Leçon 148 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

(2023) 151

Dernier rapport du Jury :

(2023 : 151 - Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.) Dans cette leçon, il est indispensable de présenter les résultats fondateurs de la théorie des espaces vectoriels de dimension finie en ayant une idée de leurs preuves. Il est en particulier important de savoir justifier pourquoi un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie est aussi de dimension finie. On peut montrer, sur des exemples, comment la dimension finie intervient dans la démonstration de certains résultats (récurrence sur la dimension, égalité de sous-espaces par inclusion et égalité des dimensions, isomorphisme par injectivité et dimension, etc.). À cette occasion, on pourra signaler des résultats qui ne subsistent pas en dimension infinie. Le pivot de Gauss ainsi que les diverses notions et caractérisations du rang trouvent leur place dans cette leçon. Les applications sont nombreuses : existence de polynômes annulateurs, dimension de l'espace des formes n-linéaires alternées en dimension n, isomorphisme avec le dual dans le cadre euclidien et théorème de Riesz, espaces de solutions d'équations différentielles ordinaires, caractérisation des endomorphismes diagonalisables, décomposition d'isométries en produits de réflexions, dimensions des représentations irréductibles d'un groupe fini, théorie des corps finis, etc. Les caractérisations du rang peuvent aussi être utilisées pour démontrer l'invariance du rang par extension de corps, ou pour établir des propriétés topologiques (sur R ou C). Pour aller plus loin, les candidates et candidats peuvent déterminer des degrés d'extensions dans la théorie des corps ou s'intéresser aux nombres algébriques. Il est également possible d'explorer des applications en analyse comme les extrémas liés. Dans un autre registre, il est pertinent d'évoquer la méthode des moindres carrés dans cette leçon, par exemple en faisant ressortir la condition de rang maximal pour garantir l'unicité de la solution et s'orienter vers les techniques de décomposition en valeurs singulières pour le cas général. On peut alors naturellement analyser l'approximation d'une matrice par une suite de matrices de faible rang.

(2022 : 151 - Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.) Dans cette leçon, il est indispensable de présenter les résultats fondateurs de la théorie des espaces vectoriels de dimension nie en ayant une idée de leurs preuves. Ces théorèmes semblent simples car ils ont été très souvent pratiqués, mais leur preuve demande un soin particulier. Il est important de savoir justifier pourquoi un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie est aussi de dimension finie. On peut montrer, sur des exemples, comment la dimension nie intervient dans la démonstration de certains résultats (récurrence sur la dimension, égalité de sous-espaces par inclusion et égalité des dimensions, isomorphisme par injectivité et dimension, etc.). À cette occasion, on pourra signaler des résultats qui ne subsistent pas en dimension infinie. Le pivot de Gauss ainsi que les diverses notions et caractérisations du rang trouvent leur place dans cette leçon. Les applications sont nombreuses : existence de polynômes annulateurs, dimension de l'espace des formes n-linéaires alternées en dimension n, isomorphisme avec le dual dans le cadre euclidien et théorème de Riesz, espaces de solutions d'équations différentielles ordinaires, caractérisation des endomorphismes diagonalisables, décomposition d'isométries en produits de réflexions, dimensions des représentations irréductibles d'un groupe fini, théorie des corps finis, etc. Les caractérisations du rang peuvent aussi être utilisées pour démontrer l'invariance du rang par extension de corps, ou pour établir des propriétés topologiques (sur R ou C). S'ils le désirent, les candidats peuvent déterminer des degrés d'extensions dans la théorie des corps ou s'intéresser aux nombres algébriques. Il est également possible d'explorer des applications en analyse comme les extrémas liés. Dans un autre registre, il est pertinent d'évoquer la méthode des moindres carrés dans cette leçon, par exemple en faisant ressortir la condition de rang maximal pour garantir l'unicité de la solution et s'orienter vers les techniques de décomposition en valeurs singulières pour le cas général. On peut alors naturellement analyser l'approximation d'une matrice par une suite de matrices de faible rang.
(2019 : 151 - Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.) Dans cette leçon, il est indispensable de présenter les résultats fondateurs de la théorie des espaces vectoriels de dimension finie en ayant une idée de leurs preuves. Ces théorèmes semblent simples car ils ont été très souvent pratiqués, mais leur preuve demande un soin particulier. Il est important de savoir justifier pourquoi un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie est aussi de dimension finie. $\\$ On peut montrer, sur des exemples, comment la dimension finie intervient dans la démonstration de certains résultats (récurrence sur la dimension, égalité de sous-espaces par inclusion et égalité des dimensions, isomorphisme par injectivité et dimension, etc.). À cette occasion, on pourra signaler des résultats qui ne subsistent pas en dimension infinie. Le pivot de Gauss ainsi que les diverses notions et caractérisations du rang trouvent leur place dans cette leçon. Les applications sont nombreuses : existence de polynômes annulateurs, dimension de l’espace des formes n-linéaires alternées en dimension n, isomorphisme avec le dual dans le cadre euclidien et théorème de Riesz, espaces de solutions d’équations différentielles ordinaires, caractérisation des endomorphismes diagonalisables, décomposition d’isométries en produits de réflexions, dimensions des représentations irréductibles d’un groupe fini, théorie des corps finis, etc. $\\$ Les caractérisations du rang peuvent aussi être utilisées pour démontrer l’invariance du rang par extension de corps, ou pour établir des propriétés topologiques (sur $\textbf{R}$ ou $\textbf{C}$). S’ils le désirent, les candidats peuvent déterminer des degrés d’extensions dans la théorie des corps ou s’intéresser aux nombres algébriques. Il est également possible d’explorer des applications en analyse comme les extrémas liés. Dans un autre registre, il est pertinent d’évoquer la méthode des moindres carrés dans cette leçon, par exemple en faisant ressortir la condition de rang maximal pour garantir l’unicité de la solution et s’orienter vers les techniques de décomposition en valeurs singulières pour le cas général. On peut alors naturellement analyser l’approximation d’une matrice par une suite de matrices de faible rang.
(2017 : 151 - Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.) Dans cette leçon, il est important de présenter les résultats fondateurs de la théorie des espaces vectoriels de dimension finie en ayant une idée de leurs preuves. Ces théorèmes semblent simples car ils ont été très souvent pratiqués, mais leur preuve demande un soin particulier. Il est important de savoir justifier pourquoi un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie est aussi de dimension finie. Le pivot de Gauss ainsi que les diverses notions et caractérisations du rang trouvent leur place dans cette leçon. Les applications sont nombreuses, on peut par exemple évoquer l’existence de polynômes annulateurs ou alors décomposer les isométries en produits de réflexions. S’ils le désirent, les candidats peuvent déterminer des degrés d’extensions dans la théorie des corps ou s’intéresser aux nombres algébriques. Dans un autre registre, il est pertinent d’évoquer la méthode des moindre carrés dans cette leçon, par exemple en faisant ressortir la condition de rang maximal pour garantir l’unicité de la solution et s’orienter vers les techniques de décomposition en valeurs singulières pour le cas général. On peut alors naturellement explorer l’approximation d’une matrice par une suite de matrices de faible rang.
(2016 : 151 - Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.) Dans cette leçon, il est important de présenter les résultats fondateurs de la théorie des espaces vectoriels de dimension finie en ayant une idée de leurs preuves. Ces théorèmes semblent simples car ils ont été très souvent pratiqués, mais leur preuve demande un soin particulier. Il est important de savoir justifier pourquoi un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie est aussi de dimension finie. Les diverses notions et caractérisations du rang trouvent leur place dans cette leçon. Les applications sont nombreuses, on peut par exemple évoquer l’existence de polynômes annulateurs ou alors décomposer les isométries en produits de réflexions. S’ils le désirent, les candidats peuvent déterminer des degrés d’extensions dans la théorie des corps ou s’intéresser aux nombres algébriques.
(2015 : 151 - Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.) Dans cette leçon, il est important de bien connaître les théorèmes fondateurs de la théorie des espaces vectoriels de dimension finie en ayant une idée de leurs preuves. Ces théorèmes semblent simples car ils ont été très souvent pratiqués, mais leur preuve demande un soin particulier, ce qui rend la leçon plus difficile qu'on ne le croit. Des questions élémentaires comme "un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie, est-il aussi de dimension finie ? " peuvent dérouter un candidat. Les diverses caractérisations du rang trouvent bien leur place ainsi que, pour les candidats plus chevronnés, l'utilisation du degré d'une extension dans la théorie des corps.
(2014 : 151 - Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.) C'est une leçon qui, contrairement aux apparences, est devenue difficile pour les candidats. Nombre d'entre eux n'ont pas été capables de donner des réponses satisfaisantes à des questions élémentaires comme : un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie, est-il aussi de dimension finie ? Il faut bien connaître les théorèmes fondateurs de la théorie des espaces vectoriels de dimension finie en ayant une idée de leurs preuves. Les diverses caractérisations du rang doivent être connues.

Développements :

Plans/remarques :

2024 : Leçon 148 - Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Leçon franchement sympa, aux applications variées.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :

2023 : Leçon 151 - Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 151 - Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.


2020 : Leçon 151 - Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 151 - Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.


2018 : Leçon 151 - Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.


2017 : Leçon 151 - Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.


2016 : Leçon 151 - Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.


2015 : Leçon 151 - Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2023 : Leçon 151 - Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications

  • Développement choisi : (par le jury)

    Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Mon développement consistait des lemmes préliminaires puis l'existence seulement. Ils m'ont posé quelques précisions sur ce que j'avais fait, puis m'ont posé les questions suivantes :
    - Si d est le degré du polynôme minimal de u, pourquoi (id_E, u,..., u^{d-1}) est une base de K[u] ?
    - Si F est un SEV stable par u, pourquoi le polynôme minimal de l'endomorphisme induit divise le polynôme minimal de u ?
    - Exemple sur une matrice 2x2

    Sur le plan :
    - Comment définit-on le polynôme minimal ?
    - Est-ce-que des SEV E_1,...,E_r sont en somme directe si et seulement si leur intersection deux à deux est nulle ?
    - Pourquoi l'ensemble des matrices de rang inférieur ou égal à r est un fermé ?
    - Que se passe-t-il pour les matrices de rang égal à r avec r - Questions sur les matrices compagnon (dimension d'un sous-espace propre associé, CNS de diagonalisabilité)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury composé de deux hommes et une femme, ils étaient neutres, pas très encourageants, pas un seul sourire à part à la fin

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Questions très élémentaires, à part la question sur les SEV en somme directe j'ai répondu directement et justement, je ne sais pas pourquoi ils n'ont pas cherché à poser des questions plus "dures", j'ai l'impression que ça a un peu plafonné la note

  • Note obtenue :

    14.5

  • Leçon choisie :

    151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Dimension du commutant

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Sur le développement :
    Mon développement était bien rendu (il est assez simple), une femme du jury m'a posé des questions simples auxquelles j'ai donné des réponses un peu vaseuses. finalement on a réussi à se comprendre.

    Questions :
    Ma leçon comportait beaucoup de thèmes différents : Corps finis, extrema liés, réduction des endomorphismes normaux & nilpotents, etc. Pendant l'année j'étais passé en oral blanc sur cette leçon et j'avais eu quasi-exclusivement des questions sur les corps finis. Le jour J j'ai eu quasi-exclusivement des questions sur la réduction et les algèbres de polynômes :

    Quelle est la dimension de K[u] ? (c'est une algèbre quotient de dim le degré du pol minimal)

    Montrer que si P(u) = 0 et P(0) != 0, u est inversible dans K[u]
    J'ai bien galéré, il est bien de dire que les inversibles de K[u] sont les polynômes premiers à pi (le pol minimal de u) par le théorème de Bézout. Je le savais mais il me manquait un truc, alors j'ai fait à la main et ça a pris du temps. Au final, si P(u) = 0, pi divise P, donc X ne divise pas pi, donc X est premier à pi, donc u est inversible dans K[u]...
    C'est quasiment le premier exo dans Gourdon d'algèbre.

    - Une question où il fallait utiliser les projecteurs spectraux (ceux qui sont dans le lemme des noyaux). Par réflexe je redémontre le lemme des noyaux (je suis conditionné), ils me demande ce que je fais, pourquoi ne pas juste utiliser les résultats ...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury avait l'air agréablement surpris par ce que je racontais. Par ailleurs celui qui menait était vraiment sympathique.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai eu une note bien plus haute qu'attendu. Je crois que le jury aime bien cette leçon, bien faite.

  • Note obtenue :

    19


2022 : Leçon 151 - Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    151 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    102 : Groupe des nombres complexes de module 1 . Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Dimension du commutant

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quelques questions sur le développement pour commencer, notamment pour justifier l'invariance du rang/de la dimension de l'espace des solutions par extension de corps. Quelques questions sur le plan pas très difficiles.

    Premier exo: soit $f: \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \rightarrow \mathbf{R}$ multiplicative et telle que $f(0)=0$ et $f(I_n)=1$. Montrer que $A$ est inversible si et seulement si $f(A) \neq 0$.
    Deuxième exo: si $E$ est un $\mathbf{R}-$ev de dimension $n$ et $F$ un sev de $E$, que dire de la dimension de $\{ u \in \mathcal{L}(E) : F \subset Ker(u) \}$ ?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très sympathique, ils m'ont mis très à l'aise et j'ai senti qu'ils m'ont tiré vers le haut en dynamisant beaucoup l'échange.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Algèbre linéaire , Grifone (utilisée dans 81 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 290 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 338 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 57 versions au total)
Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel (utilisée dans 31 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 353 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 127 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 243 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 449 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 29 versions au total)
Théorie de Galois , Gozart (utilisée dans 7 versions au total)
Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné (utilisée dans 42 versions au total)
Un max de maths , Zavidovique (utilisée dans 44 versions au total)
Géométrie analytique classique , Eiden (utilisée dans 16 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 131 versions au total)
Algèbre linéaire , Cognet (utilisée dans 9 versions au total)
Extension de Corps - Théorie de Galois, Josette Calais (utilisée dans 6 versions au total)
Théorie de Galois, Gozard (utilisée dans 29 versions au total)
Théorie des corps , Carréga (utilisée dans 21 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 52 versions au total)