Développement : Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Détails/Enoncé :

Un polygône régulier à $n$ côtés est constructible à la règle et au compas si et seulement si $$ n = 2^a p_1 \cdots p_r $$
où $a \ge 1$ et les $p_i$ sont des nombres premiers de Fermat ($= 2^n +1$) distincts.

Pour le recasage dans la leçon sur les anneaux anneaux principaux c'est parce qu'il y a des histoires de polynômes minimaux ...

Vous n'êtes pas d'accord avec les recasages ci-dessous ? Connectez-vous pour proposer les vôtres !

Recasages pour l'année 2024 :

Autres années :

Versions :

Version de Tom

Auteur :
Tom
Remarque :
On sépare l'étude par nombre premiers. Pour $\omega = e^{2i\pi/p}$ où $p$ est premier. On montre qu'il est constructible avec le théorème de Wantzel. Pour créer la tour d'extension quadratique on trouve un générateur du groupe des automorphismes de $Q(\omega)$.
le recasage c'est Mathieu D. bien sûr
Références :
- Corps commutatifs et théorie de Galois , Tauvel
- Théorie des corps , Carréga
Fichier :
- thm_gauss_tom.pdf

Version de Victor

Auteur :
Victor
Référence :
- Théorie des corps , Carréga
Fichier :
- gauss_thm.pdf

Version de Mathieu Dutour

Auteur :
Mathieu Dutour
Référence :
- Théorie des corps , Carréga
Fichier :
- 21 _ Théorème de Gauss _polygônes constructibles_.pdf

Version de Marvin

Auteur :
Marvin
Remarque :
A mettre dans le plan, ou à mentionner: Théorème de Wantzel sur les nombres constructibles, irréductibilité des polynômes cyclotomiques, et le fait que ces derniers sont à coefficients rationnels (en fait entiers, mais rationnels suffit).
Remarque: je préconise de mettre sous la forme de plusieurs lemmes la fin du développement, qui serait un peu trop long sinon.
J'ai travaillé avec la version de l'Isenmann, mais le Carréga le fait aussi (de façon un peu moins compréhensible je trouve).
Références :
- Théorie des corps , Carréga
- L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte
Fichier :
- Th_or_me_de_Gauss_Wantzel.pdf

Version de 20-sided dice

Auteur :
20-sided dice
Remarque :
Je ne démontre qu'une implication (mais je crois que c'est ce que tout le monde fait).
J'avoue avoir eu la flemme d'écrire la toute fin de la démonstration où on montre que les p_i sont des nombres de Fermat car la preuve est classique (mais à savoir !).
(pp48-51)
Référence :
- Théorie des corps , Carréga
Fichier :
- Théorème de Gauss.pdf

Version de Malartre

Auteur :
Malartre
Remarque :
Il y a déjà beaucoup de versions de ce développement, mais je suis trop fier de mon pentagone :)

Selon moi : leçons 102, 125, 144, 191(2023). Attention aux recasages proposés ici, je trouve que c'est un peu n'importe quoi.

N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
Référence :
- Théorie des corps , Carréga
Fichier :
- Malartre_constructibilité_polygones.pdf

Version de WOLFF

Auteur :
WOLFF
Remarque :
Le document est très long mais c'est parce que je donne beaucoup de détails et de conseils. J'ai mis aussi à la fin des rappels sur les polynômes cyclotomiques (notamment une introduction intuitive), des rappels de constructibilité à la règle et au compas, et une preuve avec la correspondance de Galois.
Références :
- L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte
- Théorie de Galois, Gozard
Fichier :
- Théorème de Gauss_Wantzel.pdf

Version de auntyyye

Auteur :
auntyyye
Remarque :
Lien direct vers le fichier : https://delbep.notion.site/406816fc93b74e5db75ff232d12fdab7?v=d11624e4c7aa41bdb625b5e3a57af4e6

Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
Référence :
- Théorie des corps , Carréga
Fichier :
- Développement.pdf

Version de Théo Jaudon

Auteur :
Théo Jaudon
Fichier :
- dvpt_gauss_wantzel.pdf