Oraux X-ENS Algèbre 1

Francinou, Gianella, Nicolas

Utilisée dans les 34 développements suivants :

C[X,Y]/(X^2+Y^2-1) est principal
Action du groupe modulaire sur le demi-plan de Poincaré
Probabilité que deux nombres soient premiers entre eux
Endomorphismes de Mn(C) stabilisant le groupe linéaire
Théorème de Sophie-Germain
Nombres de Bell
Automorphismes de Sn
Suite récurrente : convergence lente
Topologie des classes de similitude
Théorème de Dirichlet faible
Translatés d'une fonction
Automorphismes de K(X)
Théorème de Kronecker
Sous-espace stable par translation
Décompostion de Bruhat et drapeaux
Le théorème de Gauss-Lucas et une application
Sous-espaces vectoriels de C(R,R) engendrés par les translatés
Matrices diagonalisables sur un corps fini, critère de diagonalisibilité et dénombrement des matrices diagonalisables
Critère d'Eisenstein
Lemme d'Ore
Suites de Sturm
Dual de Mn(K) et application aux hyperplans
Etude asymptotique d'une suite définie implicitement
Développement asymptotique d'une suite récurrente
Cyclicité du groupe (Z/pZ)^*
Familles libres d'applications
Critère d'Eisenstein + application à l'irréductibilité de $\Phi_p$
Endomorphismes de Mn qui conservent le rang
Forme normale de Smith
Cardinal de SO2(Z/pZ)
Centre d’un p-groupe
Sous groupes finis de K*
Développement asymptotique du nombre moyens de diviseurs
Nombre de dérangements de $\mathfrak{S}_n$

Utilisée dans les 18 leçons suivantes :

120 (2025) Anneaux Z/nZ. Applications.
148 (2025) Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
149 (2025) Déterminant. Exemples et applications.
159 (2025) Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
243 (2025) Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
102 (2025) Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.
142 (2025) PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
105 (2025) Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
121 (2025) Nombres premiers. Applications.
126 (2023) Exemples d’équations en arithmétique.
190 (2025) Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
141 (2025) Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
181 (2025) Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.
156 (2025) Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
144 (2025) Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
123 (2025) Corps finis. Applications.
241 (2025) Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
244 (2024) Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.

Utilisée dans les 83 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 102, 120, 121 et 141.

    Je conseille de ne pas tenir compte de la définition des polynômes cyclotomiques que je donne (celle du Perrin), mais les définir directement sur C.
    Et il y a une coquille au tout début, le corps de décomposition sur Q de $X^n - 1$ n'est pas C...

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    DOUBLON: https://agreg-maths.fr/developpements/279
    (Allez voir là-bas pour un joli LaTeX de AA !)

    Recasages: 144, 102 ok
    Trop maigre pour la 181

    De manière générale, c'est un peu court pour un développement. Il faut voir une autre application, en supplément ou en remplacement.

    Référence: Oraux X-ENS Algèbre 1 (2e édition) p299
    Note: Erreur de signe à la fin ($(Y + 1)^2$ et non $(Y-1)^2$)


    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Recasages: 190, (241, 243)

    Le recasage dans les 241 (suites et séries de fonctions) et 243 (séries entières) sont contestables, dans la mesure où, dans l'absolu, les séries entières sont inutiles. On travaille avec des séries génératrices, qui sont des séries formelles. Le seul argument que je vois en faveur de l'utilisation des séries entières est la résolution de l'équation différentielle, qui peut en théorie être traitée dans l'anneau des séries formelles, mais cela dépasse le cadre du programme.

    Bernis p266, FGN p12

    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Recasages : 105,104,101,190,103,108

    Lien direct vers le fichier : https://delbep.notion.site/406816fc93b74e5db75ff232d12fdab7?v=d11624e4c7aa41bdb625b5e3a57af4e6&p=48a6ceb652824c818e6f7e85f2aa8202&pm=s

    Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse :https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Je remets l'énoncé puisqu'il a visiblement disparu.

    Soit $E$ un sous-espace vectoriel de $\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{C})$ de dimension finie notée $n$ et stable par les opérateurs translation, définis pour $a \in \mathbb{R}$ par :
    $$
    \begin{array}{ccrcl}
    \tau_a & : & \mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{C}) & \longrightarrow & \mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{C}) \\
    & & f & \longmapsto & \tau_af : x \mapsto f(x-a).
    \end{array}
    $$
    Alors $E$ est l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants d'ordre $n$, c'est-à-dire que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{C})$ et qu'il existe un polynôme $P \in \mathbb{C}[X]$ unitaire et de degré $n$ tel que :
    $$
    E = \ker \left(P(D)\right)
    $$
    où $D$ est l'opérateur de dérivation :
    $$
    \begin{array}{ccrcl}
    D & : & \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{C}) & \longrightarrow & \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{C}) \\
    & & f & \longmapsto & f'.
    \end{array}
    $$

    Il y a même équivalence mais le sens réciproque est facile à remontrer. J'ai rajouté quelques compléments sur la dualité et où est-ce qu'il faut faire attention en dimension infinie.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    J'aime beaucoup ce développement mais il est assez technique et, je dirais-même, un peu compliqué. Il faut bien le travailler et faire les tests votre côté pour vérifier la bonne traduction des opérations élémentaires en produit matricielle. J'ai d'ailleurs pu écrire des bêtises donc ne prenez pas pour vrai tout ce qui est écrit !

    Je le prends pour les leçons 105, 106 et 162.

    On trouvera la preuve aux alentours de la page 322 de la référence.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    J'ai rajouté une application pour que ça tienne en 15 minutes. Cependant, avec l'application, le développement devient un peu long et il faut se dépêcher un peu. Tout dépend de si vous écrivez plutôt lentement ou pas...
    Désolé, le PDF est un peu coupé par endroits à cause du scanner, normalement tout est dans les références.
    Cela peut être pas mal de savoir "étendre" un peu le résultat de l'application : l'application est-elle surjective ? Que se passe-t-il pour d'autres nombres premiers que 3 ?
    Il faut aussi être au point sur les polynômes symétriques et le théorème de structure (c'est le point-clé de la démonstration du théorème de Kronecker).
    Je ne suis pas du tout d'accord avec le recasage 4 étoiles dans la 105... Il ne faut pas forcer non plus...
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Un de mes développements préférés ! Il est très bien en terme de longueur, en tout cas pour ceux qui aiment expliquer les choses un peu correctement. Pas d'un niveau vertigineux, mais très agréable. Pour l'étape 2, il y a plein de manières de faire, celle que j'ai présentée ici est la plus 'simple' dans le sens où elle ne demande pas de théorèmes difficiles ; mention spéciale à la preuve utilisant les polynômes symétriques élémentaires : elle permet je pense un recasage honnête dans la leçon sur les groupes symétriques, mais la preuve du théorème central sur les polynômes symétriques est imbuvable. Pourtant, utiliser un théorème dont on ne maîtrise pas la preuve le jour de l'oral me semble être un pari fort risqué... C'est ce qui a fait que je suis parti sur la preuve avec les polynômes caractéristiques. Côté recasage:

    Racines de l'unité
    Racines d'un polynôme
    Groupe symétrique (dans la version adaptée, pas présentée ici)

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Référence :
  • Fichier :

Utilisée dans les 61 versions de leçons suivantes :