Leçon 122 * : Anneaux principaux. Applications.

(2019) 122

Dernier rapport du Jury :

(2019 : 122 - Anneaux principaux. Applications.) Comme l’indique son intitulé, cette leçon ne doit pas se cantonner aux aspects théoriques. L’arithmétique des anneaux principaux doit être décrite et les démonstrations doivent être maîtrisées(lemme d’Euclide, théorème de Gauss, décomposition en irréductibles, PGCD et PPCM, etc.). Les anneaux euclidiens représentent une classe importante d’anneaux principaux et l’algorithme d’Euclide a toute sa place dans cette leçon pour effectuer des calculs. Les applications en algèbre linéaire ne manquent pas et doivent être mentionnées (par exemple, le lemme des noyaux ou la notion de polynôme minimal pour un endomorphisme, pour un endomorphisme relativement à un vecteur ou pour un nombre algébrique). Si les anneaux classiques $\textbf{Z}$ et $\textbf{K} [X]$ doivent impérativement figurer, il est possible d’en évoquer d’autres (décimaux, entiers de Gauss $ \textbf{Z} [i]$ ou d’Eisenstein $\textbf{Z} [e^{2i\pi/3}] $) accompagnés d’une description de leurs inversibles, de leurs irréductibles et éventuellement d’applications à des problèmes arithmétiques (équations diophantiennes). S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant à l’étude des réseaux, à des exemples d’anneaux non principaux, mais aussi à des exemples d’équations diophantiennes résolues à l’aide d’anneaux principaux. À ce sujet, il sera fondamental de savoir déterminer les unités d’un anneau, et leur rôle au moment de la décomposition en facteurs premiers. De même, le calcul effectif des facteurs invariants de matrices à coefficients dans un anneau principal peut être présenté.

(2017 : 122 - Anneaux principaux. Applications.) Comme l’indique son intitulé, cette leçon n’est pas uniquement théorique. Il est possible de présenter des exemples d’anneaux principaux classiques autres que $Z$ et $K[X]$ (décimaux, entiers de Gauss ou d’Eisenstein), accompagnés d’une description de leurs irréductibles. Les applications en algèbre linéaire ne manquent pas et doivent être mentionnées. Par exemple, les notions de polynôme minimal sont très naturelles parmi les applications. Les anneaux euclidiens représentent une classe d’anneaux principaux importante et l’algorithme d’Euclide a toute sa place dans cette leçon pour effectuer des calculs. S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant à l’étude des réseaux, à des exemples d’anneaux non principaux, mais aussi à des exemples d’équations diophantiennes résolues à l’aide d’anneaux principaux. À ce sujet, il sera fondamental de savoir déterminer les unités d’un anneau, et leur rôle au moment de la décomposition en facteurs premiers. De même, le calcul effectif des facteurs invariants de matrices à coefficients dans certains anneaux peut être fait.
(2016 : 122 - Anneaux principaux. Exemples et applications.) Cette leçon n’est pas uniquement théorique, Il est possible de présenter des exemples d’anneaux principaux classiques autres que $Z$ et $K[X]$ (décimaux, entiers de Gauss ou d’Eisenstein), accompagnés d’une description de leurs irréductibles. Les applications en algèbre linéaire ne manquent pas et doivent être mentionnées. Par exemple, les notions de polynôme minimal sont très naturelles parmi les applications. Les anneaux euclidiens représentent une classe d’anneaux principaux importante et l’algorithme d’Euclide a toute sa place dans cette leçon pour effectuer des calculs. S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant à l’étude des réseaux, à des exemples d’anneaux non principaux, mais aussi à des exemples d’équations diophantiennes résolues à l’aide d’anneaux principaux. À ce sujet, il sera fondamental de savoir déterminer les unités d’un anneau, et leur rôle au moment de la décomposition en facteurs premiers. De même, le calcul effectif des facteurs invariants de matrices à coefficients dans certains anneaux peut être fait.
(2015 : 122 - Anneaux principaux. Applications.) C'est une leçon où les candidats ont tendance à se placer sur un plan trop théorique. Il est possible de présenter des exemples d'anneaux principaux classiques autres que $\mathbb{Z}$ et $K[X]$ (décimaux, entiers de Gauss ou d'Eisenstein), accompagnés d'une description de leurs irréductibles. Les applications en algèbre linéaire ne manquent pas, il serait bon que les candidats les illustrent. Par exemple, il est étonnant de ne pas voir apparaître la notion de polynôme minimal parmi les applications. Le candidat plus cultivé peut donner des exemples d'anneaux non principaux, mais aussi des exemples d'équations diophantiennes résolues à l'aide d'anneaux principaux. A ce sujet, il sera fondamental de savoir déterminer les unités d'un anneau, et leur rôle au moment de la décomposition en facteurs premiers. On a pu noter dans cette leçon l'erreur répandue que $1+i$ et $1-i$ sont des irréductibles premiers entre eux dans l'anneau factoriel $\mathbb{Z}[i]$.
(2014 : 122 - Anneaux principaux. Exemples et applications.) Les plans sont trop théoriques. Il est possible de présenter des exemples d'anneaux principaux classiques autres que $Z$ et $K[X]$ (décimaux, entiers de Gauss ou d'Eisenstein), accompagnés d'une description de leurs irréductibles. Les applications en algèbre linéaire ne manquent pas, il serait bon que les candidats les illustrent. Par exemple, il est étonnant de ne pas voir apparaître la notion de polynôme minimal parmi les applications. On peut donner des exemples d'anneaux non principaux, mais aussi des exemples d'équations diophantiennes résolues à l'aide d'anneaux principaux. A ce sujet, il sera fondamental de savoir déterminer les unités d'un anneau, et leur rôle au moment de la décomposition en facteurs premiers. On a pu noter dans cette leçon l'erreur répandue que $1+i$ et $1-i$ sont des irréductibles premiers entre eux dans l'anneau factoriel $Z[i]$.

Plans/remarques :

2020 : Leçon 122 - Anneaux principaux. Applications.


2019 : Leçon 122 - Anneaux principaux. Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Pour les références:
    - Combes (Algèbre et Géométrie, principalement)
    - Perrin
    - Saux-Picart (Calcul dans un anneau euclidien)
    - Serre (Les matrices, pour les facteurs invariants)
    - Gourdon (Algèbre, Pour lemme des noyaux)
  • Fichier :

2018 : Leçon 122 - Anneaux principaux. Applications.


2017 : Leçon 122 - Anneaux principaux. Applications.


2016 : Leçon 122 - Anneaux principaux. Exemples et applications.


2015 : Leçon 122 - Anneaux principaux. Applications.


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