Développement : Sous-espace stable par translation

Matoumatheux

Je remets l'énoncé puisqu'il a visiblement disparu.

Soit $E$ un sous-espace vectoriel de $\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{C})$ de dimension finie notée $n$ et stable par les opérateurs translation, définis pour $a \in \mathbb{R}$ par :
$$
\begin{array}{ccrcl}
\tau_a & : & \mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{C}) & \longrightarrow & \mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{C}) \\
& & f & \longmapsto & \tau_af : x \mapsto f(x-a).
\end{array}
$$
Alors $E$ est l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants d'ordre $n$, c'est-à-dire que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{C})$ et qu'il existe un polynôme $P \in \mathbb{C}[X]$ unitaire et de degré $n$ tel que :
$$
E = \ker \left(P(D)\right)
$$
où $D$ est l'opérateur de dérivation :
$$
\begin{array}{ccrcl}
D & : & \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{C}) & \longrightarrow & \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{C}) \\
& & f & \longmapsto & f'.
\end{array}
$$

Il y a même équivalence mais le sens réciproque est facile à remontrer. J'ai rajouté quelques compléments sur la dualité et où est-ce qu'il faut faire attention en dimension infinie.