Par cinq points passe une conique

Par cinq points passe une conique

Cercle d'Euler

Théorème de Pascal

Point de Fermat-Torricelli

Déterminant et coniques

Par cinq points passe une conique

Par cinq points passe une conique

Développement peu original mais qui a l'avantage de s'apprendre facilement.
De mon point de vue, il peut être utilisé pour les leçons 151, 162, 171 et 181.

Corollaire du théorème de Pascal (coniques)

Le développement est long ! Il faut bien le maîtriser, et bien sûr, savoir répondre à des questions sur les coniques.

Selon moi : leçons 152, 162, 171, 181, et bien sûr 191 (année 2023) ! Le premier résultat (avec les cinq points) a sa place dans la leçon 151 sur le rang.

N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.

Par cinq points passe une conique

Recasages: 171, 181

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Je recommande vivement de faire des dessins dans les différents cas d'alignement, pour montrer l'unicité ou la non unicité.

Mon site: https://esuong-maths.fr

Par cinq points passe une conique

Développement qui paraît assez aride à première vue, mais une fois qu'on s'y plonge dedans, les choses deviennent assez fluides. Il a l'avantage de se recaser dans les deux leçons de géométrie, et d'alimenter la partie "côniques" de la leçon sur les formes quadratiques. Il y a quand même des choses à savoir, et certaines ne sont pas spécialement triviales. Notamment, la forme générale d'une conique en coordonnées barycentriques: le Eiden le fait très bien, mais il faut s'y pencher dessus, c'est pas le jour J qu'il faut se renseigner sur ce point. Côté recasage à mon avis:

Convexité dans R^n
Formes quadratiques réelles, Côniques
Exemple d'utilisation des techniques d'algèbre en géométrie

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Par cinq points passe une conique

- Existence d'une conique passant par cinq points quelconques du plan affine ;
- Discussion sur l'unicité d'une telle conique, et sur son caractère non dégénéré (ou propre) ;
- Compléments pour justifier quelques outils utilisés lors du développement.

Leçons concernées : 162, 171, 181, 191

Par cinq points passe une conique

Un développement que je trouve personnellement plutôt chouette, alors que manipuler des systèmes linéaires et des déterminants ne me fait généralement pas rêver ; ici, le lien très simple qui est fait entre les considérations algébriques et géométriques le rend plutôt agréable à faire.
Il n'a rien d'original, mais plusieurs personnes m'ont dit qu'il n'est pas la peine de faire quelque chose de fou sur les coniques pour s'en sortir avec les honneurs. Je pense que ce développement, bien mené, est suffisant. Attention, il faut toutefois être à l'aise à la fois avec la classification des coniques et avec l'utilisation des coordonnées barycentriques.
En terme de référence, toutes les versions utilisent la même, et ça n'est pas pour rien ! La plupart des livres que j'ai ouvert pour lire sur les coniques utilisent abondamment la géométrie projective. Si comme moi vous n'êtes pas du tout à l'aise avec ces choses là, foncez sur le livre d'Eiden qui fait tout ce qu'il faut pour le dev sans la moindre géométrie projective.
Côté recasages, je le mets personnellement, sans surprise, dans la 171 et la 191. Je pense qu'il passe également très bien dans la 149 et la 162, puisque sans rien faire de très techniques sur les déterminants et les systèmes linéaires, ça reste le cœur du contenu algébrique de la preuve, et c'est l'occasion de faire un joli lien avec la géométrie qui est sûrement moins attendu que beaucoup d'autres choses qui se font dans ces leçons. Enfin, je l'ai mis dans la 181. Même si cette leçon ne s'appelle plus officiellement "barycentres", les coordonnées barycentriques restent l'un des premiers items dont le jury parle dans son rapport, en le qualifiant "d'essentiel", et après en avoir parlé avec un prof, il semble que le développement reste bon dans cette leçon aussi.

N'hésitez pas à me contacter en cas de coquille dans le poly !

Groupe des nombres complexes de module 1 . Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.

Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

Je suis passé devant ma classe sur cette leçon, encadré par Daniel Perrin lui-même ! :)

En ce qui concerne les coordonnées barycentriques de points particuliers dans les triangles, je trouve que le Tauvel n'est pas très clair. Il est important d'y avoir réfléchi par soi-même (ce n'est pas si difficile, et il existe des références sur internet).

N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.

Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

Cette leçon est vaste, on ne peut pas parler de tout: j'ai choisi d'explorer la convexité, et de ne pas parler des applications affines.

Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.

J'ai choisi d'explorer les deux axes suivants: d'un côté les isométries des polygones/poyèdres réguliers et la constructibilité, et d'autre part les coniques.
Ce plan fait également un pari: 2 pages de texte, 2 pages de dessins, contrairement au 3-1 habituel. Après tout, comme on dit, une leçon de géométrie sans dessins, «c'est une bête qui n'a qu'un œil, c'est un oiseau sans plumage, une forêt sans écureuil»...

Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

C'est la version que j'ai présentée en oral blanc. J'ai mis les références utilisées (entre crochets) à chaque paragraphe. Quelques remarques :
-Il y a des choses de la partie I qui se placent mieux dans la partie II (tout ce qui concerne les applications linéaires : théorème du rang, équivalences bijectivité ssi surjuectivité ssi injectivité, etc);
-Si on a le temps, la place et l'envie, on peut aussi parler de dualité;
-L'algorithme de Berlekamp se place bien dans la sous-partie extension de corps - corps finis.