+3y^2

Correspondance drapeaux et p-Sylow de GLn(Fp)

Le groupe SO3(R) est simple

Décomposition LU + complexité

Localisation des valeurs propres

Systèmes de congruences, cas général

GLn(C) est dense, ouvert et connexe

Dualité et Algèbre des matrices

Adhérence de l'ensemble des matrices réelles diagonalisables

C est algébriquement clos (preuve par la réduction)

Caractérisation des matrices nilpotentes par la trace

Combinatoire et dualité

Compacité de On(R), décomposition polaire dans Mn(R)

Critère de Sylvester et applications

Une équation de Mordell

Système de congruences (cas général)

Systèmes de congruences, cas général

Système de congruences (cas général)

$Gl_n(\mathbb{C})$, $Sl_n(\mathbb{C})$, et $U_n(\mathbb{C})$ sont connexes par arcs

Théorème de descente de Springer pour les formes quadratiques

Théorème chinois et applications

Nombres premiers de la forme p=x^2+3y^2

Lemme de Fitting et cardinal du cône nilpotent

Formes de Hankel

Critère de Sylvester et applications

Réductibilité des polynômes cyclotomiques

Alternative dense/monogène, valeurs propres de la suite (cos(n))

Utilisée dans les 17 versions de leçons suivantes :

152 : Déterminant. Exemples et applications.

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.

126 : Exemples d’équations en arithmétique.

152 : Déterminant. Exemples et applications.

155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

126 : Exemples d’équations en arithmétique.

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.