Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)

Leçons 120, 121, 122, 126.

Théorème chinois et applications

Leçons 120, 122, 142.

On ajustera ce développement en faisant l'un ou l'autre des exemples en fonction de la leçon pour tenir les 15 minutes.
Pour la leçon 120, on ajustera le premier théorème en se plaçant dans Z/nZ plutôt qu'un anneau principal quelconque.

Théorème chinois et applications

Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

(Bon courage !)

Extensions de corps. Exemples et applications.

Exemples d’équations en arithmétique.

Anneaux principaux. Applications.

Anneaux principaux. Exemples et applications.

Plan scanné dans le désordre désolé.

Anneaux principaux. Exemples et applications.

Cette leçon a été faite au tout début de l'année, le plan n'est peut-être pas des plus pertinents.

/!\ A la fin de l'année, j'ai remplacé le DEV 1 par les endomorphismes semi-simples ! Mais ça peut être bien d'avoir une idée de la démo de mon ancien DEV 1 sur cette leçon (voir le Francinou exos agreg algèbre 1), ça donne un exemple d'anneau principal plus sophistiqué que les habituels anneaux $\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$...

/!\ J'ai aussi remplacé le DEV 2 par le théorème des deux carrés (voir ma leçon 127). On peut aussi bien sûr faire le théorème chinois + un exemple en DEV, j'ai choisi de ne pas le faire car j'avais un peu peur des calculs en DEV...

Il faut connaître les implications entre les types d'anneaux (euclidien, principal, factoriel) et des contre-exemples pour les implications réciproques.

Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Anneaux principaux. Exemples et applications.

Corps finis. Applications.

J'ai fait exactement ce plan le jour J. J'ai essayé de balayer large en terme de notions. Voici les questions que j'ai eu sur le plan:
- Comment vous montrez qu'il existe un polynôme irréductible de tout degré sur Fp ?
- Vous donnez 2 méthodes de construction des corps finis, laquelle préférez-vous ?
- Ok mais comment trouver par exemple un polynôme de degré 100 irréductible sur F3 ?
Les exercices:
- Quel est le lien entre polynôme irréductible sur Fp et sur Z ?
- Et la réciproque ? (le contre-exemple de X^4+1, que l'on a démontré)
- On a essayé de trouver sa décomposition en irréductibles sur Fp via Berlekamp
J'ai eu 17.25.

J'utilise le Perrin et Rombaldi pour la majeure partie du plan, le Ulmer pour les détails de la construction des corps finis, le Caldero pour le 2e dév.

Extensions de corps. Exemples et applications

Je trouve qu'il y a pas mal de choses à raconter dans cette leçon. La dernière partie est essentiellement là pour le 2e dév. Je pense que c'est bien de faire des schémas d'extensions, les profs d'algèbre kiffent ça.

J'utilise le Ulmer et Perrin pour le plan, Gourdon pour le 1er dév, Gozard et Ortiz pour le 2e dév.

Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

Mon plan est assez basique, on pourrait rajouter quelques critères d'irréductibilité, notamment en lien avec le degré des extensions. J'ai galéré à trouver un 2e dév potable et j'ai beaucoup hésité avec les nombres algébriques. Finalement, j'ai opté pour les corps cyclotomiques qui utilise de manière sous-jacente l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques. Mais il y a certainement mieux à faire.

J'utilise le Perrin pour la majeure partie du plan avec le Ulmer pour la partie extension, le Gozard et Ortiz pour les corps cyclotomiques.

PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

N'étant pas en option C, je connais pas vraiment d'algo à part Euclide. Mais on pourrait parler de Berlekamp ou Cantor-Zassenhaus j'imagine. Je suis pas convaincu par ma toute dernière sous-partie ni même par le dév mais c'est ce que j'avais sous la main.

J'utilise le Rombaldi pour quasiment tout le plan en complément avec le Ulmer, le Gourdon pour quelques cas, le Gozard et Ortiz pour le 2e dév.

Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

J'ai pas mis ce que je mettais dans les sous-parties parce que ça semble assez clair à partir du titre (et que je l'ai pas fait de mon côté :)). Pour que le 2e dév passe dans cette leçon, je passe par le théorème de structure des polynômes symétriques. Ce résultat fait peur mais je le trouve bien fait dans le Ulmer, qui met l'ordre lexicographique sur les polynômes à plusieurs variables et qui permet d'obtenir la décomposition en polynômes élémentaires de manière algorithmique.

J'utilise le Gourdon et Rombaldi pour la 1ère partie, Ulmer et Perrin pour les 2 autres et Francinou pour le 2e dév.

Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

Les 2 premières parties sont classiques. Je trouve qu'il y a largement de quoi faire pour remplir 3 pages sur cette leçon, surtout si on aime bien la théorie des extensions de corps.

J'utilise le Grifone pour la 1ère partie, le Rombaldi et le Gourdon pour la 2e et 3e, puis Perrin et Ulmer pour les corps.

Anneaux principaux. Exemples et applications.

J'aimais bien cette leçon, d'autant plus que je n'avais qu'à suivre le Ulmer pour le début.
Je pense que l'on peut parler d'anneau factoriel dans cette leçon, j'ai préféré ne pas le faire par peur de certaines questions. On peut aussi parler de nombres algébriques et polynôme minimal associé.
Pour le développement sur le critère d'Eisenstein, je me plaçais dans un anneau principal (alors que factoriel suffit) et cela simplifiait donc la preuve.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Corps finis. Applications.

Plan pas très compliqué, j'utilise juste le Perrin et le Gozard, d'autant plus que certaines parties se retrouvent dans d'autres leçons.
Avant de faire cette leçon, je ne connaissais aucun résultat sur les carrés dans $\mathbb{F}_q$. Franchement c'est un bon investissement car cela remplit la leçon et les preuves sont simples.
Ma partie sur l'irréductibilité de polynômes est peut être un peu longue, mais bon pour chaque critère on se place à un moment dans $\mathbb{F}_p$ donc c'est justifié.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

J'ai l'impression que cette leçon est redoutée par beaucoup, mais je pense qu'en bossant bien les notions elle n'est pas si compliquée (par contre je ne trouvais pas beaucoup de développements). Il faut bien faire attention à l'odre dans lequel on introduit les notions, j'ai pour ma part décidé de partir du cas général pour aller vers les cas particuliers (qui sont plus simples).
Comme algorithmes, le mimimum est de mettre celui d'Euclide et celui d'Euclide étendu (ce sont les algorithmes utilisés au lycée donc aucune nouveauté).
Je ne pense pas que mon développement sur le critère d'Eisenstein mérite une sous-partie à lui tout seul, mais je ne voyais pas où le mettre sinon.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.