Développement en produit eulérien du sinus

Un développement assez compliqué quand on commence à le travailler, mais ensuite, les étapes se retiennent plutôt facilement. Il a l'air très long (il l'est d'ailleurs) mais il y a certaines étapes qu'on peut passer rapidement à l'oral pour ne pas les écrire, même s'il faut savoir les détailler en cas de besoin a posteriori.

La page exacte de la référence est indiquée dans le document (c'est la 2ème édition d'ailleurs).

Attention aux coquilles.

Théorème de Bernstein pour les séries entières

Un développement plutôt sympathique, on n'a pas l'habitude de voir de telles hypothèses. Il est accompagné d'une application.

La page exacte de la référence (2ème édition) est disponible dans le document.

Attention aux coquilles.

Lemme de Morse

Un développement compliqué, mais vraiment très rentable à mes yeux.

Le recasage en 206 est un peu abusif, peut-être aussi la 148.

Attention aux coquilles.

Surjectivité de l'exponentielle matricielle

La difficulté de ce développement est surtout de retenir les étapes, mais sinon il roule bien.
Attention, il faut savoir démontrer que $\mathbb{C}$ privé d'un nombre fini de points est connexe par arcs.

Attention aux coquilles.

Décomposition polaire

Un développement que j'apprécie tout particulièrement. Il y a un argument de la référence que je n'utilise pas pour l'injectivité, j'utilise un lemme que je démontre avant, mais c'est juste que je n'aime pas passer par une diagonalisation simultanée.

Attention aux coquilles.

Galois inverse

Développement risqué (peut-être même le développement le plus risqué parmi ceux que j'ai), parce qu'il faut connaître quelques bases de la théorie de Galois.
Il faut donc absolument savoir en expliquer les motivations, ce qu'est un groupe de Galois, à quoi il sert, quelques propriétés, etc... (je conseille le Berhuy, "Algèbre : le grand combat", pour regarder un peu tout ça).

Attention aux coquilles.

Théorème de Kronecker

Un développement plutôt sympa mais court. Il faut le faire tranquillement.

Le corollaire a une référence (le Gourdon) mais la démonstration n'en a pas. J'ai mis la référence pour l'énoncé seulement.

Attention aux coquilles.

Enveloppe convexe de On(R)

Ma version reprend les références, mais elle reste quand même très différente.
En fait, j'ai travaillé le développement à l'aide des références, puis j'ai enlevé les arguments qui ne servaient pas. Au final, j'ai conservé une trame de preuve similaire, mais les détails diffèrent par moments. C'est un développement particulier à travailler avec soin, de mon point de vue.

Et aussi, j'ai un peu plus détaillé certains passages passés sous silence par les références.

Attention aux coquilles.

Formule des compléments

Un développement vraiment difficile je trouve. Le lemme est une application plutôt hardcore du théorème des résidus. La preuve du théorème roule plutôt bien par contre.
Je compte retravailler le développement pour faire le lemme avec un contour plus simple (parce que bon, le "trou de serrure"...).

Attention aux coquilles.

Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)

C'est l'un des rares développements que je n'apprécie pas trop... Mais bon, j'ai dû faire des choix pour avoir des développements là où il faut.
Je préfère de loin ma version matricielle à la version endomorphismes de la référence, mais peut-être que la version endomorphismes est plus simple au final.

J'ai vraiment du mal avec lui, je le trouve compliqué, mais beaucoup disent qu'il est plutôt facile et rentable.

Le recasage en 103 est abusif (enfin, à voir, mais en l'état...). On peut le recaser en 104 mais j'ai oublié de le mettre dans mon document (je le ferai plus tard).

Attention aux coquilles.

Théorème de Dixon

Pas de groupe diédral dans ma version.
On démontre la formule de Burnside et on l'utilise pour prouver le théorème de Dixon. En termes de difficulté, c'est assez simple je trouve.

Attention aux coquilles.

Formule sommatoire de Poisson

Un développement piégeux, parce qu'il faut savoir passer d'une définition de la transformation de Fourier à une autre (en tout cas, dans ma version).
Mais il est sympa et permet de parler de l'espace de Schwartz (si on le souhaite, ce n'est pas obligé en soi).

Un développement accompagné d'une application plutôt sympathique.

Attention aux coquilles.

Injectivité de la transformée de Fourier

Un développement plutôt tranquille qui donne un résultat remarquable sur la transformation de Fourier (avec la preuve de la transformée de Fourier de la gaussienne en lemme).

Attention aux recasages que je propose dans le PDF : le recasage en 235 est abusif après réflexion, et j'aurais ajouté la 245 (fonctions holomorphes...) en plus. Je le ferai plus tard sur le document.

Attention aux coquilles.

Formule de Stirling (par les intégrales de Wallis)

Un développement vraiment sympa qui reprend quelques techniques classiques niveau L1, pour démontrer la formule de Stirling.

Il est plutôt simple ; il faut juste être un peu endurant en calcul de mon point de vue.

Attention aux coquilles.

Développement asymptotique de la série harmonique

Un développement qui déroule vraiment bien. Je le trouve vraiment facile (j'ai hésité à le prendre pour cette raison : un développement trop facile ne passe pas trop à l'oral).

On démontre un équivalent simple des restes des séries de Riemann convergentes, puis on trouve le développement asymptotique à trois termes de la série harmonique (précision : 1/n).

Attention aux coquilles.

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Un développement vraiment long et un peu compliqué, mais plutôt rentable et sympathique.

Niveau recasages : il faut faire attention à ceux proposés sur agreg-maths : par exemple, il passe parfaitement dans la 191, et pas vraiment en 122 (non non, l'histoire du polynôme minimal pour recaser le développement dans cette leçon est une arnaque pour moi...).

Attention à un recasage dans mon document : je mets "125 : Corps finis", mais c'est bel et bien "125 : Extensions de corps" qui convient. Je modifierai dans l'année, c'est une erreur de ma part.

Attention aux coquilles.

Densité des fonctions continues nulles part dérivables

Un développement que je trouve un peu compliqué, mais j'aime beaucoup le résultat.

Attention aux coquilles.

Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire

Un développement qui se déroule plutôt bien je trouve.

Il pourrait peut-être aussi être recasé dans la leçon sur les exemples de décompositions de matrices (via la décomposition régulière, mais je ne maîtrise pas du tout cette notion donc je n'en parlerai pas dans cette leçon), à voir.

Attention aux coquilles.

Équation de Sylvester : AX + BX = C

Un développement plutôt simple niveau difficulté je trouve.

Attention aux coquilles.

Point de Fermat d'un triangle

Un développement de géométrie utilisant des techniques d'analyse. Il est compliqué (vraiment, je trouve), mais je le garde car je pense qu'il est vraiment rentable au niveau appréciation du jury : c'est de la géométrie ! Et aussi, je l'aime bien.

Je pense qu'il faut vraiment bien le travailler si on le prend pour l'oral. Je compte reprendre la construction du point de Fermat (remarque 4 dans mon document), que je détaillerai peut-être un peu plus prochainement.

Attention : mes arguments diffèrent plus ou moins des références.

Recasage impossible en 191 : ce n'est pas de l'algèbre (dommage...).

Attention aux coquilles.

Projection sur un convexe fermé

Un développement classique.

Attention aux coquilles.

Localisation des valeurs propres

Développement plutôt original portant sur les disques de Gershgörin (localisation de valeurs propres) et une application.

Recasage en 191 peut-être un peu abusif ?

Attention aux coquilles.

Fonction zeta et nombres premiers

Un développement plutôt simple qui utilise des techniques de probabilités pour démontrer la divergence de la série des inverses des nombres premiers.

Attention aux coquilles.

Condition de cyclicité des (Z/nZ)^x

Attention : dans l'énoncé du théorème 3, p doit être supérieur ou égal à 3 (je ne le précise pas ; je le modifierai prochainement).

Il est possible que je change de référence aussi, parce que je n'aime pas trop la façon dont la preuve est présentée dans le Perrin...

Je donne aussi un peu plus de détails, mais peut-être que le lemme 2 ne serait pas à prouver à l'oral (sauf demande du jury a posteriori).

Attention aux coquilles.

Dual de Mn(K) et application aux hyperplans

Développement qui ne se recase quasiment pas mais il est plutôt simple. Je l'ai pris principalement parce que je ne savais pas trop quoi prendre d'autre pour la 159...

À noter que l'application peut éventuellement être citée dans le plan de la 106 (GL(E)), mais je ne le prends pas en développement, et je doute sur le fait qu'il serait pertinent de le prendre.

Attention aux coquilles.

Théorème de Runge (version faible)

La principale difficulté de ce développement est d'en retenir les étapes. À part ça, il est plutôt simple en termes de difficulté.

Le recasage en 245 (fonctions holomorphes) est possible (comme je l'ai mis, même si j'ai d'autres développements plus intéressants dessus), mais il faut le motiver : c'est la version faible du théorème, la version forte portant sur des fonctions holomorphes.
Je ne l'ai pas recasé en 243 (séries entières), et je ne le conseille pas : de mon point de vue, il y a tellement plus de développements intéressants pour cette leçon que recaser Runge faible dedans pourrait être (vraiment) mal vu de la part du jury. Mais à voir.

Attention aux coquilles.