Développement : Théorème de Polya (chaînes de Markov)

Détails/Enoncé :

Soit $(X_n)_{n \in \mathbb N}$ une suite de variables aléatoires modélisant une marche aléatoire sur $\mathbb Z^d$ et vérifiant
$$ X_0 = 0 \quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb N^*, \ X_n = \sum_{k=1}^n \xi_k,$$
où les $\xi_k$ sont des variables aléatoires i.i.d de loi uniforme sur $\lbrace \pm e_1, \ldots, \pm e_d \rbrace$, où $e_1, \ldots, e_d$ désignent les vecteurs de la base canonique de $\mathbb R^d$.
La suite $(X_n)_{n \in \mathbb N}$ est récurrente (i.e. revient en $0$ en un temps fini presque sûrement) ssi $d \leq 2$.

Recasages pour l'année 2024 :

Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 56 versions au total)