Utilisée dans les 63 versions de développements suivants :
Décomposition de Dunford (version algorithmique) #effectif #méthodeEuler
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Développement :
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Références :
GLn(C) est dense, ouvert et connexe
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Développement :
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Remarque :
p 114 - 115 et 116
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Référence :
Condition nécessaire et suffisante pour que Z/nZ* soit cyclique
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Développement :
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Remarque :
p 169 - 170
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Référence :
Continuité des racines d'une suite de polynomes
Dualité et Algèbre des matrices
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Développement :
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Remarque :
p 16 - 17 - 18
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Référence :
Décomposition LU et décomposition de Cholesky
Dénombrement des colorations du cube
Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre
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Développement :
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Remarque :
p 135 à 140
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Référence :
Formule de Burnside + Double transitivité + Table de caractères de S4
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Lemme de Zolotarev
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Résolution d'un système de congruence
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Développement :
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Référence :
Densité des matrices diagonalisables
Nombres premiers de la forme p=x^2+3y^2
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Développement :
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Référence :
Correspondance drapeaux et p-Sylow de GLn(Fp)
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Développement :
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Remarque :
cadeau pour Luca
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Référence :
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Fichier :
Le groupe SO3(R) est simple
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Décomposition LU + complexité
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Développement :
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Remarque :
p69
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Référence :
Localisation des valeurs propres
Systèmes de congruences, cas général
GLn(C) est dense, ouvert et connexe
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Dualité et Algèbre des matrices
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Développement :
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Remarque :
Recasage: 159
Caldero/Peronnier p 16-18
Rombaldi [2e édition] p458
Je trouve les deux références complémentaires: l'approche du théorème est plus agréable dans le Rombaldi, de même que la détermination du centre de $\mathcal{M}_n(K)$. Je n'ai pas trouvé les applications dans le Rombaldi, mais elles sont bien faites dans le Carnet de voyage en Algébrie.
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Références :
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Fichier :
Adhérence de l'ensemble des matrices réelles diagonalisables
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Développement :
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Référence :
C est algébriquement clos (preuve par la réduction)
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Développement :
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Références :
Caractérisation des matrices nilpotentes par la trace
Combinatoire et dualité
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Développement :
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Référence :
Compacité de On(R), décomposition polaire dans Mn(R)
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Développement :
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Référence :
Critère de Sylvester et applications
Une équation de Mordell
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Développement :
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Référence :
Système de congruences (cas général)
Systèmes de congruences, cas général
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Système de congruences (cas général)
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
$Gl_n(\mathbb{C})$, $Sl_n(\mathbb{C})$, et $U_n(\mathbb{C})$ sont connexes par arcs
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Théorème de descente de Springer pour les formes quadratiques
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Théorème chinois et applications
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Nombres premiers de la forme p=x^2+3y^2
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Lemme de Fitting et cardinal du cône nilpotent
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Formes de Hankel
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Critère de Sylvester et applications
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Réductibilité des polynômes cyclotomiques
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Développement :
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Remarque :
Voici ma version. Je ne l'ai pas encore relue donc il peut y avoir un bon paquet de fautes (autant d'orthographe que de maths), n'en tenez pas rigueur et n'hésitez pas à me les signaler :)
Le document est très long, mais si vous lisez le disclaimer initial, cela vous rassurera (ou pas ?)
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Références :
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Fichier :
Alternative dense/monogène, valeurs d'adhérence de la suite (cos(n))
Théorème de Dirichlet faible
Densité des matrices diagonalisables
Suite de polygones
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Dénombrement des endomorphismes nilpotents sur un corps fini
Déterminant circulant et suite de polygones
Dual de M_n(K)
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Développement :
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Remarque :
Si le développement est un peu court, on peut rajouter un ou deux résultats supplémentaires.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
Théorème de Kronecker
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Développement :
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Remarque :
J'ai rajouté une application pour que ça tienne en 15 minutes. Cependant, avec l'application, le développement devient un peu long et il faut se dépêcher un peu. Tout dépend de si vous écrivez plutôt lentement ou pas...
Désolé, le PDF est un peu coupé par endroits à cause du scanner, normalement tout est dans les références.
Cela peut être pas mal de savoir "étendre" un peu le résultat de l'application : l'application est-elle surjective ? Que se passe-t-il pour d'autres nombres premiers que 3 ?
Il faut aussi être au point sur les polynômes symétriques et le théorème de structure (c'est le point-clé de la démonstration du théorème de Kronecker).
Je ne suis pas du tout d'accord avec le recasage 4 étoiles dans la 105... Il ne faut pas forcer non plus...
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Références :
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Fichier :
Dénombrement des matrices nilpotentes de taille $d \times d$ à coefficients dans $\mathbb{F}_q$
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Développement :
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Remarque :
Ce développement n'est pas des plus faciles, il mérite d'être bien travaillé.
Personnellement, je n'avais pas le temps de démontrer le "lemme de Fitting" avant, mais il faut tout de même bien connaître sa démonstration ne serait-ce que pour avoir compris ce qu'est une décomposition de Fitting et LA décomposition de Fitting d'un endomorphisme. Cela sert dès le début de la démonstration du théorème.
A la fin, il y a pas mal de calcul qu'on a le temps ou non de faire, l'important c'est le cheminement.
Il faut savoir justifier le cardinal de $\text{GL}_d(\mathbb{F}_q)$ (ça peut tomber aux écrits !)
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Référence :
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Fichier :
Dual de M_n(K)
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Développement :
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Remarque :
J'ai rajouté ce développement à ma liste un peu en catastrophe à la fin de l'année car le 2e que j'avais pris pour la 159 me semblait impossible à maîtriser parfaitement (Krein-Millman)...
Il est très bien, très facile, efficace, et aboutit à un joli résultat. Comme le dit Tintin, il faut bien prendre son temps ou bien rajouter un autre résultat derrière.
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Références :
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Fichier :
Disques de Gerschgorin-composantes connexes
Continuité des racines d'une suite de polynomes
Densité des matrices diagonalisables
Lemme de Fitting et cardinal du cône nilpotent
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Développement :
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Remarque :
La décomposition de Fitting est pas mal à travailler pour certaine leçon. Attention en l'état le développement est trop long, il faut s'entrainer à passer dessus et faire des choix sur ce qui est présenté ou non pour le faire tenir en 15min.
Le lien pour le document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html
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Référence :
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Fichier :
Le groupe SO3(R) est simple
Théorème de Brauer
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Développement :
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Remarque :
Un développement vraiment cool qui fait le lien entre de l'algèbre linéaire et de l'arithmétique.
La version que j'ai démontre le résultat en caractéristique quelconque. A ce propos, bien faire attention à un truc : On a besoin d'être en caractéristique nulle pour que D soit inversible MAIS on s'en sert uniquement pour montrer l'équivalence entre les mi(sigma) et les cj(sigma). Donc la démonstration fonctionne bien en caractéristique quelconque pour le corps sur lequel on considère les matrices de permutation.
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Référence :
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Fichier :
Critère de nilpotence par la trace [doublon]
Cardinal du cône nilpotent
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Développement :
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Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !
Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !
(Bon courage !)
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Référence :
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Fichier :
Générateurs de Gl_n(K) et Sl_n(K) et application à la connexité
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Développement :
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Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !
Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !
(Bon courage !)
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Références :
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Fichier :
Disques de Gerschgorin-composantes connexes
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Développement :
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Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !
Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !
(Bon courage !)
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Référence :
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Fichier :
Différentielle du déterminant
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Développement :
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Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !
Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !
(Bon courage !)
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Références :
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Fichier :
GLn(C) est dense, ouvert et connexe
GLn(C) est dense, ouvert et connexe
Quadrature de Gauss(-Legendre)
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Utilisée dans les 46 versions de leçons suivantes :
152 : Déterminant. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Le théorème des deux carrés de Fermat est, à mon avis, hors sujet pour cette leçon, puisqu'il utilise de manière critique la factorialité, et non la principalité des anneaux en jeu (il y a même peut-être moyen de court-circuiter l'argument pour ne pas du tout utiliser la factorialité...)
... mais je le mets quand même parce que tout le monde l'accepete, et ça me fait un développement en moins...
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Références :
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Fichier :
126 : Exemples d’équations en arithmétique.
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Leçon :
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Remarque :
Références supplémentaires:
- Algèbre et géométrie: CAPES et Agrégation : Pierre Burg
- Algèbre I : Daniel Guin
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Références :
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Fichier :
152 : Déterminant. Exemples et applications.
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis passé sur cette leçon à l'oral. J'ai fait un plan globalement similaire à celui-ci, dont j'étais un peu moins satisfait.
Je n'ai pas fait de partie "Applications". Plutôt que de faire un paragraphe sur la décomposition de Dunford et le critère de Klarès, j'ai mis ce-dernier dans le paragraphe Critères de diagonalisabilité (en précisant dans la défense que ça nécessitait Dunford), et le paragraphe de Dunford est devenu un paragraphe "Application: puissance et exponentielle d'une matrice" de la partie II. Le paragraphe de topologie y a également été déplacé. En contrepartie, j'ai sérieusement raccourci le paragraphe sur les théorèmes spectraux au strict minimum, et je n'ai pas parlé de la réduction des endomorphismes normaux.
On peut étoffer la partie de topologie.
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Références :
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Fichier :
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
126 : Exemples d’équations en arithmétique.
148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
…ça commence à en faire des plans pour cette nouvelle leçon !
Mon plan a été éprouvé par une présentation durant l'année. Je vous propose également une fiche synthétique autour de cette leçon.
Seules les quatre premières références sont nécessaires. Les autres sont plus pour la culture générale ou pour un item que vous aurez de toute façon oublié le jour J. En fin d'année, j'aurais plutôt remplacé la partie sur la décomposition QR et de Hermite par une partie sur la décomposition de Cholesky.
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Références :
-
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation
, Ciarlet
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Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
-
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
-
Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné
-
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
-
Calcul mathématique avec Sage
, Casamayou
-
A Course in Computational Algebraic Number Theory, H. Cohen
-
Algèbre
, Gourdon
-
Algorithmique algébrique, P. Naudin, C. Quitté
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Fichiers :
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
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Leçon :
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Remarque :
La leçon que je préfère dans l'agrégation.
Attention, cette leçon est potentiellement très casse-gueules si vous n'avez jamais eu d'UE de mathématiques discrètes ; par exemple, l'outil des séries génératrices est très puissant mais encore faut-il savoir s'en servir pour le dénombrement !
Je me suis servi principalement d'un livre anglais peu connu en France, comprenant des milliers d'exemples, sur lequel j'avais déjà travaillé durant ma scolarité. On pourra se rabattre sur d'autres livres, mais il est vrai que trouver des exemples est un peu dur : les anglophones raffolent de maths discrètes !
(la référence de l'application 6 : Wikipédia, mais vous pourrez sortir tout exemple drôle qui vous vient à l'esprit)
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Références :
-
Discrete and Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction, Ralph P. Grimaldi
-
Proofs from the book (Raisonnements divins en fr), Aigner, Ziegler
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Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
-
Algèbre et probabilités, Gourdon
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
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Exercices mathématiques
, Francinou, Gianella
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Fichier :
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
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Références :
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Fichier :
154 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
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Références :
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Fichier :
162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
TL1 = Tout-en-un pour la licence 1
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Références :
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Fichier :
204 : Connexité. Exemples d'applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
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Références :
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Fichier :
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est très calquée sur celle d'un ami grand fan de théorie des groupes ! Comme pour beaucoup de choses sur les groupes, tout est dans le Berhuy...
Si j'étais tombé sur celle-là le jour J, j'aurais très probablement enlevé la sous-partie sur les quaternions que je ne maîtrisais pas...
Je pense qu'il faut éviter de faire des rappels trop longs de généralités, d'actions de groupes et vite focus le plan sur les groupes finis (abéliens, non abéliens...)
La théorie de Sylow est hors-programme, mais je trouve que c'est un très bon investissement à faire durant l'année.
Dans le DEV 1, je rajoute 2 lemmes pour que ça tienne en 15 minutes : $\mathfrak{A}_n$ est engendré par les 3-cycles et ceux-ci sont tous conjugués dans $\mathfrak{A}_n$.
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Références :
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Fichier :
106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon n'est pas très facile... J'ai parlé des sous-groupes dérivés et groupes projectifs dans une petite sous-partie sur le conseil d'un prof mais je ne suis pas sûr que j'aurais laissé cette partie si j'étais tombé sur cette leçon le jour J...
C'est important de parler des générateurs, des actions (pivot de Gauss, Gauss-Jordan et éventuellement Frobenius si vous l'avez travaillé pendant l'année, Sylvester)
Je pense qu'il faut parler du groupe orthogonal mais bien rester dans l'aspect GROUPE (structure, générateurs...) et le présenter comme un sous-groupe de GL(E)
Il faut bien prendre la version du Rombaldi où se trouve le chapitre "Actions de groupes sur les espaces de matrices" !
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Références :
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Fichier :
123 : Corps finis. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Il faut savoir démontrer l'existence et l'unicité du corps à $q=p^n$ éléments et surtout construire par exemple $\mathbb{F}_4$ ou $\mathbb{F}_9$ explicitement en utilisant un polynôme irréductible. Il faut aussi savoir multiplier deux éléments dans un corps fini, trouver les inverses etc...
Pour la cyclicité du groupe multiplicatif des inversibles, j'ai choisi de le faire par l'exposant (comme ça je pouvais le remettre dans les leçons de groupes) mais ça peut se faire par d'autres moyens.
Il faut savoir justifier pourquoi il existe des polynômes irréductibles de tout degré à coefficients dans $\mathbb{F}_q$.
Le Francinou où se trouve le DEV 2 est celui qui s'appelle "Exercices de mathématiques pour l'agrégation, Algèbre 1"
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Références :
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Fichier :
144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est relativement difficile même si on trouve facilement plein de choses à y mettre. La difficulté réside dans les polynômes à plusieurs variables : il faut savoir exploiter les relations coefficients-racines et utiliser le théorème de structure sur les polynômes symétriques et comme c'est la seule leçon qui parle de ça (du moins parmi mes plans) cela demande du travail juste pour cette leçon là...
Dans le DEV 1, je rajoute une application pour durer 15 minutes, il s'agit du résultat suivant :
Soit $G$ un sous-groupe fini de $\text{GL}_n(\mathbb{Z})$. L'application qui va de $G$ dans $\text{GL}_n(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$, qui à une matrice associe la même matrice dont les coefficients sont réduits modulo 3 est un morphisme de groupes injectif (voir Carnet de Voyage en Algébrie).
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Références :
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Fichier :
156 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Remarque :
Dans cette leçon, j'ai parlé des endomorphismes cycliques parce que le rapport du jury disait que c'était possible, et parce que j'aimais bien ça, mais je pense que ce n'est pas du tout obligatoire. Par contre, ça vaut le coup de se pencher un peu sur la réduction de Jordan par les noyaux itérés car c'est un peu la "finalité" de la théorie. Les démos sont un peu compliquées donc je pense qu'avoir les idées suffit, par contre il faut savoir jordaniser une matrice en pratique.
Pardonnez mon dessin ultra moche en annexe, vous le trouverez dans le Beck.
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Références :
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Fichier :
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Il faut mettre en avant d'un côté l'action d'un groupe sur un ensemble et d'un autre côté d'un groupe sur lui-même afin de dégager le plus de propriétés possibles et d'illustrer un maximum ces propriétés par des exemples variés dans divers domaines (algèbre linéaire/commutative, théorie des groupes, géométrie, ...).
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications.
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Leçon :
-
Remarque :
Cette leçon est difficile à faire car il y a beaucoup de choses à dire et on peut partir dans beaucoup de directions mais il n'y a pas une référence privilégiée qui s'attarde sur le sujet et donne des applications poussées dans divers domaines variés... Les livres de classe prépa peuvent aider pour bien poser les bases et rappeler toutes les définitions et propriétés de base.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps
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Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel
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Mathématiques pour l'agrégation, Analyse et probabilités, Jean-Étienne Rombaldi
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Cours d'algèbre
, Perrin
-
Algèbre
, Gourdon
-
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
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Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel
-
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
-
Oraux X-ENS Algèbre 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Fichier :
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon ressemble beaucoup à celle juste au dessus (étrange...) !
On peut faire cette leçon en très (très !) grande majorité avec le Berhuy. Il faut éviter de faire énormément de rappels et il est préférable de donner beaucoup d'exemples et de les diversifier (par exemple en consacrant un petit bout de la leçon aux sous-groupes finis du groupe linéaire ou de ses sous-groupes).
La théorie de Sylow n'est pas obligatoire non plus (car pas au programme) mais je trouve que c'est un très bon investissement à faire durant l'année.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
-
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
-
Carnet de voyage en Analystan, Caldero
-
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Théorie des groupes (bis), Delcourt
-
Algèbre et géométrie
, Combes
-
Oraux X-ENS Algèbre 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
-
Fichier :
106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
-
Remarque :
Il faut se concentrer dans cette leçon sur l'aspect algébrique du groupe linéaire et l'étudier en tant que groupe en parlant de générateurs, sous-groupes remarquables, actions de groupes, etc. On peut également pousser un peu plus les choses avec les groupes projectifs et les isomorphismes exceptionnels. Il faut également garder une petite place pour parler des propriétés topologiques de cet espace (connexité, sous-groupes compacts, ...).
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
-
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
-
Oraux X-ENS Algèbre 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
-
Oraux X-ENS Algèbre 3
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Topologie générale et espaces normés
, Hage Hassan
-
Fichier :
144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est relativement difficile car malgré le nombre de choses à dire il y a énormément de choses à maîtriser. Toute la difficulté réside dans les polynômes à plusieurs variables : il faut savoir exploiter les relations coefficients-racines et utiliser le théorème de structure sur les polynômes symétriques et comme c'est la seule leçon qui parle de ça, ça demande pas mal de travail juste pour une leçon...
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
-
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
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Algèbre et probabilités, Gourdon
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Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Fichier :
148 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est vaste et il y a beaucoup de choses à dire ! Il est notamment possible de parler de théorie des corps avec le théorème de la base télescopique puisque ces notions exploitent entièrement les idée d'espace vectoriel de dimension finie.
Je pense aussi que c'est une leçon considérée comme "facile", le jury attends un niveau assez élevé dessus... Je pense qu'il faut bien connaître les démonstrations (au moins les idées).
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
149 : Déterminant. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est assez vaste et le Deschamps de MPSI (ou de première année pour les nouvelles versions) fait assez l'affaire car donne toutes les définitions et propriétés de base ! Bien qu'il s'agisse d'une leçon d'algèbre il peut être bien de parler des applications du déterminant en analyse.
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Références :
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Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps
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Algèbre et probabilités, Gourdon
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Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
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Oraux X-ENS Algèbre 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps
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Analyse
, Gourdon
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Petit guide de calcul différentiel
, Rouvière
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Fichier :
150 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis resté sur des choses relativement basiques pour cette leçon en donnant des résultats de deuxième année (polynôme caractéristique/minimal et réduction d'endomorphismes) et des applications comme le calcul d'inverse, de puissance ou d'exponentielle d'une matrice.
Attention à la décomposition de Dunford car c'est un développement très (vraiment trop !!) vu donc il vaut mieux trouver autre chose pour se démarquer un peu (d'autant plus que le jury vous attends au tournant à la moindre erreur et sera plus vite lassé étant donné qu'il l'a déjà vu 10 fois avant). De plus, le lemme des noyaux peut se démontrer de plusieurs manières en fonction du résultat (juste la décomposition en somme directe ou en plus des résultats sur les projecteurs) et cela peut donc également poser problème...
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Références :
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Fichier :
151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Les endomorphismes cycliques sont importants dans cette leçon et on peut aller jusqu'à la décomposition Frobenius et les résultats théoriques qui suivent si on le désire (à condition d'avoir les idées des démos et de savoir faire en pratique avec l'algorithme de Smith).
Attention à la décomposition de Dunford car c'est un développement très (vraiment trop !!) vu donc il vaut mieux trouver autre chose pour se démarquer un peu (d'autant plus que le jury vous attends au tournant à la moindre erreur et sera plus vite lassé étant donné qu'il l'a déjà vu 10 fois avant). De plus, le lemme des noyaux peut se démontrer de plusieurs manières en fonction du résultat (juste la décomposition en somme directe ou en plus des résultats sur les projecteurs) et cela peut donc également poser problème...
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Références :
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Fichier :
152 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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Remarque :
C'est une leçon de niveau de deuxième année à priori mais il faut en contreparti être à l'aise dessus. En particulier le critère de co-diagonalisabilité doit être connu et avoir une idée de la démonstration (d'autant plus que ça tombe souvent aux écrits !). La topologie sur les espaces de matrices peut être un bon investissement car les gens en parlent assez peu dans le cadre de l'agrégation et ça permet de se démarquer : l'investissement est donc rentable.
Attention à la décomposition de Dunford car c'est un développement très (vraiment trop !!) vu donc il vaut mieux trouver autre chose pour se démarquer un peu (d'autant plus que le jury vous attends au tournant à la moindre erreur et sera plus vite lassé étant donné qu'il l'a déjà vu 10 fois avant). De plus, le lemme des noyaux peut se démontrer de plusieurs manières en fonction du résultat (juste la décomposition en somme directe ou en plus des résultats sur les projecteurs) et cela peut donc également poser problème...
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Références :
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Fichier :
153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon paraît facile au premier abord, mais comme il faut éviter de recopier les leçons 150 ou 152 et vraiment axer sur les éléments propres ça en fait une leçon un peu délicate... Surtout la partie "calcul approché d'éléments propres" avec les méthodes numériques comme par exemple la méthode de la puissance qui sont indispensables dans cette leçon et qu'il faut connaître un minimum.
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Références :
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Fichier :
156 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Remarque :
Se pencher un peu sur la réduction de Jordan par les noyaux itérés vaut le coup car c'est un peu la "finalité" de cette théorie. Les démonstrations sont un peu compliquées donc je pense qu'avoir les idées suffit, par contre il faut savoir jordaniser une matrice en pratique !
Attention à la décomposition de Dunford car c'est un développement très (vraiment trop !!) vu donc il vaut mieux trouver autre chose pour se démarquer un peu (d'autant plus que le jury vous attends au tournant à la moindre erreur et sera plus vite lassé étant donné qu'il l'a déjà vu 10 fois avant). De plus, le lemme des noyaux peut se démontrer de plusieurs manières en fonction du résultat (juste la décomposition en somme directe ou en plus des résultats sur les projecteurs) et cela peut donc également poser problème...
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Références :
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Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
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Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
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Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
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Oraux X-ENS Algèbre 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Fichier :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est assez difficile car la dualité n'est plus très abordée en CPGE ni à la fac donc il faut se mettre à niveau. Concevoir cette leçon est donc une tâche assez difficile étant donné qu'il faut quasiment découvrir un pan entier d'algèbre et prendre du recul le plus vite possible.
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Références :
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Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps
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Algèbre et probabilités, Gourdon
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Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
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Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
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Oraux X-ENS Algèbre 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Analyse
, Gourdon
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Fichier :
181 : Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon là est très difficile car la convexité dans R^n est peu abordée en CPGE et à la fac et le fait qu'il n'y ait plus "Barycentres" dans l'intitulé de leçon ne laisse pas grand chose de bien intéressant à dire (même le rapport du jury semble ne pas trop savoir quoi dire...). Mes deux développements sont passables mais sans plus car on exploite d'avantage la notion d'isobarycentre et de point extremal pour le second...
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Références :
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Fichier :
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon peut se faire de bien des manières différentes. Personnellement, j'ai choisi d'insister sur lalgèbre et plus particulièrement sur la théorie des groupes parce que j'étais plutôt à l'aise, mais on peut parler de probabilités par exemples (les applications ne manquent pas !). En revanche il faut bien s'attendre à avoir des exercices qui nécessitent de faire du dénombrement et donc il faut en faire de temps en temps pour garder en tête des "techniques classiques de dénombrement".
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Références :
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Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps
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Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
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Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps
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Algèbre et géométrie
, Combes
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
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Carnet de voyage en Analystan, Caldero
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Algèbre et probabilités, Gourdon
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Exercices de mathématiques pour l'agrégation, algèbre 1, Serge Francinou
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Fichier :
191 : Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est très intéressante car elle est immense et elle permet ainsi de vraiment choisir ce qui nous plaît pour en faire une leçon. On peut par exemple piocher dans les groupes, la géométrie euclidienne et affine, les coniques, et même la théorie des corps en parlant de constructibilité par exemple ! Autrement dit, il est possible de faire une leçon qui n'a aucun point commun avec la mienne mais qui soit très bien faite !
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Références :
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Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps
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Géométrie, Audin
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Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
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Théorie des groupes (bis), Delcourt
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Cours d'algèbre
, Perrin
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Algèbre et géométrie
, Combes
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Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni
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Algèbre et probabilités, Gourdon
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Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
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Fichier :
226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.
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Leçon :
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Remarque :
Il faut essayer d'illustrer un maximum avec des exemples concrets et des études de suites particulières.
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Références :
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Fichier :
162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
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Leçon :
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Remarque :
Méta plan (simple mais qui a bien marché):
I) Notion d'échelonnement: matrices élémentaires (transvection, permutation, dilatation), matrices échelonnées et comment les obtenir grâce aux matrices élémentaires (cet algorithme est appelé le pivot de Gauss), application aux systèmes linéaires (définition, rang, système de Cramer, ensemble de solutions, exemple de résolution). Problème de la formule de Cramer: le nombre d'opérations en n!. D'où le besoin d'autres méthodes:
[Ref: tout livre de MPSI/L1, j'ai utilisé le R. Mansuy MPSI chez Vuibert]
II) Méthodes directes de résolution
Pivot de Gauss (échelonnement en lignes) avec ou sans changement de pivot (différences et conséquences numériques), décomposition LU et complexité (DEV 1)
[Ref: Dumas et Caldero/Peronnier]
III) Méthodes itératives de résolution
Définition d'une méthode itérative, définition des méthodes de splitting (A=M-N), condition nécessaire et suffisante de convergence de ces méthodes (DEV 2), exemples (Jacobi, Gauss-Seidel)
[Ref: Dumas et Ciarlet]
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Références :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
123 : Corps finis. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Il faut savoir démontrer l'existence et l'unicité du corps fini à q = p^n éléments et surtout construire par exemple F_4 ou F_9 explicitement en utilisant un polynôme irréductible. Il faut également savoir justifier pourquoi il existe des polynômes irréductibles de tout degré à coefficients dans F_q.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
