Développement : Théorème de Brouwer par le logarithme

Détails/Enoncé :

On montre deux résultats, dont le second est une application du premier.
i) Soit $K$ un compact de $\mathbb R^d$ étoilé par rapport à $0$. Toute fonction $f \in \mathcal C(K, \mathbb C^*)$ admet un logarithme continu, i.e. il existe $g \in \mathcal C(K, \mathbb C)$ telle que $f = \exp(g)$.

ii) Dans $\mathbb R^2$, toute application continue de la boule unité dans elle-même admet un point fixe.

Recasages pour l'année 2025 :

Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 75 versions au total)