Polynômes irréductibles sur Fq

Mis à jour le 5.06.17

Classification des groupes d'ordre 8

C[X,Y]/(XY-1) est principal

Mis à jour le 10.06.17

Automorphismes de K(X)

Équation de Nagell-Ramanujan

Polynômes irréductibles sur Fq

Les idéaux premiers de K[X,Y]

La première phrase dans la preuve du lemme est un peu floue. Je veux dire qu'on voit $F$ et $P$ comme éléments de $K[X][Y] \subset K(X)[Y]$.

Table de caractères des groupes non abéliens d'ordre 8

C'est l'exercice E.21 page 333 du livre de Caldero, tome 2 (nouvelle édition).
En complément, la preuve de la classification des groupes d'ordre 8 est faite dans le livre de Francinou et Gianella (Attention, ce n'est pas un FGN !)

Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini

Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini

Développement pas trop long, assez compliqué mais très recasable ce qui en fait, pour moi, un incontournable.
On utilise le théorème fondamental de l'arithmétique, le théorème de Lagrange, la notion de polynome minimal, la notion de corps de rupture et de décomposition et le théorème de la base télescopique.
NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi.
NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.
NB3 : Attention, il n'est pas évident que : $ [F_{q^n} : F_[q}] = n $. (voir la question 1 qui manque de détails)

Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini

Leçons 123, 125, 141, 144, 190

Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini

Dans cette version j'utilise la formule d'inversion de Moebius sans la démontrer.
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.

Table de caractères de D4 et H8

Théorème de Wolstenholme

Polynômes irréductibles sur Fq

On démontre un équivalent du nombre de polynômes irréductibles unitaires de degré fixé sur F_q. On a besoin de la formule d'inversion de Möbius que je démontre en toutes généralités dans un lemme préliminaire. On démontre au passage qu'il existe des polynômes unitaires irréductibles de tout degré sur F_q. Attention aux coquilles.

Polynômes irréductibles sur Fq

J'ai ajouté un lemme souvent négligé pour le faire rentrer dans la leçon sur les corps. Il faut vraiment travailler ce développement de son côté, je trouve qu'il y a pas mal de subtilités.
Le corollaire est "de mon cru" dans le sens où je ne voulais pas utiliser la fonction de Mobiüs donc j'ai fait un peu autrement mais je n'ai pas de référence (même si je ne doute pas que quelqu'un d'autre ait fait comme ça dans son bouquin !).

Je le prends pour les leçons 123, 141 et 144.

On trouvera la preuve aux alentours de la page 190.

Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

La leçon que je préfère dans l'agrégation.
Attention, cette leçon est potentiellement très casse-gueules si vous n'avez jamais eu d'UE de mathématiques discrètes ; par exemple, l'outil des séries génératrices est très puissant mais encore faut-il savoir s'en servir pour le dénombrement !

Je me suis servi principalement d'un livre anglais peu connu en France, comprenant des milliers d'exemples, sur lequel j'avais déjà travaillé durant ma scolarité. On pourra se rabattre sur d'autres livres, mais il est vrai que trouver des exemples est un peu dur : les anglophones raffolent de maths discrètes !

(la référence de l'application 6 : Wikipédia, mais vous pourrez sortir tout exemple drôle qui vous vient à l'esprit)