Leçon 190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

(2023) 190

Dernier rapport du Jury :

(2022 : 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.) Il est nécessaire de dégager clairement différentes méthodes de dénombrement et de les illustrer d'exemples significatifs. De nombreux domaines de mathématiques sont concernés par des problèmes de dénombrement, cet aspect varié du thème de la leçon doit être mis en avant. L'utilisation de séries génératrices est un outil puissant pour le calcul de certains cardinaux. De plus, il est naturel de calculer des cardinaux classiques et certaines probabilités. Il est important de connaître l'interprétation ensembliste de la somme des coefficients binomiaux et ne pas se contenter d'une justification par le binôme de Newton. L'introduction des corps finis (même en se limitant aux cardinaux premiers) permet de créer un lien avec l'algèbre linéaire. Les actions de groupes peuvent également conduire à des résultats remarquables. S'ils le désirent, les candidats peuvent aussi présenter des applications de la formule d'inversion de Möebius ou de la formule de Burnside. Des candidats ayant un bagage probabiliste pourront explorer le champ des permutations aléatoires, en présentant des algorithmes pour générer la loi uniforme sur le groupe symétrique $S_n$ et analyser certaines propriétés de cette loi uniforme (points fixes, cycles, limite $n \to +\infty$, ...).

(2019 : 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.) Il est nécessaire de dégager clairement différentes méthodes de dénombrement et de les illustrer d’exemples significatifs. De nombreux domaines de mathématiques sont concernés par des problèmes de dénombrement, cet aspect varié du thème de la leçon doit être mis en avant. L’utilisation de séries génératrices est un outil puissant pour le calcul de certains cardinaux. De plus, il est naturel de calculer des cardinaux classiques et certaines probabilités. Il est important de connaître l’interprétation ensembliste de la somme des coefficients binomiaux et ne pas se contenter d’une justification par le binôme de Newton. L’introduction des corps finis (même en se limitant aux cardinaux premiers) permet de créer un lien avec l’algèbre linéaire. Les actions de groupes peuvent également conduire à des résultats remarquables. $\\$ S’ils le désirent, les candidats peuvent aussi présenter des applications de la formule d’inversion de Möebius ou de la formule de Burnside. Des candidats ayant un bagage probabiliste pourront explorer le champ des permutations aléatoires, en présentant des algorithmes pour générer la loi uniforme sur le groupe symétrique $S_n$ et analyser certaines propriétés de cette loi uniforme (points fixes, cycles, limite $n \to +\infty$...).
(2017 : 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.) Il est nécessaire de dégager clairement différentes méthodes de dénombrement et de les illustrer d’exemples significatifs. De nombreux domaines de mathématiques sont concernés par des problèmes de dénombrement, cet aspect varié du thème de la leçon doit être mis en avant. L’utilisation de séries génératrices est un outil puissant pour le calcul de certains cardinaux. De plus, il est naturel de calculer des cardinaux classiques et certaines probabilités. Il est important de connaître l’interprétation ensembliste de la somme des coefficients binomiaux et ne pas se contenter d’une justification par le binôme de Newton. L’introduction des corps finis (même en se limitant aux cardinaux premiers) permet de créer un lien avec l’algèbre linéaire. Les actions de groupes peuvent également conduire à des résultats remarquables. S’ils le désirent, les candidats peuvent aussi présenter des applications de la formule d’inversion de Möebius ou de la formule de Burnside. Des candidats ayant un bagage probabiliste pourront explorer le champ des permutations aléatoires, en présentant des algorithmes pour générer la loi uniforme sur le groupe symétrique $S_n$ et analyser certaines propriétés de cette loi uniforme (points fixes, cycles, limite $n \to +\infty$ ...).
(2016 : 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.) Il est nécessaire de dégager clairement différentes méthodes de dénombrement et les illustrer d’exemples significatifs. De nombreux domaines de mathématiques sont concernés par des problèmes de dénombrement, cet aspect varié du thème de la leçon doit être mis en avant. L’utilisation de séries génératrices est un outil puissant pour le calcul de certains cardinaux. De plus il est naturel de calculer des cardinaux classiques et certaines probabilités. Il est important de connaître l’interprétation ensembliste de la somme des coefficients binomiaux, et ne pas se contenter d’une justification par le binôme de Newton. L’introduction des corps finis (même en se limitant aux cardinaux premiers) permet de créer un lien avec l’algèbre linéaire. Les actions de groupes peuvent également conduire à des résultats remarquables. S’ils le désirent, les candidats peuvent aussi présenter des applications de la formule d’inversion de Möebius ou de la formule de Burnside.
(2015 : 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.) Il faut dans un premier temps dégager clairement les méthodes et les illustrer d'exemples significatifs. L'utilisation de séries génératrices est un outil puissant pour le calcul de certains cardinaux. Le jury s'attend à ce que les candidats sachent calculer des cardinaux classiques et certaines probabilités ! L'introduction des corps finis (même en se limitant aux cardinaux premiers) permet de créer un lien fécond avec l'algèbre linéaire.
(2014 : 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.) Il faut dans un premier temps dégager clairement les méthodes et les illustrer d'exemples significatifs. L'utilisation de séries génératrices est un outil puissant pour le calcul de certains cardinaux. Le jury s'attend à ce que les candidats sachent calculer des cardinaux classiques et certaines probabilités ! L'introduction des corps finis (même en se limitant aux cardinaux premiers) permet de créer un lien fécond avec l'algèbre linéaire.

Développements :

Plans/remarques :

2024 : Leçon 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Cette leçon est plus simple à préparer qu'il n'y paraît. La nouvelle version du Gourdon fait un travail remarquable pour les premières parties du plan.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :

2023 : Leçon 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet.
    Si cela peut aider des gens, avec plaisir !
    Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ).
    Les références sont à la fin.
    Attention aux éventuels coquilles.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.


2020 : Leçon 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.


2019 : Leçon 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.


2018 : Leçon 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.


2017 : Leçon 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.


2016 : Leçon 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.


2015 : Leçon 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.


Retours d'oraux :

2022 : Leçon 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

  • Leçon choisie :

    190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

  • Autre leçon :

    103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quelques questions "d'ouverture" sur le développement (calcul dans un cas particulier, que se passe-t-il si on fait agir $GL_n(\mathbb{F}_q)$ sur l'ensemble des couples (F,G) de sev de $\mathbb{F}_q^n$ avec dim F fixée, dim G fixée et F et G pas forcément en somme directe ? Autre question sur le développement : on voit que le terme dominant dans la somme correspond au q-uplet (1,1,...,1) : comparer avec ce qu'il se passe dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ (densité des matrices à $n$ valeurs propres distinctes). Montrer que $A \in M_n(\mathbb{F}_q)$ est diagonalisable ssi $A^q = A$.

    Pas de question sur le plan.

    Exos :

    - Compter les k-cycles dans $\mathfrak{S}_n$.

    - Soit $E$ un ensemble fini à $n$ éléments. Compter les couples $(F,G)$ de parties de $E$ telles que $F \cap G$ est vide.

    - "Exercice qui n'a rien à voir" : Soit $E$ un ensemble fini à $n$ éléments. Compter les couples $(F,G)$ de parties de $E$ telles que $F \cup G = E$. (on se ramène au précédent en passant au complémentaire)

    - Montrer par un dénombrement une formule dont je ne me souviens plus exactement. C'était une somme de coefficients binomiaux.

    - Calculer $$\sum_{(i_1,...,i_r) \in \mathbb{N}^r, i_1 + ... + i_r = n} i_1...i_r$$ ($r$ et $n$ sont fixés)

    - Rappeler la définition de $p$-Sylow et trouver le nombre de $p$-Sylow dans $GL_n(\mathbb{F}_p)$.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury neutre.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas vraiment de surprise, un peu déçu qu'on n'ait pas parlé du lemme de Sperner pour montrer le théorème du point fixe de Brouwer (c'était dans mon plan). J'avais également fait exprès de ne pas mettre le dénombrement des matrices trigonalisables dans $M_n(\mathbb{F}_q)$ (j'avais les diagonalisables et nilpotentes à la fin du plan).

  • Note obtenue :

    19.75


2018 : Leçon 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

  • Leçon choisie :

    190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

  • Autre leçon :

    154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Nombres de Bell

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    — Dans le développement, il apparaît un produit de Cauchy, alors le jury m'a un peu questionné dessus, car c'est un point sur lequel je suis passé rapidement. Ensuite, il s'est passé un truc étrange, toujours en rapport avec le développement : une partie du développement fait appel à une récurrence. Après le dév, un membre du jury me dit qu'il sait qu'il existe une preuve purement combinatoire, mais qu'il ne la connaît pas ; alors il m'a demandé si je la connaissais, mais non, donc ils sont passés à autre chose.
    — Après ça, ils m'ont donné en exercice le problème des chapeaux : n personnes ont un chapeau, qu'elles retirent en arrivant dans une salle et en partant, elles reprennent un chapeau au hasard. La question était de savoir quelle est la proba que personne ne reparte avec son chapeau, en faisant appel à des séries génératrices. J'ai transformé la question en un problème de permutation sans points fixes, et le jury m'a guidé pour les calculs, puis lorsque je suis presque arrivé au bout, ils sont passés à autre chose.
    — Ensuite, on est passé aux corps finis, mais mes souvenirs sont un peu flous. Si je me souviens bien, ils m'ont demandé de compter les sous-espaces de dimension k\le n dans F_p^n. J'ai introduit une action de groupe et bêtement, je me suis foiré sur le nombre de matrices de taille donnée à coefficients dans F_p.

    Après ça, c'était terminé.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Ils ont eu l'air contents que je choisisse la leçon 190. Ils ont été accueillants et courtois, mais peut-être un peu froids. L'un des membres du jury a passé tout l'oral à faire des blagues…

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    RAS

  • Note obtenue :

    10


2017 : Leçon 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.


2015 : Leçon 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 2, Caldero, Germoni (utilisée dans 19 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni (utilisée dans 41 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni (utilisée dans 22 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 338 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 290 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 127 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 63 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 29 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 353 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 140 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 131 versions au total)
Algèbre L3 , Szpirglas (utilisée dans 42 versions au total)
Théorie des Groupes, Félix Ulmer (utilisée dans 48 versions au total)
De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman (utilisée dans 53 versions au total)
Discrete and Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction, Ralph P. Grimaldi (utilisée dans 1 versions au total)
Proofs from the book (Raisonnements divins en fr), Aigner, Ziegler (utilisée dans 9 versions au total)
Exercices mathématiques , Francinou, Gianella (utilisée dans 19 versions au total)
Mathématiques pour le CAPES et l'Agrégation Interne, Jean de Biaisi (utilisée dans 5 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 50 versions au total)
131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 60 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 102 versions au total)
Algèbre et géométrie , Combes (utilisée dans 28 versions au total)
Cours d'arithmétique , Serre (utilisée dans 12 versions au total)
Algèbre pour la licence 3 , Risler (utilisée dans 8 versions au total)
Elements d'analyse et d'algèbre , Colmez (utilisée dans 17 versions au total)