Développement : Endomorphismes semi-simples

Détails/Enoncé :

On dit que $u \in L(E)$ est semi-simple si tout sous-espace $F$ stable par $u$ admet un supplémentaire stable par $u$.

On montre que $u$ est semi-simple si et seulement le polynôme minimal de $u$ est sans facteurs carrés.

Ce développement se recase dans les leçons sur les extensions pour la version de Tom.

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

Versions :

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    Ce développement est un peu long donc il ne faut pas hésiter mais il se fait sans trop de problème en 15 minutes.
    Pour le recaser dans les leçons 122 et 142, il faut insister sur les utilisations implicites de la principalité de $K[X]$ dans la démonstration (identité de Bézout, décomposition en facteurs premiers d'un polynôme).
    (p224)
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    Recasages : 153,154,141,122,151,125

    Faut surtout bien structurer ce dev de sorte à ce que ce soit bien clair dans sa tête.

    Lien direct vers le fichier : https://file.notion.so/f/s/c51fcaff-39ee-46d0-96c1-a7c96b867905/Endomorphismes_semi-simples.pdf?id=f92f2bef-1c20-4dc2-85a9-9bf5b05b195b&table=block&spaceId=687bfd0e-1fc2-4484-9a48-571d8d7ee864&expirationTimestamp=1689890400000&signature=k33wJAepwqpQilfYtn4rxg4ZeSZ6jmylskAxPSDDXgc&downloadName=Endomorphismes+semi-simples.pdf

    Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
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    Ce développement ne fait pas partie des plus simples, mais le travaillant on y arrive.
    Les remarques en noir sont celles que j'ai ajoutées lorsque je le travaillais. A la fin, la remarque a été coupée par le scanner, mais tout est dans le Gourdon.
    Ce développement a l'avantage d'être parfait pour la 151 Sous-espaces stables, leçon pour laquelle les développements peuvent être un peu bancals...
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Algèbre , Gourdon (utilisée dans 307 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 449 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 76 versions au total)