Développement : Endomorphismes semi-simples

Détails/Enoncé :

On dit que $u \in L(E)$ est semi-simple si tout sous-espace $F$ stable par $u$ admet un supplémentaire stable par $u$.

On montre que $u$ est semi-simple si et seulement le polynôme minimal de $u$ est sans facteurs carrés.

Ce développement se recase dans les leçons sur les extensions pour la version de Tom.

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

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    Ce développement est un peu long donc il ne faut pas hésiter mais il se fait sans trop de problème en 15 minutes.
    Pour le recaser dans les leçons 122 et 142, il faut insister sur les utilisations implicites de la principalité de $K[X]$ dans la démonstration (identité de Bézout, décomposition en facteurs premiers d'un polynôme).
    (p224)
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    Recasages : 153,154,141,122,151,125

    Faut surtout bien structurer ce dev de sorte à ce que ce soit bien clair dans sa tête.

    Lien direct vers le fichier : https://file.notion.so/f/s/c51fcaff-39ee-46d0-96c1-a7c96b867905/Endomorphismes_semi-simples.pdf?id=f92f2bef-1c20-4dc2-85a9-9bf5b05b195b&table=block&spaceId=687bfd0e-1fc2-4484-9a48-571d8d7ee864&expirationTimestamp=1689890400000&signature=k33wJAepwqpQilfYtn4rxg4ZeSZ6jmylskAxPSDDXgc&downloadName=Endomorphismes+semi-simples.pdf

    Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
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    Ce développement ne fait pas partie des plus simples, mais le travaillant on y arrive.
    Les remarques en noir sont celles que j'ai ajoutées lorsque je le travaillais. A la fin, la remarque a été coupée par le scanner, mais tout est dans le Gourdon.
    Ce développement a l'avantage d'être parfait pour la 151 Sous-espaces stables, leçon pour laquelle les développements peuvent être un peu bancals...
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    Très joli développement, je recommande ! Je ne prends le Gourdon que pour l'implication directe et le cas général de l'implication réciproque. Par contre, pour le cas du polynôme minimal irréductible, je ne prends pas le Gourdon, parce que franchement sa méthode est horrible à écrire et sûrement à écouter... Je prends une méthode qui m'a été présentée par un de mes profs, mais du coup pas de référence, mais tant pis : cette méthode écourte grandement le développement, et fait qu'il peut être traité sans problème en 15 minutes. Apparemment, on peut montrer que A une matrice réelle est semi simple ssi sa classe de similitude est fermée dans Mn(R). Ce résultat fait écho à un résultat de topologie des classes de similitude, mais bien que fort intéressant je n'ai jamais trouvé la preuve de ce résultat, ni par moi-même ni dans des bouquins. Mais ça paraît être une jolie application, ça vaut le coup de chercher je pense :)
    Côté recasages à mon avis:

    - Polynômes d'endomorphismes
    - Sous espaces stables pas un/une famille d'endomorphismes
    - Pas déconnant dans anneaux principaux, étant donnée la place centrale de l'identité de Bézout.

    Je l'avais mis au départ dans Polynômes irréductibles à un indéterminée, vu que le cas où le polynôme minimal est irréductible constitue un pivot dans la preuve. Ceci dit, je l'ai enlevé parce qu'en lisant le rapport du jury pour cette leçon, j'ai vu qu'ils attendent une leçon très teintée sur les corps, et du coup ce développement paraît un peu à côté de la plaque...

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Algèbre , Gourdon (utilisée dans 334 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 497 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 77 versions au total)