Groupe Circulaire

Groupe Circulaire

Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

Exemples d’utilisation des techniques d’algèbre en géométrie.

Juste une proposition de plan pour une nouvelle leçon.
J'ai choisi de parler de géométrie algébrique par goût, mais je pense que c'est évitable, quitte a allonger les parties précédentes.

Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

Distances et isométries dun espace affine euclidien.

Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

Plan à la limite du hors-sujet : je ne rentre pas assez dans le détail des coniques et je reste trop proche de mon plan de la 170.

Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

Comme cette leçon fait partie de mes impasses, je me suis contenté de faire un plan contenant les notions abordées sans tenir compte des exigences dans le rapport de jury (exemples et applications !!)

Exemples d’utilisation des techniques d’algèbre en géométrie.

Distances et isométries dun espace affine euclidien.

Plan que je n'ai pas eu le temps de terminer.

Pour compléter le III :
1. Classification pour n=2
2. Classification pour n=3
3. Isométries préservant des parties (dans cette partie, groupe diédral et isométries du cube)

Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Tau] Géométrie : Tauvel
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Aud] Géométrie : Audin
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre

Distances et isométries d’un espace affine euclidien.

Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.

J'ai choisi d'explorer les deux axes suivants: d'un côté les isométries des polygones/poyèdres réguliers et la constructibilité, et d'autre part les coniques.
Ce plan fait également un pari: 2 pages de texte, 2 pages de dessins, contrairement au 3-1 habituel. Après tout, comme on dit, une leçon de géométrie sans dessins, «c'est une bête qui n'a qu'un œil, c'est un oiseau sans plumage, une forêt sans écureuil»...

Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.

Référence supplémentaire: Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces : Marcel Berger , Bernard Gostiaux (pour les arcs paramétrés)

Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.

J'aime pas cette leçon, surtout l'organisation sur la géométrie, les angles.

Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.

Distances dans un espace affine euclidien. Isoméries.

Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.

Mes métaplans ne sont pas vérifiés par une personne compétente, attention donc à la pertinence de ceux-ci.

Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.

Il y a en fichiers ma version manuscrite; faite en oral blanc en 1h30. Je viens de taper le plan en tex. Leçon vaste, j'ai parlé géométrie affine, isométries, groupes d'isométries, coniques, et construction à la règle et au compas. On m'a reproché un manque d'invariant, mais à part ça, le plan est pas trop mal de ce que j'ai compris.
Petite erreur : j'ai mis qu'il y avait 6 solides platoniciens; mais il y en a 5, dont un de multiplicité 2 ! (Le tétraèdre qui est son propre dual)
Dans ma défense, j'ai dit qu'on allait insister sur la symbiose formée par l'algèbre et la géométrie : l'algèbre apporte bcp à la géométrie qui lui rend bien. Ca a plu.
Quelques questions qu'ont m'a posé : beaucoup de questions sur mon développement (SO2(F_q), je suis passé avec quelqu'un à qui j'avais posé beaucoup de questions sur le thème qui était donc rodée!)
pourquoi le groupe des homothéties translations est distingué?
pourquoi D4 et H8 ont la même table de caractères?
pourquoi je dis qu'il y a 6 solides platoniciens?
Des questions sur les coniques et leurs classifications (je ne maîtrise pas très bien ce thème que je trouve difficile, et qu'on explore assez peu pendant notre scolarité, je me suis donc mis une pile là dessus et me suis forcé à en parler dans cette leçon)
Puis des questions sur les coordonnées barycentriques : comment on les exprime? J'ai dit que c'était avec un déterminant entre les deux vecteurs qui vont bien, sauf qu'on a pas de base, alors comment on exprime notre det ? et bien on prend une base.... mais pourquoi c'est indépendant de la base? Puis on m'a fait prouver la formule (c'est un système de Cramer). Encore un truc avec lequel je ne suis pas du tout à l'aise, mais au moins cet oral a été instructif, c'était le but!

Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications.

Finalement, mon DEV 2 n'était pas Wedderburn mais Kronecker pour cette leçon.
Et d'ailleurs dans ce même développement, je rajoute une application pour durer 15 minutes, il s'agit du résultat suivant :

Soit $G$ un sous-groupe fini de $\text{GL}_n(\mathbb{Z})$. L'application qui va de $G$ dans $\text{GL}_n(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$, qui à une matrice associe la même matrice dont les coefficients sont réduits modulo 3 est un morphisme de groupes injectif (voir Carnet de Voyage en Algébrie)

Je trouve que cette leçon n'est pas facile à faire, surtout pour ce qui est de trouver de bonnes références...
Je parle des constructions géométriques à la fin et comme j'ai fait cette leçon en tout début d'année, je n'étais pas encore renseigné sur toutes les références qui existaient donc je précise que, pour cette notion, le Gozard fait tout très bien, pas besoin d'aller chercher le Carréga ou je ne sais quoi... (sauf si vous voulez vraiment être expert et aller très loin)
De même, pour la partie "Rotations vectorielles", le Rombaldi fait très bien l'affaire. Pour les angles orientés, le livre de Michèle Audin suffit.
Bon courage pour faire cette leçon ! Elle est un peu longue à s'approprier et travailler mais je trouve que ça vaut le coup, surtout pour tout ce qui est exponentielle complexe, argument, angles orientés...

Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications.

Voici un plan possible pour la leçon 102.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.

Voici un plan possible pour la leçon 161.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.

Voici un plan possible pour la leçon 181.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

J'ai présenté cette leçon en classe au mois d'avril.
J'ai encadré les THM23, DEF 24, COR25 mais il ne faut pas en tenir compte. Pour cette leçon, il faut vraiment se concentrer sur la théorie dans $\mathbb{R}$, alors que dans la 170, on peut (et même on doit) parler de ce qui se passe sur $\mathbb{C}$ voire sur $\mathbb{F}_q$.
Il faut bien savoir décomposer en carrés par la méthode de Gauss en pratique et en tirer toutes les infos sur la forme quadratique : rang, signature, base $q$-orthogonale,...
Concernant les coniques : même en ayant passé beaucoup de temps dessus, j'étais pas vraiment à l'aise... On trouve très difficilement des références où les choses sont VRAIMENT bien faites... Il y a Ladegaillerie et surtout le livre de Michèle Audin et celui de Aebischer (Géométrie L3)... Le problème est que selon les ouvrages, le vocabulaire peut changer... Et que le point de vue va très vite vers la géométrie projective que je voulais éviter à tout prix (un trop gros investissement juste pour cette leçon...)
Je pense qu'il faut parler de la classification euclidienne et affine, savoir classifier une conique en pratique (même si personnellement j'étais toujours fébrile quand il s'agissait du cas parabolique). L'un de mes professeurs disait qu'il fallait bien parler de l'aspect géométrique par foyer, génératrice, excentricité, définition monofocale, bifocale et tout ça... Il avait à dire que le jury était constitué soit de profs pas du tout à l'aise avec les coniques, soit de profs à l'aise seulement avec l'aspect géométrique... Je pense que dans tous les cas, le jury sait que c'est une notion très peu connue des candidats et que savoir classifier, c'est déjà pas mal, pas besoin d'aller s'aventurer dans les dingueries du Ladegaillerie ou même du Rombaldi avec le centre orthoptique ou je ne sais quoi...
Concernant le DEV 2 (Par 5 points passe une conique), il m'a demandé beaucoup de travail mais il se recase dans la 191 aussi donc c'est pas mal. Je le trouve pas mal en vrai, ça permet de travailler les coordonnées barycentriques... Pour le trouver dans un ouvrage par contre bonne chance... Il n'y a que le livre de Isenmann et Pecatte (qui sont d'ailleurs je crois l'auteur de ce site).
Bref, voilà une proposition de leçon 171, je pense qu'il faut très bien bosser les formes quadratiques et se tenir quand même un peu au courant de la classification des coniques et des aspects géométriques mais ne pas y passer des semaines et des week-end entiers...

Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.

Tous les groupes dont on parle dans cette leçon doivent absolument être présentés sous l'angle de leurs générateurs et essayer de donner le plus d'exemples possibles au aussi variés que possibles : groupes cycliques, groupe symétrique, groupe diédral, groupe linéaire, groupe orthogonal, etc. Les groupes d'isométries des solides platoniciens sont également un bon investissement à faire pendant l'année.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).