C[X,Y]/(X^2+Y^2-1) est principal

C[X,Y]/(X^2+Y^2-1) est principal

C[X,Y]/(X^2+Y^2-1) est principal

Irréductibilité des polynômes cyclotomiques et application aux extensions finies de Q

D'après moi pour les leçons : 102, 125 et 141 (ne pas tenir compte du 126 dans le document, je ne sais pas pourquoi je l'ai mis).

Le développement tient bien en 15 mins, juste admettre le "rectangle noir" du 3) du document, c'est une partie facile et c'est tout benef si on vous demande de le démontrer après...

NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.

Irréductibilité des polynômes cyclotomiques et application aux extensions finies de Q

Irréductibilité des polyômes cyclotomiques sur Q

Groupes dérivés des groupes symétriques

Critère d'Eisenstein + Contre-exemple au théorème de l'élément primitif

P.76 du Perrin (pour le critère d'Eisentein)

P.124 du Ortiz (pour le contre-exemple, correspond à la question f) de l'exercice 6) sur le chapitre III, P.87)

Réductibilité des polynômes cyclotomiques

Voici ma version. Je ne l'ai pas encore relue donc il peut y avoir un bon paquet de fautes (autant d'orthographe que de maths), n'en tenez pas rigueur et n'hésitez pas à me les signaler :)

Le document est très long, mais si vous lisez le disclaimer initial, cela vous rassurera (ou pas ?)

Intersection de deux corps cyclotomiques

Le recasage est le suivant :
***** 125 : Extensions de corps. Exemples et applications.
***** 127 : Exemples de nombres remarquables. Exemples d’anneaux de nombres remarquables. Applications.
***** 141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et
applications.
***** 148 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie).
Rang. Exemples et applications.
**** 102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.
*** 142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

Le dernier est assez discutable, mais comme ça utilise beaucoup les propriétés de PGCD et PPCM, donc c'est tolérable.

Intersection de deux corps cyclotomiques

Recasages: 102, 125, 127, 141, 142 (les 2 derniers sont un peu abusifs)

J'aurai admis le lemme sur le sous-corps engendré par 2 corps qui n'est pas très intéressant. Ce résultat est vite balancé dans la littérature et je trouve pas l'avoir très bien fait. On peut consulter ce qu'a fait Etienne PEILLON dessus, il en a discuté en long en large et en travers avec nos profs.

En terme de temps, ça se fait en 14min30. Je pense qu'il est fondamental de faire la tour d'extensions au tableau.

Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.

J'ai pas aimé préparé cette leçon car il y a pleins de choses à dire et surtout pleins de références à utiliser. Comme je fais l'impasse sur la géométrie, cette partie est minimaliste mais il y a de quoi en faire beaucoup plus.

J'utilise le Tauvel pour la partie exponentielle complexe, FGN pour le 1er dév, Gozard et Ortiz pour le 2e dév, Peyré pour la dualité et Perrin pour la géométrie et les polynômes cyclotomiques. On pourrait aussi utiliser le Grifone si on veut faire plus de géométrie.

Extensions de corps. Exemples et applications

Je trouve qu'il y a pas mal de choses à raconter dans cette leçon. La dernière partie est essentiellement là pour le 2e dév. Je pense que c'est bien de faire des schémas d'extensions, les profs d'algèbre kiffent ça.

J'utilise le Ulmer et Perrin pour le plan, Gourdon pour le 1er dév, Gozard et Ortiz pour le 2e dév.

Exemples de nombres remarquables. Exemples d’anneaux de nombres remarquables. Applications.

Je suis pas très convaincu par ma 1ère partie et le fait le point 2 se répète dans les 2 parties. Je pense qu'il faut impérativement se placer sur C et pas aller voir dans d'autres corps, mais la notion de nombre est vague... Je parle de corps cyclotomiques parce que j'ai un dév dessus.

J'utilise Tauvel pour l'exponentielle complexe, Gourdon pour les nombres transcendants, le Perrin pour la 2e partie, Gozard et Ortiz pour les corps cyclotomiques.

Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

Mon plan est assez basique, on pourrait rajouter quelques critères d'irréductibilité, notamment en lien avec le degré des extensions. J'ai galéré à trouver un 2e dév potable et j'ai beaucoup hésité avec les nombres algébriques. Finalement, j'ai opté pour les corps cyclotomiques qui utilise de manière sous-jacente l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques. Mais il y a certainement mieux à faire.

J'utilise le Perrin pour la majeure partie du plan avec le Ulmer pour la partie extension, le Gozard et Ortiz pour les corps cyclotomiques.

PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

N'étant pas en option C, je connais pas vraiment d'algo à part Euclide. Mais on pourrait parler de Berlekamp ou Cantor-Zassenhaus j'imagine. Je suis pas convaincu par ma toute dernière sous-partie ni même par le dév mais c'est ce que j'avais sous la main.

J'utilise le Rombaldi pour quasiment tout le plan en complément avec le Ulmer, le Gourdon pour quelques cas, le Gozard et Ortiz pour le 2e dév.