Référence : 131 Développements pour l’oral

Caractérisation des ensembles Récursivement Énumérables

Développement :
Caractérisation des ensembles Récursivement Énumérables
Remarque :
Cori-Lascar tome 2, p.41.
Références :
- Logique mathématique Tome 2, René Cori, Daniel Lascar
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron

2-SAT est NL-dur

Développement :
2-SAT est NL-dur
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron

Théorème de compacité du calcul propositionnel

Développement :
Théorème de compacité du calcul propositionnel
Remarque :
Cette référence permet de recaser aussi dans la 918 et la 924 quitte à revoir l’organisation du développement (aidé par les commentaires). En effet, le théorème est démontré de deux manières différentes: via la topologie produit habituelle et via les arbres infinis dont chaque sommet a un degret fini.
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron

Racine carrée de la primitivisation (version opérateurs)

Développement :
Racine carrée de la primitivisation (version opérateurs)
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron

Sous-algèbres réduites de Mn(C)

Développement :
Sous-algèbres réduites de Mn(C)
Remarque :
page 207
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- Sous-algèbre réduite de Mn(C).pdf

Méthode de relaxation

Développement :
Méthode de relaxation
Remarque :
Page 451
On traite juste le cas A inversible ici (pas forcément symétrique)
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron

Calcul des intégrales de Fresnel

Développement :
Calcul des intégrales de Fresnel
Remarque :
Développement faisant intervenir deux manières de calculer ces intégrales: par les séries de Fourier ou par intégration complexe, à choisir en fonction de la leçon présenté.

Résultats bonus:
1. Si f est continue et C^1 par morceaux, alors la série de Fourier de f converge normalement vers f.
2. Théorème d'Abel

Développement n°8 sur 28.
Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- Calcul des intégrales de Fresnel.pdf

Théorèmes de Choquet et de Birkhoff

Développement :
Théorèmes de Choquet et de Birkhoff
Remarque :
Développement consistant de deux théorèmes portant sur les points extrémaux.

Résultats bonus:
1. Théorème de Frein Milman

Développement n°11 sur 28.
Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- Théorèmes de Choquet et de Birkhoff.pdf

Marche aléatoire sur [0;1]

Développement :
Marche aléatoire sur [0;1]
Remarque :
Développement portant sur un modèle de marche aléatoire sur le segment [0;1] à partir de la fonction Beta d'Euler.

Résultats bonus:
1. Beta(p;q) = Gamma(p)Gamma(q)/Gamma(p+q)
2. Lemme utilisé
3. Théorème de Weierstrass

Développement n°12 sur 28.
Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- Marche aléatoire sur [0;1].pdf

Forme normale de Smith

Développement :
Forme normale de Smith
Remarque :
Développement par analyse-synthèse consistant d'un seul gros théorème. Attention au temps.

Résultats bonus:
1. Comment obtenir une matrice semblable par les invariants de similitude (réduction de Frobénius) en passant par la forme normale de Smith.

Développement n°15 sur 28.
Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- Forme normale de Smith.pdf

Théorème de Dixon

Développement :
Théorème de Dixon
Remarque :
Développement assez abordable de théorie des groupes consistant d'un théorème et d'une application.

Résultats bonus:
1. Si G est un groupe tel que G/Z(G) est abélien, alors G est abélien.
2. Le groupe des quaternions H8 vérifie p(H8) = 5/8.

Développement n°16 sur 28.
Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- Théorème de Dixon.pdf

Théorème de Brouwer par le logarithme

Développement :
Théorème de Brouwer par le logarithme
Remarque :
Ne se recase pas beaucoup, mais permet de parler de choses assez intéressante si on aime les groupes topologiques et la topologie algébrique !
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- Logarithme et Brouwer.pdf

Théorème de Polya (chaînes de Markov)

Développement :
Théorème de Polya (chaînes de Markov)
Remarque :
[pdf à venir]
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron

L'unique entier entre un carré et un cube

Développement :
L'unique entier entre un carré et un cube
Remarque :
[pdf à venir]
La preuve utilise fortement la factorialité de $\mathbb Z [i\sqrt2]$ (qui provient de son caractère euclidien) ainsi que l'existence d'un pgcd sur un anneau factoriel. On montre facilement que cette équation revient à déterminer les entiers situés entre un carré et un cube parfaits.
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron

Calcul des intégrales de Fresnel (Fourrier)

Développement :
Calcul des intégrales de Fresnel (Fourrier)
Remarque :
131 DVP pour l'agreg p487
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron

Théorème de Burnside (Groupes simples)

Développement :
Théorème de Burnside (Groupes simples)
Remarque :
Ce document est très long, mais c'est parce que j'ai mis beaucoup de commentaires et des démonstrations de quelques propriétés qu'on utilise dans le développement.
PS : Vers la fin j'utilise l'argument : "G est abélien donc non simple", mais c'est aussi parce que G est d'ordre non premier.
Références :
Fichier :
- Théorème de Burnside _Groupes simples_.pdf

Marche aléatoire sur [0;1]

Développement :
Marche aléatoire sur [0;1]
Remarque :
Le développement est très bien réalisé et détaillé dans la référence. Je suis passée dessus le jour de l'oral. A mon avis c'est un développement original, un peu exigeant mais rentable. En particulier, il faut savoir démontrer les parties / lemmes que l'on admet si on nous le demande.

Je poste ici le schéma de la preuve, comment j'organise la démonstration pour que cela tienne en 15 minutes et également les questions posées par le jury.

De mon point de vue, il peut être utilisé dans les leçons 201, 261, 262, 265 et 266.
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- Marche aléatoire sur [0,1].pdf

Probabilité que deux éléments commutent dans groupe

Développement :
Probabilité que deux éléments commutent dans groupe
Remarque :
Développement pouvant être fait en trois temps (que je n'ai pas mis dans l'ordre sur ma version) :
1) La probabilité p est majorée par 5/8 (cf Lesesvre);
2) Preuve de la formule de Burnside (cf n'importe quel livre d'algèbre faisant la preuve, je propose le Berhuy);
3) Application de la formule de Burnside pour montrer que p vaut le nombre de classe de conjugaisons divisé par le cardinal du groupe (pas de référence mais c'est facile).

Le Lesesvre propose un cas d'égalité avec le groupe diédral, que je ne traite pas.

Développement pouvant être utilisé dans les leçons 101, 103, 104 et 190.
Références :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
- Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
Fichier :
- Dixon.pdf

Théorème de Dixon

Développement :
Théorème de Dixon
Remarque :
Développement pouvant être fait en trois temps (que je n'ai pas mis dans l'ordre sur ma version) :
1) La probabilité p est majorée par 5/8 (cf Lesesvre);
2) Preuve de la formule de Burnside (cf n'importe quel livre d'algèbre faisant la preuve, je propose le Berhuy);
3) Application de la formule de Burnside pour montrer que p vaut le nombre de classe de conjugaisons divisé par le cardinal du groupe (pas de référence mais c'est facile).

Le Lesesvre propose un cas d'égalité avec le groupe diédral, que je ne traite pas.

Développement pouvant être utilisé dans les leçons 101, 103, 104 et 190.
Références :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
- Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
Fichier :
- Dixon.pdf

Théorème de Dixon

Développement :
Théorème de Dixon
Remarque :
Pas de groupe diédral dans ma version.
On démontre la formule de Burnside et on l'utilise pour prouver le théorème de Dixon. En termes de difficulté, c'est assez simple je trouve.

Attention aux coquilles.
Références :
- Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- Théorème de Dixon.pdf

Théorèmes de Helly et de Carathéodory

Développement :
Théorèmes de Helly et de Carathéodory
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron

Formule de Stirling par le théorème central limite (et par lois de Poisson)

Développement :
Formule de Stirling par le théorème central limite (et par lois de Poisson)
Remarque :
Cette preuve n'utilise pas le lemme de Slutsky (et elle est référencée !), c'est principalement pour cette raison que je n'ai pas mis ce développement sur la page dédié aux développements sur Stirling par le TCL (où on utilise des variables aléatoires suivant une loi exponentielle cette fois) ; ce n'est tout simplement pas la même preuve.

Attention aux coquilles.
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- Dev - Formule de Stirling par le théorème central limite.pdf

Racine carrée de la primitivisation (version opérateurs)

Développement :
Racine carrée de la primitivisation (version opérateurs)
Remarque :
A la fin de mes devs je mets toujours une petite note sur les résultats annexes à savoir, c'est très subjectif et non exhaustif, il y a évidemment pleins d'autres choses à savoir sur chaque dev que ce que je mets.

Pour me contacter si besoin : axel.carpentier2001@gmail.com
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- Racine primitivation Axel.pdf

Calcul des intégrales de Fresnel (Fourrier)

Développement :
Calcul des intégrales de Fresnel (Fourrier)
Remarque :
A la fin de mes devs je mets toujours une petite note sur les résultats annexes à savoir, c'est très subjectif et non exhaustif, il y a évidemment pleins d'autres choses à savoir sur chaque dev que ce que je mets.

Pour me contacter si besoin : axel.carpentier2001@gmail.com
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- Fresnel Axel.pdf

Surjectivité de l'exponentielle matricielle

Développement :
Surjectivité de l'exponentielle matricielle
Références :
- Un max de maths , Zavidovique
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- Surjectivité de l exponentielle matricielle.pdf

Décomposition de Dunford (version algorithmique) #effectif #méthodeEuler

Développement :
Décomposition de Dunford (version algorithmique) #effectif #méthodeEuler
Remarque :
Versions avec le polynôme caractéristique scindé et non scindé
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- Décomposition de Dunford.pdf

Décomposition Polaire C infini difféomorphisme

Développement :
Décomposition Polaire C infini difféomorphisme
Remarque :
Je n'ai pas de source pour le caractère C infini mais la preuve de ce point est facile à retenir, le reste est issu de la source.
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- Décomposition polaire C infini.pdf

Générateurs de SL2(Z) et SL2(Z/NZ)

Développement :
Générateurs de SL2(Z) et SL2(Z/NZ)
Remarque :
La source n'est pas complète, j'ai rajouté ce qui manquait. Pour retenir cet ajout il vaut mieux réussir à comprendre le principe, j'ai fait de mon mieux pour.
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- Générateurs de SL2(Z) et SL2(Z nZ).pdf

Descente de gradient à pas constant

Développement :
Descente de gradient à pas constant
Remarque :
La preuve dans la source est horriblement fausse, mais on peut garder les idées pour la corriger comme je l'ai fait.
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- Méthode de descente du gradient.pdf

Le théorème de Féjer

Développement :
Le théorème de Féjer
Remarque :
Dans ce développement, on fait une preuve qui s'adapte selon si on veut prouver une convergence uniforme ou Lp. Il rentre bien dans les espaces de Hilbert pour moi.
Références :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
Fichier :
- Théorème de Féjer.pdf

Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)

Développement :
Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)
Remarque :
La preuve dans la source est fausse (comme d'hab avec ce bouquin), voilà une correction.
J'ai ajouté un truc à ne pas présenter mais bon à savoir.
Références :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
Fichier :
- Théorème de Riesz-Fischer.pdf

Théorème d'Hermite sur les formes quadratiques

Développement :
Théorème d'Hermite sur les formes quadratiques
Remarque :
La preuve dans la source n'est pas complète, voilà ce que j'ai fait.
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- Théorème d'Hermite sur les formes quadratiques.pdf

Calcul des intégrales de Fresnel (Fourrier)

Développement :
Calcul des intégrales de Fresnel (Fourrier)
Remarque :
Version du développement que j'ai adaptée (j'espère sans erreur) pour que les coefficients de Fourier utilisés soient les coefficients pour les fonctions $2\pi$-périodiques. Si vous relevez des erreurs, signalez-les moi par mail.

Côté recasages à mon avis:
Séries de Fourier
Exemples de méthodes de calcul d'intégrales
Eventuellement (moins convaincant) séries de nombres réels et complexes, puisque l'on ramène le calcul de l'intégrale au calcul d'une série de nombres
Eventuellement (moins convaincant) dans suites et séries de fonctions puisque l'on utilise les séries de Fourier.
Par contre, dans la leçon 209 sur les approximations de fonctions par des fonctions régulières, je ne vois vraiment pas le rapport.

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- integrales_de_fresnel.pdf

L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

Développement :
L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++
Remarque :
Je n'ai pas eu le temps de le taper en latex.
Références :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- Exponentielle homéomorphisme.pdf

L'unique entier entre un carré et un cube

Développement :
L'unique entier entre un carré et un cube
Remarque :
Développement assez cool qui permet de remplir les leçons d'anneaux. Je le recase aussi dans nombres remarquables
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- 26 est l'unique entier entre un carré et un cube.pdf

Forme normale de Smith

Développement :
Forme normale de Smith
Remarque :
Développement très sympa. Attention le recasage dans la leçon diagonalisation est sujet à débat
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- Formes normales de Smith.pdf

Formule de Stirling (par le théorème central limite)

Développement :
Formule de Stirling (par le théorème central limite)
Remarque :
La référence c'est 131 dév, mais c'est pas la version qui est mise en avant. Il faut aller voir dans les commentaires qui sont faits juste après page 585. Sinon le dev est sympa surtout pour les gens comme moi qui ont du mal avec les proba
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- Stirling par le TCL.pdf

Le théorème de Féjer

Développement :
Le théorème de Féjer
Remarque :
Le résultat est incontournable dans la leçon sur les séries de Fourier. Ca vaut le coup de prendre ce dev pour avoir les idées bien en place dessus
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- Théorème de Fejér.pdf

Forme normale de Smith

Développement :
Forme normale de Smith
Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

(Bon courage !)
Références :
Fichier :
- Forme normale de Smith.pdf

Automorphismes d'un corps cyclotomique

Développement :
Automorphismes d'un corps cyclotomique
Remarque :
J'ai un peu réorganisé la preuve de la source, ça me semble plus logique comme ça. Le développement est long, on peut le raccourcir en oubliant quelques points.
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- Automorphismes d'un corps cyclotomique.pdf

Surjectivité de l'exponentielle matricielle

Développement :
Surjectivité de l'exponentielle matricielle
Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

(Bon courage !)
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- Surjectivité de l'exponentielle matricielle.pdf

Probabilité que deux éléments commutent dans groupe

Développement :
Probabilité que deux éléments commutent dans groupe
Remarque :
Développement sur lequel je suis passé le jour J, donc j'ai bien détaillé la manière donc cela s'est passé dans mon retour d'oral.
Développement très sympa, résultat plutôt mignon, pas spécialement difficile mais qui rentre quand même bien dans les attentes dans plusieurs leçons sur les groupes. Méfiez vous sur la référence : il y a une erreur dans la majoration finale. Essentiellement, ils font une soustraction de deux inégalités, ce qui est bien entendu faux. Regardez-le avant le jour J parce que dans mon cas je n'arrivais plus à retrouver la fin du développement, et j'ai bien vu que la référence contenait une malheureuse coquille... Pas foufou pour se mettre en confiance lors de la préparation de l'oral. Inutile de dire qu'il faut connaître des cas d'égalité (je dis bien des, on m'en a demandé deux : le groupe diédral et les quaternions H8).
Côté recasages à mon avis:

Groupe opérant sur un ensemble
Groupes finis
Conjugaison dans un groupe
Méthodes combinatoires (se justifie surtout grâce à la preuve de la formule de Burnside surtout, mais on peut faire quand même beaucoup mieux dans cette leçon je pense...)

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Fichier :
- thm_de_dixon.pdf

Théorème de Chebotarev

Développement :
Théorème de Chebotarev
Référence :
- 131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron

103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Leçon :
Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Ulm] Théorie des Groupes : Félix Ulmer
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
Références :
Fichier :
- 103 Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications..pdf

104 : Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.

Leçon :
Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
Références :

122 : Anneaux principaux. Applications.

Leçon :
Anneaux principaux. Applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
Références :
Fichier :
- 122 Anneaux principaux. Applications..pdf

142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

Leçon :
PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Cal] Elements de théorie des anneaux : Calais
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[FGN Al1] Oraux X-ENS Algèbre 1 : Francinou, Gianella, Nicolas
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
Références :
Fichier :
- 142 PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications..pdf

152 : Déterminant. Exemples et applications.

Leçon :
Déterminant. Exemples et applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
Références :
Fichier :
- 152 Déterminant. Exemples et applications..pdf

155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

Leçon :
Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[NR] No Reference :(
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
Références :
Fichier :
- 155 Endomorphismes diagonalisables en dimension finie..pdf

161 : Distances et isométries d’un espace affine euclidien.

Leçon :
Distances et isométries d’un espace affine euclidien.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Tau] Géométrie : Tauvel
[Gri] Algèbre linéaire : Grifone
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
Références :
Fichier :
- 161 Distances et isométries d’un espace affine euclidien..pdf

181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

Leçon :
Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Tau] Géométrie : Tauvel
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Aud] Géométrie : Audin
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
Références :
Fichier :
- 181 Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications..pdf

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Leçon :
Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[DeBia] Mathématiques pour le CAPES et l'Agrégation Interne : Jean de Biaisi
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[FGN An2] Oraux X-ENS Analyse 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
Références :
Fichier :
- 190 Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement..pdf

209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

Leçon :
Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Elements d'analyse réelle : Rombaldi
[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[OA] Objectif Agrégation : Beck, Malick, Peyré
[ZQ] Analyse pour l'agrégation : Queffelec, Zuily
[Bri] Analyse. Théorie de l'intégration : Briane, Pagès
Références :
Fichier :
- 209 Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications..pdf

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Leçon :
Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[ElAm] Calcul Différentiel : El Amrani (pas référencé par agregmaths)
[GouAn] Analyse : Gourdon
[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[Rou] Petit guide de calcul différentiel : Rouvière
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
[Gri] Algèbre linéaire : Grifone
Références :
Fichier :
- 219 Extremums. Existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications..pdf

228 : Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

Leçon :
Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Elements d'analyse réelle : Rombaldi
[ElAm] Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions : El Amrani
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[ZQ] Analyse pour l'agrégation : Queffelec, Zuily
[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
Références :
Fichier :
- 228 Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications..pdf

230 : Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

Leçon :
Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[ElAm] Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions : El Amrani
[FGN An2] Oraux X-ENS Analyse 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
Références :
Fichier :
- 230 Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples..pdf

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

Leçon :
Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[GouAn] Analyse : Gourdon
[Bri] Analyse. Théorie de l'intégration : Briane, Pagès
[Tau] Analyse complexe pour la Licence 3 : Tauvel
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[ElAm] Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions : El Amrani
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
Références :
Fichier :
- 236 Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables..pdf

239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.

Leçon :
Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Bri] Analyse. Théorie de l'intégration : Briane, Pagès
[OA] Objectif Agrégation : Beck, Malick, Peyré
[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[ElAm] Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions : El Amrani
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
Références :
Fichier :
- 239 Fonctions définies par une intégrale dépendant d_un paramètre. Exemples et applications..pdf

241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

Leçon :
Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[ElAm] Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions : El Amrani
[NR] No Reference :(
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[ZQ] Analyse pour l'agrégation : Queffelec, Zuily
Références :
Fichier :
- 241 Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples..pdf

245 : Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.

Leçon :
Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Tau] Analyse complexe pour la Licence 3 : Tauvel
[FGN An2] Oraux X-ENS Analyse 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[OA] Objectif Agrégation : Beck, Malick, Peyré
Références :
Fichier :
- 245 Fonctions d_une variable complexe. Exemples et applications..pdf

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

Leçon :
Séries de Fourier. Exemples et applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[ZQ] Analyse pour l'agrégation : Queffelec, Zuily
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
Références :
Fichier :
- 246 Séries de Fourier. Exemples et applications..pdf

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Leçon :
Utilisation de la notion de convexité en analyse.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Has] Topologie générale et espaces normés : Hage Hassan
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li
[Tau] Analyse complexe pour la Licence 3 : Tauvel
[Rom] Elements d'analyse réelle : Rombaldi
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
[NR] No Reference :(
Références :
Fichier :
- 253 Utilisation de la notion de convexité en analyse..pdf

261 : Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.

Leçon :
Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[BaLe] Probabilités : Barbe-Ledoux
[Ouv1] Probabilités 1 : Ouvrard
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
Références :
Fichier :
- 261 Loi d’une variable aléatoire. Caractérisations, exemples, applications..pdf

262 : Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.

Leçon :
Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[BaLe] Probabilités : Barbe-Ledoux
[Hauch] Les contre-exemples en mathématiques : Hauchecorne
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
Références :
Fichier :
- 262 Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications..pdf

265 : Exemples d'études et d'applications de fonctions usuelles et spéciales.

Leçon :
Exemples d'études et d'applications de fonctions usuelles et spéciales.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Tau] Analyse complexe pour la Licence 3 : Tauvel
[ZQ] Analyse pour l'agrégation : Queffelec, Zuily
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[Ouv1] Probabilités 1 : Ouvrard
[NR] No Reference :(
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
Références :
Fichier :
- 265 Exemples d_études et d_applications de fonctions usuelles et spéciales..pdf

266 : Illustration de la notion d’indépendance en probabilités.

Leçon :
Illustration de la notion d’indépendance en probabilités.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[BaLe] Probabilités : Barbe-Ledoux
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
[NR] No Reference :(
Références :
Fichier :
- 266 Illustration de la notion d’indépendance en probabilités..pdf

207 : Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

Leçon :
Prolongement de fonctions. Exemples et applications.
Remarque :
Fortement inspiré des autres plans sur le site.
Références :
Fichier :
- 207.pdf

204 : Connexité. Exemples et applications.

Leçon :
Connexité. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 204-manuscrite-min.pdf

214 : Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

Leçon :
Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.
Remarque :
Plan de leçon éprouvé par une présentation durant l'année. Le plan est très dense ; on peut tout à fait ne pas faire la troisième partie si on n'est pas à l'aise avec les sous-variétés. On se rangera à l'avis du jury, qui considère qu'il est inutile de présenter les résultats en dimension infinie si les seuls exemples que l'on en sort ne relèvent que de la dimension finie (cf. Rouvière, Chp 5).
Références :
Fichier :
- 214.pdf

267 : Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.

Leçon :
Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.
Remarque :
Ébauche de plan, que je publie car j'ai passé pas mal de temps dessus et je l'aimais beaucoup (je le réécrirai peut-être un jour).

La première partie vient notamment d'un très agréable cours de géométrie différentielle de Sigmundur Gudmundsson (enseignant à l'université de Lund, Suède), malheureusement non édité. Je n'ai pas trouvé de référence claire en français sur la géométrie des courbes, qui ne fasse pas des centaines de pages (je pense à vous, Berger et Gostiaux).

Désolé de cette liste de références à la Prévert !
Références :
Fichier :
- 267.pdf

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Leçon :
Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
Remarque :
C'est la version que j'ai présentée en oral blanc. La référence principale est le Berhuy.
Références :
Fichier :
- 103 _ conjugaison_dans un groupe.pdf

131 Développements pour l’oral

Utilisée dans les 34 développements suivants :

Utilisée dans les 27 leçons suivantes :

Utilisée dans les 48 versions de développements suivants :

Caractérisation des ensembles Récursivement Énumérables

2-SAT est NL-dur

Théorème de compacité du calcul propositionnel

Racine carrée de la primitivisation (version opérateurs)

Sous-algèbres réduites de Mn(C)

Méthode de relaxation

Calcul des intégrales de Fresnel

Théorèmes de Choquet et de Birkhoff

Marche aléatoire sur [0;1]

Forme normale de Smith

Théorème de Dixon

Théorème de Brouwer par le logarithme

Théorème de Polya (chaînes de Markov)

L'unique entier entre un carré et un cube

Calcul des intégrales de Fresnel (Fourrier)

Théorème de Burnside (Groupes simples)

Marche aléatoire sur [0;1]

Probabilité que deux éléments commutent dans groupe

Théorème de Dixon

Marche aléatoire sur [0;1]

Théorème taubérien fort

Méthode archimédienne pour approcher Pi

Loi des grands nombres

Forme normale de Smith

Théorème de Dixon

Théorèmes de Helly et de Carathéodory

Formule de Stirling par le théorème central limite (et par lois de Poisson)

Racine carrée de la primitivisation (version opérateurs)

Calcul des intégrales de Fresnel (Fourrier)

Surjectivité de l'exponentielle matricielle

Décomposition de Dunford (version algorithmique) #effectif #méthodeEuler

Décomposition Polaire C infini difféomorphisme

Générateurs de SL2(Z) et SL2(Z/NZ)

Descente de gradient à pas constant

Le théorème de Féjer

Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)

Théorème d'Hermite sur les formes quadratiques

Calcul des intégrales de Fresnel (Fourrier)

L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

L'unique entier entre un carré et un cube

Forme normale de Smith

Formule de Stirling (par le théorème central limite)

Le théorème de Féjer

Forme normale de Smith

Automorphismes d'un corps cyclotomique

Surjectivité de l'exponentielle matricielle

Probabilité que deux éléments commutent dans groupe

Théorème de Chebotarev

Utilisée dans les 29 versions de leçons suivantes :

103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

104 : Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.

122 : Anneaux principaux. Applications.

142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

152 : Déterminant. Exemples et applications.

155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

161 : Distances et isométries d’un espace affine euclidien.

181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

228 : Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

230 : Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.

241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

245 : Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

261 : Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.

262 : Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.

265 : Exemples d'études et d'applications de fonctions usuelles et spéciales.

266 : Illustration de la notion d’indépendance en probabilités.

207 : Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

204 : Connexité. Exemples et applications.

214 : Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

267 : Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.