Exercices mathématiques

Francinou, Gianella

Utilisée dans les 10 développements suivants :

Table de caractères de D4 et H8
Automorphismes de K(X)
Polynômes irréductibles sur Fq
Classification des groupes d'ordre 8
C[X,Y]/(XY-1) est principal
Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini
Équation de Nagell-Ramanujan
Les idéaux premiers de K[X,Y]
Théorème de Wolstenholme
Table de caractères des groupes non abéliens d'ordre 8

Utilisée dans les 6 leçons suivantes :

190 (2025) Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
122 (2025) Anneaux principaux. Exemples et applications.
123 (2025) Corps finis. Applications.
125 (2025) Extensions de corps. Exemples et applications
141 (2025) Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
243 (2025) Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

Utilisée dans les 18 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    Développement pas trop long, assez compliqué mais très recasable ce qui en fait, pour moi, un incontournable.
    On utilise le théorème fondamental de l'arithmétique, le théorème de Lagrange, la notion de polynome minimal, la notion de corps de rupture et de décomposition et le théorème de la base télescopique.
    NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi.
    NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.
    NB3 : Attention, il n'est pas évident que : $ [F_{q^n} : F_[q}] = n $. (voir la question 1 qui manque de détails)
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    J'ai ajouté un lemme souvent négligé pour le faire rentrer dans la leçon sur les corps. Il faut vraiment travailler ce développement de son côté, je trouve qu'il y a pas mal de subtilités.
    Le corollaire est "de mon cru" dans le sens où je ne voulais pas utiliser la fonction de Mobiüs donc j'ai fait un peu autrement mais je n'ai pas de référence (même si je ne doute pas que quelqu'un d'autre ait fait comme ça dans son bouquin !).

    Je le prends pour les leçons 123, 141 et 144.

    On trouvera la preuve aux alentours de la page 190.
  • Référence :
  • Fichier :

Utilisée dans les 7 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    Je suis passé sur cette leçon le jour J ! Voir mon témoignage plus bas.

    Pour cette leçon, je déconseille de s'aventurer en théorie de Galois parce que ça demande un gros investissement juste pour cette leçon là...
    Par contre, la constructibilité c'est cool, c'est joli, c'est pas très difficile... et on peut en parler dans plusieurs leçons !
    Comme je le dis dans mon témoignage, je pense que le jury considère cette leçon comme difficile et donc que maîtriser la base suffit.

    Le jour J, je n'ai pas fait la même partie I-1), j'ai à la place défini rapidement ce qu'était un corps et j'ai parlé de la caractéristique.
    Il faut bien justifier le DEV 2 par le fait que les polynômes irréductibles servent à construire des extensions de corps finis !
  • Références :
  • Fichier :
  • Leçon :
  • Remarque :
    J'ai fait cette leçon en tout début d'année, juste après la 241. Je pense qu'il y a à peu près tout ce qui doit s'y trouver, on peut rajouter des choses sur l'analyticité mais il ne faut pas trop en mettre car il y a une leçon consacrée à cela : la 245.

    /!\ Le DEV 2 : Nombres de Bell rentre très bien dans cette leçon, mais à la fin de l'année, je l'avais remplacé par le théorème de Runge que j'aurais mis dans II-2) par exemple.

    Je suis resté sur des choses assez basiques pour cette leçon, on peut sûrement trouver des résultats plus sophistiqués si on est très à l'aise, notamment des critères pour qu'une fonction soit développable en série entière, ou sur les singularités d'une fonction holomorphe et le rayon maximal des séries entières...

    Il faut bien savoir trouver le rayon de convergence d'une série entière en utilisant l'une des formules (D'Alembert, Cauchy-Hadamard...) et il faut bien savoir comment on obtient l'existence et l'unicité de ce rayon de convergence (lemme d'Abel). Il faut aussi savoir démontrer qu'une série entière converge normalement sur tout compact du disque ouvert de convergence, savoir étudier ce qui se passe sur le cercle d'incertitude dans certains cas...
    Il faut aussi faire attention à ne pas dire de bêtises sur les séries entières, c'est le genre de sujets où on peut en dire facilement. Je conseillerais de bien lire tout le chapitre du El Amrani là-dessus.
  • Références :
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