Développement : Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Détails/Enoncé :

Un polygône régulier à $n$ côtés est constructible à la règle et au compas si et seulement si $$ n = 2^a p_1 \cdots p_r $$
où $a \ge 1$ et les $p_i$ sont des nombres premiers de Fermat ($= 2^n +1$) distincts.

Pour le recasage dans la leçon sur les anneaux anneaux principaux c'est parce qu'il y a des histoires de polynômes minimaux ...

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

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    Je ne démontre qu'une implication (mais je crois que c'est ce que tout le monde fait).
    J'avoue avoir eu la flemme d'écrire la toute fin de la démonstration où on montre que les p_i sont des nombres de Fermat car la preuve est classique (mais à savoir !).
    (pp48-51)
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    Il y a déjà beaucoup de versions de ce développement, mais je suis trop fier de mon pentagone :)

    Selon moi : leçons 102, 125, 144, 191(2023). Attention aux recasages proposés ici, je trouve que c'est un peu n'importe quoi.

    N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
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    Lien direct vers le fichier : https://delbep.notion.site/406816fc93b74e5db75ff232d12fdab7?v=d11624e4c7aa41bdb625b5e3a57af4e6

    Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
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    Un développement vraiment long et un peu compliqué, mais plutôt rentable et sympathique.

    Niveau recasages : il faut faire attention à ceux proposés sur agreg-maths : par exemple, il passe parfaitement dans la 191, et pas vraiment en 122 (non non, l'histoire du polynôme minimal pour recaser le développement dans cette leçon est une arnaque pour moi...).

    Attention à un recasage dans mon document : je mets "125 : Corps finis", mais c'est bel et bien "125 : Extensions de corps" qui convient. Je modifierai dans l'année, c'est une erreur de ma part.

    Attention aux coquilles.
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    Le résultat est en soi remarquable ! Pour l'anecdote, on ne sait toujours pas s'il y a d'autres nombres de Fermat (de la forme $1+2^{2^{\beta}}$) que $3$, $5$, $17$ et $65.537$ qui sont premiers ! Soyez prêts à répondre aux questions sur les polynômes cyclotomiques, sur le fait que les nombres constructibles forment un corps stable par racine carrée, et sur les corps de rupture pour ce développement ! Sinon, connaître un peu de théorie de Galois permet d'avoir du recul sur la preuve de la constructibilité de $e^{\frac{2i\pi}{p}}$ lorsque $p$ est premier de Fermat.
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    On ne montre qu'un sens du théorème : si le $n$-polygone est constructible alors $n$ est d'une certaine forme. Il faut savoir construire à la main pas mal de cas (racine carré d'un nombre, symétrique d'un point par rapport à un autre etc.).

    Je le prends pour les leçons 102, 125, 127, 144 et 191.

    On trouvera les différentes preuves dans le chapitre sur les nombres constructibles de la référence.
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    Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

    Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

    (Bon courage !)
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    Attention aux éventuelles coquilles.

    Pour la constructibilité je prend les notions dans Berhuy - Algèbre le grand combat, il définit la constructibilité dans C ce qui permet de raccourcir un peu le dev par rapport à la version de Carrega.
    La partie que je met en lemme a un lien avec Galois, mais on en parle pas.
    Je ne fait qu'un sens du théorème de Gauss-Wantzel (pas le temps de tout faire). Je pense qu'il est important de comprendre l'idée d'où vient l'élément qui est dans Ki pas dans Ki+1.
    J'ai mis quelques commentaires à la fin du dev.

    Pour les recasages 102 (l'histoire avec les racines de l'unité), 125, 127, 148 (utilisation de la base télescopique + histoire de la dimension de Ki+1 sur Ki), 191. On peut mettre aussi dans la 144 (racine de Phi_n stable par Q automorphismes+ ppt sur racine de Phi_n).
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Corps commutatifs et théorie de Galois , Tauvel (utilisée dans 15 versions au total)
Théorie des corps , Carréga (utilisée dans 24 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 152 versions au total)
Théorie de Galois, Gozard (utilisée dans 40 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 118 versions au total)